HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsscms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhsscms 28971
Description: The induced metric of a closed subspace is complete. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssims2.1 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
hhssims2.3 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
hhsscms.3 𝐻C
Assertion
Ref Expression
hhsscms 𝐷 ∈ (CMet‘𝐻)

Proof of Theorem hhsscms
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . 2 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2 hhssims2.1 . . 3 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
3 hhssims2.3 . . 3 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
4 hhsscms.3 . . . 4 𝐻C
54chshii 28920 . . 3 𝐻S
62, 3, 5hhssmet 28969 . 2 𝐷 ∈ (Met‘𝐻)
7 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷))
82, 3, 5hhssims2 28968 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = ((norm ∘ − ) ↾ (𝐻 × 𝐻))
98fveq2i 6669 . . . . . . . . . 10 (Cau‘𝐷) = (Cau‘((norm ∘ − ) ↾ (𝐻 × 𝐻)))
107, 9syl6eleq 2927 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ (Cau‘((norm ∘ − ) ↾ (𝐻 × 𝐻))))
11 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (norm ∘ − ) = (norm ∘ − )
1211hilxmet 28888 . . . . . . . . . 10 (norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
13 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓:ℕ⟶𝐻)
14 causs 23818 . . . . . . . . . 10 (((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (𝑓 ∈ (Cau‘(norm ∘ − )) ↔ 𝑓 ∈ (Cau‘((norm ∘ − ) ↾ (𝐻 × 𝐻)))))
1512, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (𝑓 ∈ (Cau‘(norm ∘ − )) ↔ 𝑓 ∈ (Cau‘((norm ∘ − ) ↾ (𝐻 × 𝐻)))))
1610, 15mpbird 258 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ (Cau‘(norm ∘ − )))
174chssii 28924 . . . . . . . . . 10 𝐻 ⊆ ℋ
18 fss 6523 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝐻 ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
1913, 17, 18sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
20 ax-hilex 28692 . . . . . . . . . 10 ℋ ∈ V
21 nnex 11636 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ V
2220, 21elmap 8428 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
2319, 22sylibr 235 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ))
24 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2524, 11hhims 28865 . . . . . . . . . 10 (norm ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
2624, 25hhcau 28891 . . . . . . . . 9 Cauchy = ((Cau‘(norm ∘ − )) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
2726elin2 4177 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ Cauchy ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘(norm ∘ − )) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
2816, 23, 27sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ Cauchy)
29 ax-hcompl 28895 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥)
30 vex 3502 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
31 vex 3502 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
3230, 31breldm 5775 . . . . . . . 8 (𝑓𝑣 𝑥𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
3332rexlimivw 3286 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
3428, 29, 333syl 18 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
35 hlimf 28930 . . . . . . 7 𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
36 ffun 6513 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
37 funfvbrb 6816 . . . . . . 7 (Fun ⇝𝑣 → (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓)))
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . 6 (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓))
3934, 38sylib 219 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓))
40 eqid 2825 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(norm ∘ − )) = (MetOpen‘(norm ∘ − ))
4124, 25, 40hhlm 28892 . . . . . . 7 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
42 resss 5876 . . . . . . 7 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
4341, 42eqsstri 4004 . . . . . 6 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
4443ssbri 5107 . . . . 5 (𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))( ⇝𝑣𝑓))
4539, 44syl 17 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))( ⇝𝑣𝑓))
468, 40, 1metrest 23051 . . . . . . 7 (((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → ((MetOpen‘(norm ∘ − )) ↾t 𝐻) = (MetOpen‘𝐷))
4712, 17, 46mp2an 688 . . . . . 6 ((MetOpen‘(norm ∘ − )) ↾t 𝐻) = (MetOpen‘𝐷)
4847eqcomi 2834 . . . . 5 (MetOpen‘𝐷) = ((MetOpen‘(norm ∘ − )) ↾t 𝐻)
49 nnuz 12273 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
504a1i 11 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝐻C )
5140mopntop 22967 . . . . . 6 ((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ Top)
5212, 51mp1i 13 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ Top)
53 fvex 6679 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣𝑓) ∈ V
5453chlimi 28927 . . . . . 6 ((𝐻C𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓)) → ( ⇝𝑣𝑓) ∈ 𝐻)
5550, 13, 39, 54syl3anc 1365 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → ( ⇝𝑣𝑓) ∈ 𝐻)
56 1zzd 12005 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 1 ∈ ℤ)
5748, 49, 50, 52, 55, 56, 13lmss 21824 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))( ⇝𝑣𝑓) ↔ 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))( ⇝𝑣𝑓)))
5845, 57mpbid 233 . . 3 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))( ⇝𝑣𝑓))
5930, 53breldm 5775 . . 3 (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))( ⇝𝑣𝑓) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
6058, 59syl 17 . 2 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
611, 6, 60iscmet3i 23832 1 𝐷 ∈ (CMet‘𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3143  wss 3939  cop 4569   class class class wbr 5062   × cxp 5551  dom cdm 5553  cres 5555  ccom 5557  Fun wfun 6345  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  m cmap 8399  cc 10527  1c1 10530  cn 11630  t crest 16686  ∞Metcxmet 20448  MetOpencmopn 20453  Topctop 21419  𝑡clm 21752  Cauccau 23773  CMetccmet 23774  IndMetcims 28284  chba 28612   + cva 28613   · csm 28614  normcno 28616   cmv 28618  Cauchyccauold 28619  𝑣 chli 28620   C cch 28622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609  ax-hilex 28692  ax-hfvadd 28693  ax-hvcom 28694  ax-hvass 28695  ax-hv0cl 28696  ax-hvaddid 28697  ax-hfvmul 28698  ax-hvmulid 28699  ax-hvmulass 28700  ax-hvdistr1 28701  ax-hvdistr2 28702  ax-hvmul0 28703  ax-hfi 28772  ax-his1 28775  ax-his2 28776  ax-his3 28777  ax-his4 28778  ax-hcompl 28895
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-acn 9363  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-psmet 20455  df-xmet 20456  df-met 20457  df-bl 20458  df-mopn 20459  df-fbas 20460  df-fg 20461  df-top 21420  df-topon 21437  df-bases 21472  df-ntr 21546  df-nei 21624  df-lm 21755  df-haus 21841  df-fil 22372  df-fm 22464  df-flim 22465  df-flf 22466  df-cfil 23775  df-cau 23776  df-cmet 23777  df-grpo 28186  df-gid 28187  df-ginv 28188  df-gdiv 28189  df-ablo 28238  df-vc 28252  df-nv 28285  df-va 28288  df-ba 28289  df-sm 28290  df-0v 28291  df-vs 28292  df-nmcv 28293  df-ims 28294  df-ssp 28415  df-hnorm 28661  df-hba 28662  df-hvsub 28664  df-hlim 28665  df-hcau 28666  df-sh 28900  df-ch 28914  df-ch0 28946
This theorem is referenced by:  hhssbnOLD  28972
  Copyright terms: Public domain W3C validator