HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stcltr2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stcltr2i 32113
Description: Property of a strong classical state. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
stcltr1.1 (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥C𝑦C (((𝑆𝑥) = 1 → (𝑆𝑦) = 1) → 𝑥𝑦)))
stcltr1.2 𝐴C
Assertion
Ref Expression
stcltr2i (𝜑 → ((𝑆𝐴) = 1 → 𝐴 = ℋ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stcltr2i
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . 3 ((𝑆𝐴) = 1 → ((𝑆‘ ℋ) = 1 → (𝑆𝐴) = 1))
2 stcltr1.1 . . . 4 (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥C𝑦C (((𝑆𝑥) = 1 → (𝑆𝑦) = 1) → 𝑥𝑦)))
3 helch 31081 . . . 4 ℋ ∈ C
4 stcltr1.2 . . . 4 𝐴C
52, 3, 4stcltr1i 32112 . . 3 (𝜑 → (((𝑆‘ ℋ) = 1 → (𝑆𝐴) = 1) → ℋ ⊆ 𝐴))
61, 5syl5 34 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝐴) = 1 → ℋ ⊆ 𝐴))
74chssii 31069 . . 3 𝐴 ⊆ ℋ
8 eqss 3997 . . 3 (𝐴 = ℋ ↔ (𝐴 ⊆ ℋ ∧ ℋ ⊆ 𝐴))
97, 8mpbiran 707 . 2 (𝐴 = ℋ ↔ ℋ ⊆ 𝐴)
106, 9imbitrrdi 251 1 (𝜑 → ((𝑆𝐴) = 1 → 𝐴 = ℋ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  wss 3949  cfv 6553  1c1 11149  chba 30757   C cch 30767  Statescst 30800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-1cn 11206  ax-addcl 11208  ax-hilex 30837  ax-hfvadd 30838  ax-hv0cl 30841  ax-hfvmul 30843
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-map 8855  df-nn 12253  df-hlim 30810  df-sh 31045  df-ch 31059
This theorem is referenced by:  stcltrlem1  32114
  Copyright terms: Public domain W3C validator