Theorem hhsscms 31337

Description: The induced metric of a closed subspace is complete. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhssims2.1	⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
hhssims2.3	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
hhsscms.3	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
hhsscms	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝐻)

Proof of Theorem hhsscms

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. 2 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
2		hhssims2.1	. . 3 ⊢ 𝑊 = ⟨⟨( +ℎ ↾ (𝐻 × 𝐻)), ( ·ℎ ↾ (ℂ × 𝐻))⟩, (normℎ ↾ 𝐻)⟩
3		hhssims2.3	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
4		hhsscms.3	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
5	4	chshii 31286	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
6	2, 3, 5	hhssmet 31335	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝐻)
7		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷))
8	2, 3, 5	hhssims2 31334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = ((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻))
9	8	fveq2i 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Cau‘𝐷) = (Cau‘((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻)))
10	7, 9	eleqtrdi 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ (Cau‘((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻))))
11		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (normℎ ∘ −ℎ )
12	11	hilxmet 31254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
13		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓:ℕ⟶𝐻)
14		causs 25253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (𝑓 ∈ (Cau‘(normℎ ∘ −ℎ )) ↔ 𝑓 ∈ (Cau‘((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻)))))
15	12, 13, 14	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (𝑓 ∈ (Cau‘(normℎ ∘ −ℎ )) ↔ 𝑓 ∈ (Cau‘((normℎ ∘ −ℎ ) ↾ (𝐻 × 𝐻)))))
16	10, 15	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ (Cau‘(normℎ ∘ −ℎ )))
17	4	chssii 31290	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
18		fss 6673	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
19	13, 17, 18	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
20		ax-hilex 31058	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℋ ∈ V
21		nnex 12169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
22	20, 21	elmap 8808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
23	19, 22	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ))
24		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
25	24, 11	hhims 31231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (normℎ ∘ −ℎ ) = (IndMet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
26	24, 25	hhcau 31257	. . . . . . . . 9 ⊢ Cauchy = ((Cau‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∩ ( ℋ ↑m ℕ))
27	26	elin2 4134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy ↔ (𝑓 ∈ (Cau‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∧ 𝑓 ∈ ( ℋ ↑m ℕ)))
28	16, 23, 27	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ Cauchy)
29		ax-hcompl 31261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥)
30		vex 3431	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
31		vex 3431	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
32	30, 31	breldm 5852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
33	32	rexlimivw 3132	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
34	28, 29, 33	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
35		hlimf 31296	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
36		ffun 6660	. . . . . . 7 ⊢ ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
37		funfvbrb 6992	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ⇝𝑣 → (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)))
38	35, 36, 37	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 ↔ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓))
39	34, 38	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓))
40		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) = (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))
41	24, 25, 40	hhlm 31258	. . . . . . 7 ⊢ ⇝𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
42		resss 5955	. . . . . . 7 ⊢ ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
43	41, 42	eqsstri 3963	. . . . . 6 ⊢ ⇝𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))
44	43	ssbri 5119	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝑓))
45	39, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝑓))
46	8, 40, 1	metrest 24477	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ 𝐻 ⊆ ℋ) → ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ↾t 𝐻) = (MetOpen‘𝐷))
47	12, 17, 46	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ↾t 𝐻) = (MetOpen‘𝐷)
48	47	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = ((MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ↾t 𝐻)
49		nnuz 12816	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
50	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝐻 ∈ Cℋ )
51	40	mopntop 24393	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ ∘ −ℎ ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ Top)
52	12, 51	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )) ∈ Top)
53		fvex 6842	. . . . . . 7 ⊢ ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ V
54	53	chlimi 31293	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 ( ⇝𝑣 ‘𝑓)) → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ 𝐻)
55	50, 13, 39, 54	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → ( ⇝𝑣 ‘𝑓) ∈ 𝐻)
56		1zzd 12547	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 1 ∈ ℤ)
57	48, 49, 50, 52, 55, 56, 13	lmss 23251	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(normℎ ∘ −ℎ )))( ⇝𝑣 ‘𝑓) ↔ 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))( ⇝𝑣 ‘𝑓)))
58	45, 57	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))( ⇝𝑣 ‘𝑓))
59	30, 53	breldm 5852	. . 3 ⊢ (𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷))( ⇝𝑣 ‘𝑓) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
60	58, 59	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝐻) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘𝐷)))
61	1, 6, 60	iscmet3i 25267	1 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝐻)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3885  ⟨cop 4563   class class class wbr 5074   × cxp 5618  dom cdm 5620   ↾ cres 5622   ∘ ccom 5624  Fun wfun 6481  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8762  ℂcc 11025  1c1 11028  ℕcn 12163   ↾_t crest 17372  ∞Metcxmet 21326  MetOpencmopn 21331  Topctop 22846  ⇝_𝑡clm 23179  Cauccau 25208  CMetccmet 25209  IndMetcims 30650   ℋchba 30978   +_ℎ cva 30979   ·_ℎ csm 30980  norm_ℎcno 30982   −_ℎ cmv 30984  Cauchyccauold 30985   ⇝_𝑣 chli 30986   C_ℋ cch 30988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551  ax-cc 10346  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107  ax-hilex 31058  ax-hfvadd 31059  ax-hvcom 31060  ax-hvass 31061  ax-hv0cl 31062  ax-hvaddid 31063  ax-hfvmul 31064  ax-hvmulid 31065  ax-hvmulass 31066  ax-hvdistr1 31067  ax-hvdistr2 31068  ax-hvmul0 31069  ax-hfi 31138  ax-his1 31141  ax-his2 31142  ax-his3 31143  ax-his4 31144  ax-hcompl 31261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fi 9313  df-sup 9344  df-inf 9345  df-oi 9414  df-card 9852  df-acn 9855  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-psmet 21333  df-xmet 21334  df-met 21335  df-bl 21336  df-mopn 21337  df-fbas 21338  df-fg 21339  df-top 22847  df-topon 22864  df-bases 22899  df-ntr 22973  df-nei 23051  df-lm 23182  df-haus 23268  df-fil 23799  df-fm 23891  df-flim 23892  df-flf 23893  df-cfil 25210  df-cau 25211  df-cmet 25212  df-grpo 30552  df-gid 30553  df-ginv 30554  df-gdiv 30555  df-ablo 30604  df-vc 30618  df-nv 30651  df-va 30654  df-ba 30655  df-sm 30656  df-0v 30657  df-vs 30658  df-nmcv 30659  df-ims 30660  df-ssp 30781  df-hnorm 31027  df-hba 31028  df-hvsub 31030  df-hlim 31031  df-hcau 31032  df-sh 31266  df-ch 31280  df-ch0 31312

This theorem is referenced by:  hhssbnOLD  31338