HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsscms Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhsscms 30518
Description: The induced metric of a closed subspace is complete. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssims2.1 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
hhssims2.3 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘Š)
hhsscms.3 𝐻 ∈ Cβ„‹
Assertion
Ref Expression
hhsscms 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π»)
Proof of Theorem hhsscms
Dummy variables π‘₯ 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . 2 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
2 hhssims2.1 . . 3 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
3 hhssims2.3 . . 3 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘Š)
4 hhsscms.3 . . . 4 𝐻 ∈ Cβ„‹
54chshii 30467 . . 3 𝐻 ∈ Sβ„‹
62, 3, 5hhssmet 30516 . 2 𝐷 ∈ (Metβ€˜π»)
7 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·))
82, 3, 5hhssims2 30515 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = ((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
98fveq2i 6891 . . . . . . . . . 10 (Cauβ€˜π·) = (Cauβ€˜((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)))
107, 9eleqtrdi 2843 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))))
11 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )
1211hilxmet 30435 . . . . . . . . . 10 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹)
13 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ»)
14 causs 24806 . . . . . . . . . 10 (((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ↔ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)))))
1512, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ↔ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)))))
1610, 15mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
174chssii 30471 . . . . . . . . . 10 𝐻 βŠ† β„‹
18 fss 6731 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:β„•βŸΆπ» ∧ 𝐻 βŠ† β„‹) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
1913, 17, 18sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
20 ax-hilex 30239 . . . . . . . . . 10 β„‹ ∈ V
21 nnex 12214 . . . . . . . . . 10 β„• ∈ V
2220, 21elmap 8861 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ↔ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
2319, 22sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•))
24 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
2524, 11hhims 30412 . . . . . . . . . 10 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
2624, 25hhcau 30438 . . . . . . . . 9 Cauchy = ((Cauβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∩ ( β„‹ ↑m β„•))
2726elin2 4196 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ Cauchy ↔ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∧ 𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•)))
2816, 23, 27sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ Cauchy)
29 ax-hcompl 30442 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ Cauchy β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯)
30 vex 3478 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
31 vex 3478 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
3230, 31breldm 5906 . . . . . . . 8 (𝑓 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
3332rexlimivw 3151 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
3428, 29, 333syl 18 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
35 hlimf 30477 . . . . . . 7 ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹
36 ffun 6717 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹ β†’ Fun ⇝𝑣 )
37 funfvbrb 7049 . . . . . . 7 (Fun ⇝𝑣 β†’ (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘“)))
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . 6 (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘“))
3934, 38sylib 217 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘“))
40 eqid 2732 . . . . . . . 8 (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) = (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))
4124, 25, 40hhlm 30439 . . . . . . 7 ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
42 resss 6004 . . . . . . 7 ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)) βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
4341, 42eqsstri 4015 . . . . . 6 ⇝𝑣 βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
4443ssbri 5192 . . . . 5 (𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘“) β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))( ⇝𝑣 β€˜π‘“))
4539, 44syl 17 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))( ⇝𝑣 β€˜π‘“))
468, 40, 1metrest 24024 . . . . . . 7 (((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) ∧ 𝐻 βŠ† β„‹) β†’ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) β†Ύt 𝐻) = (MetOpenβ€˜π·))
4712, 17, 46mp2an 690 . . . . . 6 ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) β†Ύt 𝐻) = (MetOpenβ€˜π·)
4847eqcomi 2741 . . . . 5 (MetOpenβ€˜π·) = ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) β†Ύt 𝐻)
49 nnuz 12861 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
504a1i 11 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝐻 ∈ Cβ„‹ )
5140mopntop 23937 . . . . . 6 ((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ Top)
5212, 51mp1i 13 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ Top)
53 fvex 6901 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣 β€˜π‘“) ∈ V
5453chlimi 30474 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Cβ„‹ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ» ∧ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘“)) β†’ ( ⇝𝑣 β€˜π‘“) ∈ 𝐻)
5550, 13, 39, 54syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ ( ⇝𝑣 β€˜π‘“) ∈ 𝐻)
56 1zzd 12589 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 1 ∈ β„€)
5748, 49, 50, 52, 55, 56, 13lmss 22793 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))( ⇝𝑣 β€˜π‘“) ↔ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))( ⇝𝑣 β€˜π‘“)))
5845, 57mpbid 231 . . 3 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))( ⇝𝑣 β€˜π‘“))
5930, 53breldm 5906 . . 3 (𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))( ⇝𝑣 β€˜π‘“) β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·)))
6058, 59syl 17 . 2 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·)))
611, 6, 60iscmet3i 24820 1 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π»)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  Fun wfun 6534  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  β„‚cc 11104  1c1 11107  β„•cn 12208   β†Ύt crest 17362  βˆžMetcxmet 20921  MetOpencmopn 20926  Topctop 22386  β‡π‘‘clm 22721  Cauccau 24761  CMetccmet 24762  IndMetcims 29831   β„‹chba 30159   +β„Ž cva 30160   Β·β„Ž csm 30161  normβ„Žcno 30163   βˆ’β„Ž cmv 30165  Cauchyccauold 30166   ⇝𝑣 chli 30167   Cβ„‹ cch 30169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30239  ax-hfvadd 30240  ax-hvcom 30241  ax-hvass 30242  ax-hv0cl 30243  ax-hvaddid 30244  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvmulass 30247  ax-hvdistr1 30248  ax-hvdistr2 30249  ax-hvmul0 30250  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his2 30323  ax-his3 30324  ax-his4 30325  ax-hcompl 30442
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-ntr 22515  df-nei 22593  df-lm 22724  df-haus 22810  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-cfil 24763  df-cau 24764  df-cmet 24765  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-ssp 29962  df-hnorm 30208  df-hba 30209  df-hvsub 30211  df-hlim 30212  df-hcau 30213  df-sh 30447  df-ch 30461  df-ch0 30493
This theorem is referenced by:  hhssbnOLD  30519
  Copyright terms: Public domain W3C validator