Theorem hhsscms 31307

Description: The induced metric of a closed subspace is complete. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhssims2.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssims2.3	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
hhsscms.3	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
hhsscms	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝐻)

Proof of Theorem hhsscms

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. 2 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2		hhssims2.1	. . 3 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
3		hhssims2.3	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
4		hhsscms.3	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
5	4	chshii 31256	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
6	2, 3, 5	hhssmet 31305	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝐻)
7		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷))
8	2, 3, 5	hhssims2 31304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = ((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻))
9	8	fveq2i 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Cau‘𝐷) = (Cau‘((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻)))
10	7, 9	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ (Cau‘((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻))))
11		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (normℎ ∘ −ℎ )
12	11	hilxmet 31224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
13		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓:ℕ⟶𝐻)
14		causs 25346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (𝑓 ∈ (Cau‘(normℎ ∘ −ℎ )) ↔ 𝑓 ∈ (Cau‘((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻)))))
15	12, 13, 14	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (𝑓 ∈ (Cau‘(normℎ ∘ −ℎ )) ↔ 𝑓 ∈ (Cau‘((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻)))))
16	10, 15	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ (Cau‘(normℎ ∘ −ℎ )))
17	4	chssii 31260	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
18		fss 6753	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
19	13, 17, 18	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
20		ax-hilex 31028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℋ ∈ V
21		nnex 12270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
22	20, 21	elmap 8910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
23	19, 22	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ))
24		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
25	24, 11	hhims 31201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
26	24, 25	hhcau 31227	. . . . . . . . 9 ⊢ Cauchy = ((Cau‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
27	26	elin2 4213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
28	16, 23, 27	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ Cauchy)
29		ax-hcompl 31231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
30		vex 3482	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
31		vex 3482	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
32	30, 31	breldm 5922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
33	32	rexlimivw 3149	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
34	28, 29, 33	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
35		hlimf 31266	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
36		ffun 6740	. . . . . . 7 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
37		funfvbrb 7071	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)))
38	35, 36, 37	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓))
39	34, 38	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓))
40		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) = (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))
41	24, 25, 40	hhlm 31228	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
42		resss 6022	. . . . . . 7 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
43	41, 42	eqsstri 4030	. . . . . 6 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
44	43	ssbri 5193	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝑓))
45	39, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝑓))
46	8, 40, 1	metrest 24553	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ↾t 𝐻) = (MetOpen‘𝐷))
47	12, 17, 46	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ↾t 𝐻) = (MetOpen‘𝐷)
48	47	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ↾t 𝐻)
49		nnuz 12919	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
50	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝐻 ∈ Cℋ )
51	40	mopntop 24466	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ Top)
52	12, 51	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ Top)
53		fvex 6920	. . . . . . 7 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ V
54	53	chlimi 31263	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)) → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ 𝐻)
55	50, 13, 39, 54	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ 𝐻)
56		1zzd 12646	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 1 ∈ ℤ)
57	48, 49, 50, 52, 55, 56, 13	lmss 23322	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝑓) ↔ 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))( ⇝𝑣 ‘𝑓)))
58	45, 57	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))( ⇝𝑣 ‘𝑓))
59	30, 53	breldm 5922	. . 3 ⊢ (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))( ⇝𝑣 ‘𝑓) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
60	58, 59	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
61	1, 6, 60	iscmet3i 25360	1 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝐻)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148   × cxp 5687  dom cdm 5689   ↾ cres 5691   ∘ ccom 5693  Fun wfun 6557  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  ℂcc 11151  1c1 11154  ℕcn 12264   ↾_t crest 17467  ∞Metcxmet 21367  MetOpencmopn 21372  Topctop 22915  ⇝_𝑡clm 23250  Cauccau 25301  CMetccmet 25302  IndMetcims 30620   ℋchba 30948   +_ℎ cva 30949   ·_ℎ csm 30950  norm_ℎcno 30952   −_ℎ cmv 30954  Cauchyccauold 30955   ⇝_𝑣 chli 30956   C_ℋ cch 30958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114  ax-hcompl 31231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-ntr 23044  df-nei 23122  df-lm 23253  df-haus 23339  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-gdiv 30525  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-vs 30628  df-nmcv 30629  df-ims 30630  df-ssp 30751  df-hnorm 30997  df-hba 30998  df-hvsub 31000  df-hlim 31001  df-hcau 31002  df-sh 31236  df-ch 31250  df-ch0 31282

This theorem is referenced by:  hhssbnOLD  31308