Theorem stcltr2i 32204

Description: Property of a strong classical state. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
stcltr1.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (((𝑆‘𝑥) = 1 → (𝑆‘𝑦) = 1) → 𝑥 ⊆ 𝑦)))
stcltr1.2	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stcltr2i	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) = 1 → 𝐴 = ℋ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stcltr2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = 1 → ((𝑆‘ ℋ) = 1 → (𝑆‘𝐴) = 1))
2		stcltr1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (((𝑆‘𝑥) = 1 → (𝑆‘𝑦) = 1) → 𝑥 ⊆ 𝑦)))
3		helch 31172	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
4		stcltr1.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
5	2, 3, 4	stcltr1i 32203	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘ ℋ) = 1 → (𝑆‘𝐴) = 1) → ℋ ⊆ 𝐴))
6	1, 5	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) = 1 → ℋ ⊆ 𝐴))
7	4	chssii 31160	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
8		eqss 3962	. . 3 ⊢ (𝐴 = ℋ ↔ (𝐴 ⊆ ℋ ∧ ℋ ⊆ 𝐴))
9	7, 8	mpbiran 709	. 2 ⊢ (𝐴 = ℋ ↔ ℋ ⊆ 𝐴)
10	6, 9	imbitrrdi 252	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) = 1 → 𝐴 = ℋ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6511  1c1 11069   ℋchba 30848   C_ℋ cch 30858  Statescst 30891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-1cn 11126  ax-addcl 11128  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hv0cl 30932  ax-hfvmul 30934

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-map 8801  df-nn 12187  df-hlim 30901  df-sh 31136  df-ch 31150

This theorem is referenced by:  stcltrlem1  32205