Theorem pjfi 31392

Description: The mapping of a projection. (Contributed by NM, 11-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjfn.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjfi	⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ

Proof of Theorem pjfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjfn.1	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	pjfni 31389	. 2 ⊢ (projℎ‘𝐻) Fn ℋ
3	1	pjrni 31390	. . 3 ⊢ ran (projℎ‘𝐻) = 𝐻
4	1	chssii 30919	. . 3 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
5	3, 4	eqsstri 4008	. 2 ⊢ ran (projℎ‘𝐻) ⊆ ℋ
6		df-f 6537	. 2 ⊢ ((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ ↔ ((projℎ‘𝐻) Fn ℋ ∧ ran (projℎ‘𝐻) ⊆ ℋ))
7	2, 5, 6	mpbir2an 708	1 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3940  ran crn 5667   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533   ℋchba 30607   C_ℋ cch 30617  proj_ℎcpjh 30625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cc 10425  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185  ax-hilex 30687  ax-hfvadd 30688  ax-hvcom 30689  ax-hvass 30690  ax-hv0cl 30691  ax-hvaddid 30692  ax-hfvmul 30693  ax-hvmulid 30694  ax-hvmulass 30695  ax-hvdistr1 30696  ax-hvdistr2 30697  ax-hvmul0 30698  ax-hfi 30767  ax-his1 30770  ax-his2 30771  ax-his3 30772  ax-his4 30773  ax-hcompl 30890

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-acn 9932  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-rest 17366  df-topn 17367  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-topgen 17387  df-pt 17388  df-prds 17391  df-xrs 17446  df-qtop 17451  df-imas 17452  df-xps 17454  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-mulg 18985  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-fbas 21224  df-fg 21225  df-cnfld 21228  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-lm 23054  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cfil 25104  df-cau 25105  df-cmet 25106  df-grpo 30181  df-gid 30182  df-ginv 30183  df-gdiv 30184  df-ablo 30233  df-vc 30247  df-nv 30280  df-va 30283  df-ba 30284  df-sm 30285  df-0v 30286  df-vs 30287  df-nmcv 30288  df-ims 30289  df-dip 30389  df-ssp 30410  df-ph 30501  df-cbn 30551  df-hnorm 30656  df-hba 30657  df-hvsub 30659  df-hlim 30660  df-hcau 30661  df-sh 30895  df-ch 30909  df-oc 30940  df-ch0 30941  df-shs 30996  df-pjh 31083

This theorem is referenced by:  ho0f  31439  hoid1i  31477  hoid1ri  31478  pjhmopi  31834  pjnmopi  31836  pjsdii  31843  pjddii  31844  pjcoi  31846  pjcohcli  31848  pjcofni  31850  pjss1coi  31851  pjss2coi  31852  pjorthcoi  31857  pjscji  31858  pjssposi  31860  pjssdif2i  31862  pjtoi  31867  pjoci  31868  pjclem1  31883  pjclem3  31885  pjclem4  31887  pjci  31888  pjcohocli  31891  pjadj2coi  31892  pj2cocli  31893  pj3lem1  31894  pj3si  31895  pj3cor1i  31897