Theorem stcltr2i 32366

Description: Property of a strong classical state. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
stcltr1.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (((𝑆‘𝑥) = 1 → (𝑆‘𝑦) = 1) → 𝑥 ⊆ 𝑦)))
stcltr1.2	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stcltr2i	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) = 1 → 𝐴 = ℋ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stcltr2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = 1 → ((𝑆‘ ℋ) = 1 → (𝑆‘𝐴) = 1))
2		stcltr1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (((𝑆‘𝑥) = 1 → (𝑆‘𝑦) = 1) → 𝑥 ⊆ 𝑦)))
3		helch 31334	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
4		stcltr1.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
5	2, 3, 4	stcltr1i 32365	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘ ℋ) = 1 → (𝑆‘𝐴) = 1) → ℋ ⊆ 𝐴))
6	1, 5	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) = 1 → ℋ ⊆ 𝐴))
7	4	chssii 31322	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
8		eqss 3931	. . 3 ⊢ (𝐴 = ℋ ↔ (𝐴 ⊆ ℋ ∧ ℋ ⊆ 𝐴))
9	7, 8	mpbiran 716	. 2 ⊢ (𝐴 = ℋ ↔ ℋ ⊆ 𝐴)
10	6, 9	imbitrrdi 254	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) = 1 → 𝐴 = ℋ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055   ⊆ wss 3884  ‘cfv 6488  1c1 11035   ℋchba 31010   C_ℋ cch 31020  Statescst 31053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-1cn 11092  ax-addcl 11094  ax-hilex 31090  ax-hfvadd 31091  ax-hv0cl 31094  ax-hfvmul 31096

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-map 8769  df-nn 12170  df-hlim 31063  df-sh 31298  df-ch 31312

This theorem is referenced by:  stcltrlem1  32367