Theorem pjinvari 32029

Description: A closed subspace 𝐻 with projection 𝑇 is invariant under an operator 𝑆 iff 𝑆𝑇 = 𝑇𝑆𝑇. Theorem 27.1 of [Halmos] p. 45. (Contributed by NM, 24-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjinvar.1	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
pjinvar.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjinvar.3	⊢ 𝑇 = (projℎ‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
pjinvari	⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ↔ (𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)))

Proof of Theorem pjinvari

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjinvar.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (projℎ‘𝐻)
2	1	fveq1i 6903	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))
3		pjinvar.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
4		ffvelcdm 7096	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ 𝐻)
5		pjid 31533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ 𝐻) → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))
6	3, 4, 5	sylancr 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))
7	2, 6	eqtr2id 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
8		fvco3 7002	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥) = (𝑇‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
9	7, 8	eqtr4d 2771	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥))
10	9	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥))
11		pjinvar.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
12	3	pjfoi 31541	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ–onto→𝐻
13		fof 6816	. . . . . . . 8 ⊢ ((projℎ‘𝐻): ℋ–onto→𝐻 → (projℎ‘𝐻): ℋ⟶𝐻)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶𝐻
15	1	feq1i 6718	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇: ℋ⟶𝐻 ↔ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶𝐻)
16	14, 15	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶𝐻
17	3	chssii 31069	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
18		fss 6744	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶𝐻 ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
19	16, 17, 18	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
20	11, 19	hocofni 31605	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) Fn ℋ
21	11, 19	hocofi 31604	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
22	19, 21	hocofni 31605	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) Fn ℋ
23		eqfnfv 7045	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇) Fn ℋ ∧ (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) Fn ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥)))
24	20, 22, 23	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥))
25	10, 24	sylibr 233	. 2 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 → (𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)))
26		fco 6752	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶𝐻 ∧ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶𝐻)
27	16, 21, 26	mp2an 690	. . 3 ⊢ (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶𝐻
28		feq1 6708	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) → ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ↔ (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶𝐻))
29	27, 28	mpbiri 257	. 2 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻)
30	25, 29	impbii 208	1 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ↔ (𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058   ⊆ wss 3949   ∘ ccom 5686   Fn wfn 6548  ⟶wf 6549  –onto→wfo 6551  ‘cfv 6553   ℋchba 30757   C_ℋ cch 30767  proj_ℎcpjh 30775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cc 10468  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228  ax-hilex 30837  ax-hfvadd 30838  ax-hvcom 30839  ax-hvass 30840  ax-hv0cl 30841  ax-hvaddid 30842  ax-hfvmul 30843  ax-hvmulid 30844  ax-hvmulass 30845  ax-hvdistr1 30846  ax-hvdistr2 30847  ax-hvmul0 30848  ax-hfi 30917  ax-his1 30920  ax-his2 30921  ax-his3 30922  ax-his4 30923  ax-hcompl 31040

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-acn 9975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-lm 23161  df-haus 23247  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cfil 25211  df-cau 25212  df-cmet 25213  df-grpo 30331  df-gid 30332  df-ginv 30333  df-gdiv 30334  df-ablo 30383  df-vc 30397  df-nv 30430  df-va 30433  df-ba 30434  df-sm 30435  df-0v 30436  df-vs 30437  df-nmcv 30438  df-ims 30439  df-dip 30539  df-ssp 30560  df-ph 30651  df-cbn 30701  df-hnorm 30806  df-hba 30807  df-hvsub 30809  df-hlim 30810  df-hcau 30811  df-sh 31045  df-ch 31059  df-oc 31090  df-ch0 31091  df-shs 31146  df-pjh 31233

This theorem is referenced by: (None)