HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsscms Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hhsscms 31035
Description: The induced metric of a closed subspace is complete. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssims2.1 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
hhssims2.3 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘Š)
hhsscms.3 𝐻 ∈ Cβ„‹
Assertion
Ref Expression
hhsscms 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π»)
Proof of Theorem hhsscms
Dummy variables π‘₯ 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . 2 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
2 hhssims2.1 . . 3 π‘Š = ⟨⟨( +β„Ž β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)), ( Β·β„Ž β†Ύ (β„‚ Γ— 𝐻))⟩, (normβ„Ž β†Ύ 𝐻)⟩
3 hhssims2.3 . . 3 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘Š)
4 hhsscms.3 . . . 4 𝐻 ∈ Cβ„‹
54chshii 30984 . . 3 𝐻 ∈ Sβ„‹
62, 3, 5hhssmet 31033 . 2 𝐷 ∈ (Metβ€˜π»)
7 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·))
82, 3, 5hhssims2 31032 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = ((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))
98fveq2i 6887 . . . . . . . . . 10 (Cauβ€˜π·) = (Cauβ€˜((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)))
107, 9eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻))))
11 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )
1211hilxmet 30952 . . . . . . . . . 10 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹)
13 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ»)
14 causs 25176 . . . . . . . . . 10 (((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ↔ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)))))
1512, 13, 14sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ↔ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) β†Ύ (𝐻 Γ— 𝐻)))))
1610, 15mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ (Cauβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
174chssii 30988 . . . . . . . . . 10 𝐻 βŠ† β„‹
18 fss 6727 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:β„•βŸΆπ» ∧ 𝐻 βŠ† β„‹) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
1913, 17, 18sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
20 ax-hilex 30756 . . . . . . . . . 10 β„‹ ∈ V
21 nnex 12219 . . . . . . . . . 10 β„• ∈ V
2220, 21elmap 8864 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•) ↔ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
2319, 22sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•))
24 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
2524, 11hhims 30929 . . . . . . . . . 10 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
2624, 25hhcau 30955 . . . . . . . . 9 Cauchy = ((Cauβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∩ ( β„‹ ↑m β„•))
2726elin2 4192 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ Cauchy ↔ (𝑓 ∈ (Cauβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∧ 𝑓 ∈ ( β„‹ ↑m β„•)))
2816, 23, 27sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ Cauchy)
29 ax-hcompl 30959 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ Cauchy β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯)
30 vex 3472 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
31 vex 3472 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
3230, 31breldm 5901 . . . . . . . 8 (𝑓 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
3332rexlimivw 3145 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„‹ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
3428, 29, 333syl 18 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
35 hlimf 30994 . . . . . . 7 ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹
36 ffun 6713 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟢ β„‹ β†’ Fun ⇝𝑣 )
37 funfvbrb 7045 . . . . . . 7 (Fun ⇝𝑣 β†’ (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘“)))
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . 6 (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘“))
3934, 38sylib 217 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘“))
40 eqid 2726 . . . . . . . 8 (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) = (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))
4124, 25, 40hhlm 30956 . . . . . . 7 ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
42 resss 5999 . . . . . . 7 ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)) βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
4341, 42eqsstri 4011 . . . . . 6 ⇝𝑣 βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
4443ssbri 5186 . . . . 5 (𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘“) β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))( ⇝𝑣 β€˜π‘“))
4539, 44syl 17 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))( ⇝𝑣 β€˜π‘“))
468, 40, 1metrest 24383 . . . . . . 7 (((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) ∧ 𝐻 βŠ† β„‹) β†’ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) β†Ύt 𝐻) = (MetOpenβ€˜π·))
4712, 17, 46mp2an 689 . . . . . 6 ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) β†Ύt 𝐻) = (MetOpenβ€˜π·)
4847eqcomi 2735 . . . . 5 (MetOpenβ€˜π·) = ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) β†Ύt 𝐻)
49 nnuz 12866 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
504a1i 11 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝐻 ∈ Cβ„‹ )
5140mopntop 24296 . . . . . 6 ((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ Top)
5212, 51mp1i 13 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ Top)
53 fvex 6897 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣 β€˜π‘“) ∈ V
5453chlimi 30991 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Cβ„‹ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ» ∧ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 β€˜π‘“)) β†’ ( ⇝𝑣 β€˜π‘“) ∈ 𝐻)
5550, 13, 39, 54syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ ( ⇝𝑣 β€˜π‘“) ∈ 𝐻)
56 1zzd 12594 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 1 ∈ β„€)
5748, 49, 50, 52, 55, 56, 13lmss 23152 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ (𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))( ⇝𝑣 β€˜π‘“) ↔ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))( ⇝𝑣 β€˜π‘“)))
5845, 57mpbid 231 . . 3 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))( ⇝𝑣 β€˜π‘“))
5930, 53breldm 5901 . . 3 (𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·))( ⇝𝑣 β€˜π‘“) β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·)))
6058, 59syl 17 . 2 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ») β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜π·)))
611, 6, 60iscmet3i 25190 1 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π»)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  Fun wfun 6530  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8819  β„‚cc 11107  1c1 11110  β„•cn 12213   β†Ύt crest 17372  βˆžMetcxmet 21220  MetOpencmopn 21225  Topctop 22745  β‡π‘‘clm 23080  Cauccau 25131  CMetccmet 25132  IndMetcims 30348   β„‹chba 30676   +β„Ž cva 30677   Β·β„Ž csm 30678  normβ„Žcno 30680   βˆ’β„Ž cmv 30682  Cauchyccauold 30683   ⇝𝑣 chli 30684   Cβ„‹ cch 30686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189  ax-hilex 30756  ax-hfvadd 30757  ax-hvcom 30758  ax-hvass 30759  ax-hv0cl 30760  ax-hvaddid 30761  ax-hfvmul 30762  ax-hvmulid 30763  ax-hvmulass 30764  ax-hvdistr1 30765  ax-hvdistr2 30766  ax-hvmul0 30767  ax-hfi 30836  ax-his1 30839  ax-his2 30840  ax-his3 30841  ax-his4 30842  ax-hcompl 30959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799  df-ntr 22874  df-nei 22952  df-lm 23083  df-haus 23169  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-cfil 25133  df-cau 25134  df-cmet 25135  df-grpo 30250  df-gid 30251  df-ginv 30252  df-gdiv 30253  df-ablo 30302  df-vc 30316  df-nv 30349  df-va 30352  df-ba 30353  df-sm 30354  df-0v 30355  df-vs 30356  df-nmcv 30357  df-ims 30358  df-ssp 30479  df-hnorm 30725  df-hba 30726  df-hvsub 30728  df-hlim 30729  df-hcau 30730  df-sh 30964  df-ch 30978  df-ch0 31010
This theorem is referenced by:  hhssbnOLD  31036
  Copyright terms: Public domain W3C validator