Theorem hhsscms 31488

Description: The induced metric of a closed subspace is complete. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhssims2.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssims2.3	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
hhsscms.3	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
hhsscms	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝐻)

Proof of Theorem hhsscms

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2		hhssims2.1	. . 3 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
3		hhssims2.3	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
4		hhsscms.3	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
5	4	chshii 31437	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
6	2, 3, 5	hhssmet 31486	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝐻)
7		simpl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷))
8	2, 3, 5	hhssims2 31485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = ((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻))
9	8	fveq2i 6870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Cau‘𝐷) = (Cau‘((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻)))
10	7, 9	eleqtrdi 2873	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ (Cau‘((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻))))
11		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (normℎ ∘ −ℎ )
12	11	hilxmet 31405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
13		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓:ℕ⟶𝐻)
14		causs 25367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (𝑓 ∈ (Cau‘(normℎ ∘ −ℎ )) ↔ 𝑓 ∈ (Cau‘((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻)))))
15	12, 13, 14	sylancr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (𝑓 ∈ (Cau‘(normℎ ∘ −ℎ )) ↔ 𝑓 ∈ (Cau‘((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻)))))
16	10, 15	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ (Cau‘(normℎ ∘ −ℎ )))
17	4	chssii 31441	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
18		fss 6708	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
19	13, 17, 18	sylancl 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
20		ax-hilex 31209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℋ ∈ V
21		nnex 12226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
22	20, 21	elmap 8853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
23	19, 22	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ))
24		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
25	24, 11	hhims 31382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
26	24, 25	hhcau 31408	. . . . . . . . 9 ⊢ Cauchy = ((Cau‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
27	26	elin2 4156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
28	16, 23, 27	sylanbrc 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ Cauchy)
29		ax-hcompl 31412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
30		vex 3459	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
31		vex 3459	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
32	30, 31	breldm 5885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
33	32	rexlimivw 3160	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
34	28, 29, 33	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
35		hlimf 31447	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
36		ffun 6694	. . . . . . 7 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
37		funfvbrb 7032	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)))
38	35, 36, 37	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓))
39	34, 38	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓))
40		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) = (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))
41	24, 25, 40	hhlm 31409	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
42		resss 5987	. . . . . . 7 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
43	41, 42	eqsstri 3983	. . . . . 6 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
44	43	ssbri 5146	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝑓))
45	39, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝑓))
46	8, 40, 1	metrest 24591	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ↾t 𝐻) = (MetOpen‘𝐷))
47	12, 17, 46	mp2an 702	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ↾t 𝐻) = (MetOpen‘𝐷)
48	47	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ↾t 𝐻)
49		nnuz 12888	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
50	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝐻 ∈ Cℋ )
51	40	mopntop 24507	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ Top)
52	12, 51	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ Top)
53		fvex 6880	. . . . . . 7 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ V
54	53	chlimi 31444	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)) → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ 𝐻)
55	50, 13, 39, 54	syl3anc 1392	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ 𝐻)
56		1zzd 12612	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 1 ∈ ℤ)
57	48, 49, 50, 52, 55, 56, 13	lmss 23365	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝑓) ↔ 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))( ⇝𝑣 ‘𝑓)))
58	45, 57	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))( ⇝𝑣 ‘𝑓))
59	30, 53	breldm 5885	. . 3 ⊢ (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))( ⇝𝑣 ‘𝑓) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
60	58, 59	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
61	1, 6, 60	iscmet3i 25381	1 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝐻)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3905  ⟨cop 4589   class class class wbr 5101   × cxp 5646  dom cdm 5648   ↾ cres 5650   ∘ ccom 5652  Fun wfun 6515  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  ℂcc 11082  1c1 11085  ℕcn 12220   ↾_t crest 17459  ∞Metcxmet 21416  MetOpencmopn 21421  Topctop 22960  ⇝_𝑡clm 23293  Cauccau 25322  CMetccmet 25323  IndMetcims 30801   ℋchba 31129   +_ℎ cva 31130   ·_ℎ csm 31131  norm_ℎcno 31133   −_ℎ cmv 31135  Cauchyccauold 31136   ⇝_𝑣 chli 31137   C_ℋ cch 31139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-inf2 9594  ax-cc 10403  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162  ax-addf 11163  ax-mulf 11164  ax-hilex 31209  ax-hfvadd 31210  ax-hvcom 31211  ax-hvass 31212  ax-hv0cl 31213  ax-hvaddid 31214  ax-hfvmul 31215  ax-hvmulid 31216  ax-hvmulass 31217  ax-hvdistr1 31218  ax-hvdistr2 31219  ax-hvmul0 31220  ax-hfi 31289  ax-his1 31292  ax-his2 31293  ax-his3 31294  ax-his4 31295  ax-hcompl 31412

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9456  df-card 9909  df-acn 9912  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-q 12960  df-rp 13004  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13523  df-fl 13812  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15136  df-re 15137  df-im 15138  df-sqrt 15272  df-abs 15273  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-rest 17461  df-topgen 17482  df-psmet 21423  df-xmet 21424  df-met 21425  df-bl 21426  df-mopn 21427  df-fbas 21428  df-fg 21429  df-top 22961  df-topon 22978  df-bases 23013  df-ntr 23087  df-nei 23165  df-lm 23296  df-haus 23382  df-fil 23913  df-fm 24005  df-flim 24006  df-flf 24007  df-cfil 25324  df-cau 25325  df-cmet 25326  df-grpo 30703  df-gid 30704  df-ginv 30705  df-gdiv 30706  df-ablo 30755  df-vc 30769  df-nv 30802  df-va 30805  df-ba 30806  df-sm 30807  df-0v 30808  df-vs 30809  df-nmcv 30810  df-ims 30811  df-ssp 30932  df-hnorm 31178  df-hba 31179  df-hvsub 31181  df-hlim 31182  df-hcau 31183  df-sh 31417  df-ch 31431  df-ch0 31463

This theorem is referenced by:  hhssbnOLD  31489