Theorem pjinvari 31879

Description: A closed subspace 𝐻 with projection 𝑇 is invariant under an operator 𝑆 iff 𝑆𝑇 = 𝑇𝑆𝑇. Theorem 27.1 of [Halmos] p. 45. (Contributed by NM, 24-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjinvar.1	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
pjinvar.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjinvar.3	⊢ 𝑇 = (projℎ‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
pjinvari	⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ↔ (𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)))

Proof of Theorem pjinvari

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjinvar.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (projℎ‘𝐻)
2	1	fveq1i 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))
3		pjinvar.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
4		ffvelcdm 7073	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ 𝐻)
5		pjid 31383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ 𝐻) → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))
6	3, 4, 5	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))
7	2, 6	eqtr2id 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
8		fvco3 6980	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥) = (𝑇‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
9	7, 8	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥))
10	9	ralrimiva 3138	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥))
11		pjinvar.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
12	3	pjfoi 31391	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ–onto→𝐻
13		fof 6795	. . . . . . . 8 ⊢ ((projℎ‘𝐻): ℋ–onto→𝐻 → (projℎ‘𝐻): ℋ⟶𝐻)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶𝐻
15	1	feq1i 6698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇: ℋ⟶𝐻 ↔ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶𝐻)
16	14, 15	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶𝐻
17	3	chssii 30919	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
18		fss 6724	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶𝐻 ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
19	16, 17, 18	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
20	11, 19	hocofni 31455	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) Fn ℋ
21	11, 19	hocofi 31454	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
22	19, 21	hocofni 31455	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) Fn ℋ
23		eqfnfv 7022	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇) Fn ℋ ∧ (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) Fn ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥)))
24	20, 22, 23	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥))
25	10, 24	sylibr 233	. 2 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 → (𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)))
26		fco 6731	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶𝐻 ∧ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶𝐻)
27	16, 21, 26	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶𝐻
28		feq1 6688	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) → ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ↔ (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶𝐻))
29	27, 28	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻)
30	25, 29	impbii 208	1 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ↔ (𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053   ⊆ wss 3940   ∘ ccom 5670   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  –onto→wfo 6531  ‘cfv 6533   ℋchba 30607   C_ℋ cch 30617  proj_ℎcpjh 30625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cc 10425  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185  ax-hilex 30687  ax-hfvadd 30688  ax-hvcom 30689  ax-hvass 30690  ax-hv0cl 30691  ax-hvaddid 30692  ax-hfvmul 30693  ax-hvmulid 30694  ax-hvmulass 30695  ax-hvdistr1 30696  ax-hvdistr2 30697  ax-hvmul0 30698  ax-hfi 30767  ax-his1 30770  ax-his2 30771  ax-his3 30772  ax-his4 30773  ax-hcompl 30890

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-acn 9932  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-rest 17366  df-topn 17367  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-topgen 17387  df-pt 17388  df-prds 17391  df-xrs 17446  df-qtop 17451  df-imas 17452  df-xps 17454  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-mulg 18985  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-fbas 21224  df-fg 21225  df-cnfld 21228  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-lm 23054  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cfil 25104  df-cau 25105  df-cmet 25106  df-grpo 30181  df-gid 30182  df-ginv 30183  df-gdiv 30184  df-ablo 30233  df-vc 30247  df-nv 30280  df-va 30283  df-ba 30284  df-sm 30285  df-0v 30286  df-vs 30287  df-nmcv 30288  df-ims 30289  df-dip 30389  df-ssp 30410  df-ph 30501  df-cbn 30551  df-hnorm 30656  df-hba 30657  df-hvsub 30659  df-hlim 30660  df-hcau 30661  df-sh 30895  df-ch 30909  df-oc 30940  df-ch0 30941  df-shs 30996  df-pjh 31083

This theorem is referenced by: (None)