HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsscms Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhsscms 31108
Description: The induced metric of a closed subspace is complete. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssims2.1 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
hhssims2.3 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘Š)
hhsscms.3 𝐻 ∈ Cβ„‹
Assertion
Ref Expression
hhsscms 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π»)
Proof of Theorem hhsscms
Dummy variables π‘₯ 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . 2 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
2 hhssims2.1 . . 3 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
3 hhssims2.3 . . 3 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘Š)
4 hhsscms.3 . . . 4 𝐻 ∈ Cβ„‹
54chshii 31057 . . 3 𝐻 ∈ Sβ„‹
62, 3, 5hhssmet 31106 . 2 𝐷 ∈ (Metβ€˜π»)
7 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·))
82, 3, 5hhssims2 31105 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = ((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
98fveq2i 6905 . . . . . . . . . 10 (Cauβ€˜π·) = (Cauβ€˜((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)))
107, 9eleqtrdi 2839 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))))
11 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )
1211hilxmet 31025 . . . . . . . . . 10 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹)
13 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ»)
14 causs 25246 . . . . . . . . . 10 (((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ↔ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)))))
1512, 13, 14sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ↔ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)))))
1610, 15mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
174chssii 31061 . . . . . . . . . 10 𝐻 βŠ† β„‹
18 fss 6744 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:β„•βŸΆπ» ∧ 𝐻 βŠ† β„‹) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
1913, 17, 18sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
20 ax-hilex 30829 . . . . . . . . . 10 β„‹ ∈ V
21 nnex 12256 . . . . . . . . . 10 β„• ∈ V
2220, 21elmap 8896 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ↔ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
2319, 22sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•))
24 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
2524, 11hhims 31002 . . . . . . . . . 10 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
2624, 25hhcau 31028 . . . . . . . . 9 Cauchy = ((Cauβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∩ ( β„‹ ↑m β„•))
2726elin2 4199 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ Cauchy ↔ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∧ 𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•)))
2816, 23, 27sylanbrc 581 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ Cauchy)
29 ax-hcompl 31032 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ Cauchy β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯)
30 vex 3477 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
31 vex 3477 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
3230, 31breldm 5915 . . . . . . . 8 (𝑓 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
3332rexlimivw 3148 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
3428, 29, 333syl 18 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
35 hlimf 31067 . . . . . . 7 ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹
36 ffun 6730 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹ β†’ Fun ⇝𝑣 )
37 funfvbrb 7065 . . . . . . 7 (Fun ⇝𝑣 β†’ (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘“)))
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . 6 (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘“))
3934, 38sylib 217 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘“))
40 eqid 2728 . . . . . . . 8 (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) = (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))
4124, 25, 40hhlm 31029 . . . . . . 7 ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
42 resss 6011 . . . . . . 7 ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)) βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
4341, 42eqsstri 4016 . . . . . 6 ⇝𝑣 βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
4443ssbri 5197 . . . . 5 (𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘“) β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))( ⇝𝑣 β€˜π‘“))
4539, 44syl 17 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))( ⇝𝑣 β€˜π‘“))
468, 40, 1metrest 24453 . . . . . . 7 (((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) ∧ 𝐻 βŠ† β„‹) β†’ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) β†Ύt 𝐻) = (MetOpenβ€˜π·))
4712, 17, 46mp2an 690 . . . . . 6 ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) β†Ύt 𝐻) = (MetOpenβ€˜π·)
4847eqcomi 2737 . . . . 5 (MetOpenβ€˜π·) = ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) β†Ύt 𝐻)
49 nnuz 12903 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
504a1i 11 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝐻 ∈ Cβ„‹ )
5140mopntop 24366 . . . . . 6 ((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ Top)
5212, 51mp1i 13 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ Top)
53 fvex 6915 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣 β€˜π‘“) ∈ V
5453chlimi 31064 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Cβ„‹ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ» ∧ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘“)) β†’ ( ⇝𝑣 β€˜π‘“) ∈ 𝐻)
5550, 13, 39, 54syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ ( ⇝𝑣 β€˜π‘“) ∈ 𝐻)
56 1zzd 12631 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 1 ∈ β„€)
5748, 49, 50, 52, 55, 56, 13lmss 23222 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))( ⇝𝑣 β€˜π‘“) ↔ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))( ⇝𝑣 β€˜π‘“)))
5845, 57mpbid 231 . . 3 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))( ⇝𝑣 β€˜π‘“))
5930, 53breldm 5915 . . 3 (𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))( ⇝𝑣 β€˜π‘“) β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·)))
6058, 59syl 17 . 2 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·)))
611, 6, 60iscmet3i 25260 1 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π»)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3949  βŸ¨cop 4638   class class class wbr 5152   Γ— cxp 5680  dom cdm 5682   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  Fun wfun 6547  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8851  β„‚cc 11144  1c1 11147  β„•cn 12250   β†Ύt crest 17409  βˆžMetcxmet 21271  MetOpencmopn 21276  Topctop 22815  β‡π‘‘clm 23150  Cauccau 25201  CMetccmet 25202  IndMetcims 30421   β„‹chba 30749   +β„Ž cva 30750   Β·β„Ž csm 30751  normβ„Žcno 30753   βˆ’β„Ž cmv 30755  Cauchyccauold 30756   ⇝𝑣 chli 30757   Cβ„‹ cch 30759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cc 10466  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226  ax-hilex 30829  ax-hfvadd 30830  ax-hvcom 30831  ax-hvass 30832  ax-hv0cl 30833  ax-hvaddid 30834  ax-hfvmul 30835  ax-hvmulid 30836  ax-hvmulass 30837  ax-hvdistr1 30838  ax-hvdistr2 30839  ax-hvmul0 30840  ax-hfi 30909  ax-his1 30912  ax-his2 30913  ax-his3 30914  ax-his4 30915  ax-hcompl 31032
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-rest 17411  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-ntr 22944  df-nei 23022  df-lm 23153  df-haus 23239  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-cfil 25203  df-cau 25204  df-cmet 25205  df-grpo 30323  df-gid 30324  df-ginv 30325  df-gdiv 30326  df-ablo 30375  df-vc 30389  df-nv 30422  df-va 30425  df-ba 30426  df-sm 30427  df-0v 30428  df-vs 30429  df-nmcv 30430  df-ims 30431  df-ssp 30552  df-hnorm 30798  df-hba 30799  df-hvsub 30801  df-hlim 30802  df-hcau 30803  df-sh 31037  df-ch 31051  df-ch0 31083
This theorem is referenced by:  hhssbnOLD  31109
  Copyright terms: Public domain W3C validator