HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stcltr2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stcltr2i 30056
Description: Property of a strong classical state. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
stcltr1.1 (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥C𝑦C (((𝑆𝑥) = 1 → (𝑆𝑦) = 1) → 𝑥𝑦)))
stcltr1.2 𝐴C
Assertion
Ref Expression
stcltr2i (𝜑 → ((𝑆𝐴) = 1 → 𝐴 = ℋ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stcltr2i
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . 3 ((𝑆𝐴) = 1 → ((𝑆‘ ℋ) = 1 → (𝑆𝐴) = 1))
2 stcltr1.1 . . . 4 (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥C𝑦C (((𝑆𝑥) = 1 → (𝑆𝑦) = 1) → 𝑥𝑦)))
3 helch 29024 . . . 4 ℋ ∈ C
4 stcltr1.2 . . . 4 𝐴C
52, 3, 4stcltr1i 30055 . . 3 (𝜑 → (((𝑆‘ ℋ) = 1 → (𝑆𝐴) = 1) → ℋ ⊆ 𝐴))
61, 5syl5 34 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝐴) = 1 → ℋ ⊆ 𝐴))
74chssii 29012 . . 3 𝐴 ⊆ ℋ
8 eqss 3957 . . 3 (𝐴 = ℋ ↔ (𝐴 ⊆ ℋ ∧ ℋ ⊆ 𝐴))
97, 8mpbiran 708 . 2 (𝐴 = ℋ ↔ ℋ ⊆ 𝐴)
106, 9syl6ibr 255 1 (𝜑 → ((𝑆𝐴) = 1 → 𝐴 = ℋ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wral 3130  wss 3908  cfv 6334  1c1 10527  chba 28700   C cch 28710  Statescst 28743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-1cn 10584  ax-addcl 10586  ax-hilex 28780  ax-hfvadd 28781  ax-hv0cl 28784  ax-hfvmul 28786
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-map 8395  df-nn 11626  df-hlim 28753  df-sh 28988  df-ch 29002
This theorem is referenced by:  stcltrlem1  30057
  Copyright terms: Public domain W3C validator