Theorem stcltr2i 32304

Description: Property of a strong classical state. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
stcltr1.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (((𝑆‘𝑥) = 1 → (𝑆‘𝑦) = 1) → 𝑥 ⊆ 𝑦)))
stcltr1.2	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stcltr2i	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) = 1 → 𝐴 = ℋ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stcltr2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = 1 → ((𝑆‘ ℋ) = 1 → (𝑆‘𝐴) = 1))
2		stcltr1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (((𝑆‘𝑥) = 1 → (𝑆‘𝑦) = 1) → 𝑥 ⊆ 𝑦)))
3		helch 31272	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
4		stcltr1.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
5	2, 3, 4	stcltr1i 32303	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘ ℋ) = 1 → (𝑆‘𝐴) = 1) → ℋ ⊆ 𝐴))
6	1, 5	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) = 1 → ℋ ⊆ 𝐴))
7	4	chssii 31260	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
8		eqss 4011	. . 3 ⊢ (𝐴 = ℋ ↔ (𝐴 ⊆ ℋ ∧ ℋ ⊆ 𝐴))
9	7, 8	mpbiran 709	. 2 ⊢ (𝐴 = ℋ ↔ ℋ ⊆ 𝐴)
10	6, 9	imbitrrdi 252	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) = 1 → 𝐴 = ℋ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  1c1 11154   ℋchba 30948   C_ℋ cch 30958  Statescst 30991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hv0cl 31032  ax-hfvmul 31034

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-map 8867  df-nn 12265  df-hlim 31001  df-sh 31236  df-ch 31250

This theorem is referenced by:  stcltrlem1  32305