Theorem pjinvari 32173

Description: A closed subspace 𝐻 with projection 𝑇 is invariant under an operator 𝑆 iff 𝑆𝑇 = 𝑇𝑆𝑇. Theorem 27.1 of [Halmos] p. 45. (Contributed by NM, 24-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjinvar.1	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
pjinvar.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjinvar.3	⊢ 𝑇 = (projℎ‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
pjinvari	⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ↔ (𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)))

Proof of Theorem pjinvari

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjinvar.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (projℎ‘𝐻)
2	1	fveq1i 6829	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))
3		pjinvar.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
4		ffvelcdm 7020	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ 𝐻)
5		pjid 31677	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ 𝐻) → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))
7	2, 6	eqtr2id 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
8		fvco3 6927	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥) = (𝑇‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
9	7, 8	eqtr4d 2771	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥))
10	9	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥))
11		pjinvar.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
12	3	pjfoi 31685	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ–onto→𝐻
13		fof 6740	. . . . . . . 8 ⊢ ((projℎ‘𝐻): ℋ–onto→𝐻 → (projℎ‘𝐻): ℋ⟶𝐻)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶𝐻
15	1	feq1i 6647	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇: ℋ⟶𝐻 ↔ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶𝐻)
16	14, 15	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶𝐻
17	3	chssii 31213	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
18		fss 6672	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶𝐻 ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
19	16, 17, 18	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
20	11, 19	hocofni 31749	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) Fn ℋ
21	11, 19	hocofi 31748	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
22	19, 21	hocofni 31749	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) Fn ℋ
23		eqfnfv 6970	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇) Fn ℋ ∧ (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) Fn ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥)))
24	20, 22, 23	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥))
25	10, 24	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 → (𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)))
26		fco 6680	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶𝐻 ∧ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶𝐻)
27	16, 21, 26	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶𝐻
28		feq1 6634	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) → ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ↔ (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶𝐻))
29	27, 28	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻)
30	25, 29	impbii 209	1 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ↔ (𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ⊆ wss 3898   ∘ ccom 5623   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  –onto→wfo 6484  ‘cfv 6486   ℋchba 30901   C_ℋ cch 30911  proj_ℎcpjh 30919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cc 10333  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092  ax-mulf 11093  ax-hilex 30981  ax-hfvadd 30982  ax-hvcom 30983  ax-hvass 30984  ax-hv0cl 30985  ax-hvaddid 30986  ax-hfvmul 30987  ax-hvmulid 30988  ax-hvmulass 30989  ax-hvdistr1 30990  ax-hvdistr2 30991  ax-hvmul0 30992  ax-hfi 31061  ax-his1 31064  ax-his2 31065  ax-his3 31066  ax-his4 31067  ax-hcompl 31184

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-acn 9842  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-lm 23145  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cfil 25183  df-cau 25184  df-cmet 25185  df-grpo 30475  df-gid 30476  df-ginv 30477  df-gdiv 30478  df-ablo 30527  df-vc 30541  df-nv 30574  df-va 30577  df-ba 30578  df-sm 30579  df-0v 30580  df-vs 30581  df-nmcv 30582  df-ims 30583  df-dip 30683  df-ssp 30704  df-ph 30795  df-cbn 30845  df-hnorm 30950  df-hba 30951  df-hvsub 30953  df-hlim 30954  df-hcau 30955  df-sh 31189  df-ch 31203  df-oc 31234  df-ch0 31235  df-shs 31290  df-pjh 31377

This theorem is referenced by: (None)