Theorem pjinvari 32127

Description: A closed subspace 𝐻 with projection 𝑇 is invariant under an operator 𝑆 iff 𝑆𝑇 = 𝑇𝑆𝑇. Theorem 27.1 of [Halmos] p. 45. (Contributed by NM, 24-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjinvar.1	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
pjinvar.2	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjinvar.3	⊢ 𝑇 = (projℎ‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
pjinvari	⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ↔ (𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)))

Proof of Theorem pjinvari

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjinvar.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (projℎ‘𝐻)
2	1	fveq1i 6862	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))
3		pjinvar.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
4		ffvelcdm 7056	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ 𝐻)
5		pjid 31631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ 𝐻) → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))
7	2, 6	eqtr2id 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
8		fvco3 6963	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥) = (𝑇‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
9	7, 8	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥))
10	9	ralrimiva 3126	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥))
11		pjinvar.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
12	3	pjfoi 31639	. . . . . . . 8 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ–onto→𝐻
13		fof 6775	. . . . . . . 8 ⊢ ((projℎ‘𝐻): ℋ–onto→𝐻 → (projℎ‘𝐻): ℋ⟶𝐻)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶𝐻
15	1	feq1i 6682	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇: ℋ⟶𝐻 ↔ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶𝐻)
16	14, 15	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ 𝑇: ℋ⟶𝐻
17	3	chssii 31167	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
18		fss 6707	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶𝐻 ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
19	16, 17, 18	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
20	11, 19	hocofni 31703	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) Fn ℋ
21	11, 19	hocofi 31702	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
22	19, 21	hocofni 31703	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) Fn ℋ
23		eqfnfv 7006	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇) Fn ℋ ∧ (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) Fn ℋ) → ((𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥)))
24	20, 22, 23	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑥))
25	10, 24	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 → (𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)))
26		fco 6715	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶𝐻 ∧ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶𝐻)
27	16, 21, 26	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶𝐻
28		feq1 6669	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) → ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ↔ (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶𝐻))
29	27, 28	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)) → (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻)
30	25, 29	impbii 209	1 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶𝐻 ↔ (𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑇 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917   ∘ ccom 5645   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  –onto→wfo 6512  ‘cfv 6514   ℋchba 30855   C_ℋ cch 30865  proj_ℎcpjh 30873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946  ax-hfi 31015  ax-his1 31018  ax-his2 31019  ax-his3 31020  ax-his4 31021  ax-hcompl 31138

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-lm 23123  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cfil 25162  df-cau 25163  df-cmet 25164  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537  df-dip 30637  df-ssp 30658  df-ph 30749  df-cbn 30799  df-hnorm 30904  df-hba 30905  df-hvsub 30907  df-hlim 30908  df-hcau 30909  df-sh 31143  df-ch 31157  df-oc 31188  df-ch0 31189  df-shs 31244  df-pjh 31331

This theorem is referenced by: (None)