HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsscms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhsscms 29215
Description: The induced metric of a closed subspace is complete. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssims2.1 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
hhssims2.3 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
hhsscms.3 𝐻C
Assertion
Ref Expression
hhsscms 𝐷 ∈ (CMet‘𝐻)

Proof of Theorem hhsscms
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . 2 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2 hhssims2.1 . . 3 𝑊 = ⟨⟨( + ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( · ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (norm𝐻)⟩
3 hhssims2.3 . . 3 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
4 hhsscms.3 . . . 4 𝐻C
54chshii 29164 . . 3 𝐻S
62, 3, 5hhssmet 29213 . 2 𝐷 ∈ (Met‘𝐻)
7 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷))
82, 3, 5hhssims2 29212 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = ((norm ∘ − ) ↾ (𝐻 × 𝐻))
98fveq2i 6679 . . . . . . . . . 10 (Cau‘𝐷) = (Cau‘((norm ∘ − ) ↾ (𝐻 × 𝐻)))
107, 9eleqtrdi 2843 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ (Cau‘((norm ∘ − ) ↾ (𝐻 × 𝐻))))
11 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (norm ∘ − ) = (norm ∘ − )
1211hilxmet 29132 . . . . . . . . . 10 (norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
13 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓:ℕ⟶𝐻)
14 causs 24052 . . . . . . . . . 10 (((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (𝑓 ∈ (Cau‘(norm ∘ − )) ↔ 𝑓 ∈ (Cau‘((norm ∘ − ) ↾ (𝐻 × 𝐻)))))
1512, 13, 14sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (𝑓 ∈ (Cau‘(norm ∘ − )) ↔ 𝑓 ∈ (Cau‘((norm ∘ − ) ↾ (𝐻 × 𝐻)))))
1610, 15mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ (Cau‘(norm ∘ − )))
174chssii 29168 . . . . . . . . . 10 𝐻 ⊆ ℋ
18 fss 6521 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝐻 ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
1913, 17, 18sylancl 589 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
20 ax-hilex 28936 . . . . . . . . . 10 ℋ ∈ V
21 nnex 11724 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ V
2220, 21elmap 8483 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
2319, 22sylibr 237 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ))
24 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
2524, 11hhims 29109 . . . . . . . . . 10 (norm ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
2624, 25hhcau 29135 . . . . . . . . 9 Cauchy = ((Cau‘(norm ∘ − )) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
2726elin2 4087 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ Cauchy ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘(norm ∘ − )) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
2816, 23, 27sylanbrc 586 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ Cauchy)
29 ax-hcompl 29139 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥)
30 vex 3402 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
31 vex 3402 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
3230, 31breldm 5751 . . . . . . . 8 (𝑓𝑣 𝑥𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
3332rexlimivw 3192 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
3428, 29, 333syl 18 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
35 hlimf 29174 . . . . . . 7 𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
36 ffun 6507 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
37 funfvbrb 6830 . . . . . . 7 (Fun ⇝𝑣 → (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓)))
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . 6 (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓))
3934, 38sylib 221 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓))
40 eqid 2738 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(norm ∘ − )) = (MetOpen‘(norm ∘ − ))
4124, 25, 40hhlm 29136 . . . . . . 7 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
42 resss 5850 . . . . . . 7 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
4341, 42eqsstri 3911 . . . . . 6 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
4443ssbri 5075 . . . . 5 (𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))( ⇝𝑣𝑓))
4539, 44syl 17 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))( ⇝𝑣𝑓))
468, 40, 1metrest 23279 . . . . . . 7 (((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → ((MetOpen‘(norm ∘ − )) ↾t 𝐻) = (MetOpen‘𝐷))
4712, 17, 46mp2an 692 . . . . . 6 ((MetOpen‘(norm ∘ − )) ↾t 𝐻) = (MetOpen‘𝐷)
4847eqcomi 2747 . . . . 5 (MetOpen‘𝐷) = ((MetOpen‘(norm ∘ − )) ↾t 𝐻)
49 nnuz 12365 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
504a1i 11 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝐻C )
5140mopntop 23195 . . . . . 6 ((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ Top)
5212, 51mp1i 13 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ Top)
53 fvex 6689 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣𝑓) ∈ V
5453chlimi 29171 . . . . . 6 ((𝐻C𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓)) → ( ⇝𝑣𝑓) ∈ 𝐻)
5550, 13, 39, 54syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → ( ⇝𝑣𝑓) ∈ 𝐻)
56 1zzd 12096 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 1 ∈ ℤ)
5748, 49, 50, 52, 55, 56, 13lmss 22051 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))( ⇝𝑣𝑓) ↔ 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))( ⇝𝑣𝑓)))
5845, 57mpbid 235 . . 3 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))( ⇝𝑣𝑓))
5930, 53breldm 5751 . . 3 (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))( ⇝𝑣𝑓) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
6058, 59syl 17 . 2 ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
611, 6, 60iscmet3i 24066 1 𝐷 ∈ (CMet‘𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wrex 3054  wss 3843  cop 4522   class class class wbr 5030   × cxp 5523  dom cdm 5525  cres 5527  ccom 5529  Fun wfun 6333  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7172  m cmap 8439  cc 10615  1c1 10618  cn 11718  t crest 16799  ∞Metcxmet 20204  MetOpencmopn 20209  Topctop 21646  𝑡clm 21979  Cauccau 24007  CMetccmet 24008  IndMetcims 28528  chba 28856   + cva 28857   · csm 28858  normcno 28860   cmv 28862  Cauchyccauold 28863  𝑣 chli 28864   C cch 28866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-inf2 9179  ax-cc 9937  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695  ax-addf 10696  ax-mulf 10697  ax-hilex 28936  ax-hfvadd 28937  ax-hvcom 28938  ax-hvass 28939  ax-hv0cl 28940  ax-hvaddid 28941  ax-hfvmul 28942  ax-hvmulid 28943  ax-hvmulass 28944  ax-hvdistr1 28945  ax-hvdistr2 28946  ax-hvmul0 28947  ax-hfi 29016  ax-his1 29019  ax-his2 29020  ax-his3 29021  ax-his4 29022  ax-hcompl 29139
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-oadd 8137  df-omul 8138  df-er 8322  df-map 8441  df-pm 8442  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-fi 8950  df-sup 8981  df-inf 8982  df-oi 9049  df-card 9443  df-acn 9446  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-q 12433  df-rp 12475  df-xneg 12592  df-xadd 12593  df-xmul 12594  df-ico 12829  df-icc 12830  df-fz 12984  df-fl 13255  df-seq 13463  df-exp 13524  df-cj 14550  df-re 14551  df-im 14552  df-sqrt 14686  df-abs 14687  df-clim 14937  df-rlim 14938  df-rest 16801  df-topgen 16822  df-psmet 20211  df-xmet 20212  df-met 20213  df-bl 20214  df-mopn 20215  df-fbas 20216  df-fg 20217  df-top 21647  df-topon 21664  df-bases 21699  df-ntr 21773  df-nei 21851  df-lm 21982  df-haus 22068  df-fil 22599  df-fm 22691  df-flim 22692  df-flf 22693  df-cfil 24009  df-cau 24010  df-cmet 24011  df-grpo 28430  df-gid 28431  df-ginv 28432  df-gdiv 28433  df-ablo 28482  df-vc 28496  df-nv 28529  df-va 28532  df-ba 28533  df-sm 28534  df-0v 28535  df-vs 28536  df-nmcv 28537  df-ims 28538  df-ssp 28659  df-hnorm 28905  df-hba 28906  df-hvsub 28908  df-hlim 28909  df-hcau 28910  df-sh 29144  df-ch 29158  df-ch0 29190
This theorem is referenced by:  hhssbnOLD  29216
  Copyright terms: Public domain W3C validator