Theorem stcltr2i 32037

Description: Property of a strong classical state. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
stcltr1.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (((𝑆‘𝑥) = 1 → (𝑆‘𝑦) = 1) → 𝑥 ⊆ 𝑦)))
stcltr1.2	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
stcltr2i	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) = 1 → 𝐴 = ℋ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stcltr2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = 1 → ((𝑆‘ ℋ) = 1 → (𝑆‘𝐴) = 1))
2		stcltr1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (((𝑆‘𝑥) = 1 → (𝑆‘𝑦) = 1) → 𝑥 ⊆ 𝑦)))
3		helch 31005	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Cℋ
4		stcltr1.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
5	2, 3, 4	stcltr1i 32036	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘ ℋ) = 1 → (𝑆‘𝐴) = 1) → ℋ ⊆ 𝐴))
6	1, 5	syl5 34	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) = 1 → ℋ ⊆ 𝐴))
7	4	chssii 30993	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
8		eqss 3992	. . 3 ⊢ (𝐴 = ℋ ↔ (𝐴 ⊆ ℋ ∧ ℋ ⊆ 𝐴))
9	7, 8	mpbiran 706	. 2 ⊢ (𝐴 = ℋ ↔ ℋ ⊆ 𝐴)
10	6, 9	imbitrrdi 251	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) = 1 → 𝐴 = ℋ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055   ⊆ wss 3943  ‘cfv 6537  1c1 11113   ℋchba 30681   C_ℋ cch 30691  Statescst 30724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hv0cl 30765  ax-hfvmul 30767

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-map 8824  df-nn 12217  df-hlim 30734  df-sh 30969  df-ch 30983

This theorem is referenced by:  stcltrlem1  32038