HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stcltr2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stcltr2i 32037
Description: Property of a strong classical state. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
stcltr1.1 (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥C𝑦C (((𝑆𝑥) = 1 → (𝑆𝑦) = 1) → 𝑥𝑦)))
stcltr1.2 𝐴C
Assertion
Ref Expression
stcltr2i (𝜑 → ((𝑆𝐴) = 1 → 𝐴 = ℋ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stcltr2i
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . 3 ((𝑆𝐴) = 1 → ((𝑆‘ ℋ) = 1 → (𝑆𝐴) = 1))
2 stcltr1.1 . . . 4 (𝜑 ↔ (𝑆 ∈ States ∧ ∀𝑥C𝑦C (((𝑆𝑥) = 1 → (𝑆𝑦) = 1) → 𝑥𝑦)))
3 helch 31005 . . . 4 ℋ ∈ C
4 stcltr1.2 . . . 4 𝐴C
52, 3, 4stcltr1i 32036 . . 3 (𝜑 → (((𝑆‘ ℋ) = 1 → (𝑆𝐴) = 1) → ℋ ⊆ 𝐴))
61, 5syl5 34 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝐴) = 1 → ℋ ⊆ 𝐴))
74chssii 30993 . . 3 𝐴 ⊆ ℋ
8 eqss 3992 . . 3 (𝐴 = ℋ ↔ (𝐴 ⊆ ℋ ∧ ℋ ⊆ 𝐴))
97, 8mpbiran 706 . 2 (𝐴 = ℋ ↔ ℋ ⊆ 𝐴)
106, 9imbitrrdi 251 1 (𝜑 → ((𝑆𝐴) = 1 → 𝐴 = ℋ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  wss 3943  cfv 6537  1c1 11113  chba 30681   C cch 30691  Statescst 30724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hv0cl 30765  ax-hfvmul 30767
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-map 8824  df-nn 12217  df-hlim 30734  df-sh 30969  df-ch 30983
This theorem is referenced by:  stcltrlem1  32038
  Copyright terms: Public domain W3C validator