Theorem chsscon3i 30500

Description: Hilbert lattice contraposition law. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chjcl.2	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chsscon3i	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⊆ (⊥‘𝐴))

Proof of Theorem chsscon3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	chssii 30270	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
3		chjcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
4	3	chssii 30270	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ ℋ
5		occon 30326	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (⊥‘𝐵) ⊆ (⊥‘𝐴)))
6	2, 4, 5	mp2an 690	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (⊥‘𝐵) ⊆ (⊥‘𝐴))
7	3	choccli 30346	. . . . 5 ⊢ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ
8	7	chssii 30270	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐵) ⊆ ℋ
9	1	choccli 30346	. . . . 5 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
10	9	chssii 30270	. . . 4 ⊢ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ
11		occon 30326	. . . 4 ⊢ (((⊥‘𝐵) ⊆ ℋ ∧ (⊥‘𝐴) ⊆ ℋ) → ((⊥‘𝐵) ⊆ (⊥‘𝐴) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
12	8, 10, 11	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((⊥‘𝐵) ⊆ (⊥‘𝐴) → (⊥‘(⊥‘𝐴)) ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
13	1	pjococi 30476	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐴)) = 𝐴
14	3	pjococi 30476	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘𝐵)) = 𝐵
15	12, 13, 14	3sstr3g 4006	. 2 ⊢ ((⊥‘𝐵) ⊆ (⊥‘𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
16	6, 15	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (⊥‘𝐵) ⊆ (⊥‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3928  ‘cfv 6516   ℋchba 29958   C_ℋ cch 29968  ⊥cort 29969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155  ax-hilex 30038  ax-hfvadd 30039  ax-hvcom 30040  ax-hvass 30041  ax-hv0cl 30042  ax-hvaddid 30043  ax-hfvmul 30044  ax-hvmulid 30045  ax-hvmulass 30046  ax-hvdistr1 30047  ax-hvdistr2 30048  ax-hvmul0 30049  ax-hfi 30118  ax-his1 30121  ax-his2 30122  ax-his3 30123  ax-his4 30124  ax-hcompl 30241

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-supp 8113  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-fsupp 9328  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-q 12898  df-rp 12940  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-fl 13722  df-seq 13932  df-exp 13993  df-hash 14256  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15598  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-mulr 17176  df-starv 17177  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-ip 17180  df-tset 17181  df-ple 17182  df-ds 17184  df-unif 17185  df-hom 17186  df-cco 17187  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17413  df-qtop 17418  df-imas 17419  df-xps 17421  df-mre 17495  df-mrc 17496  df-acs 17498  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-submnd 18631  df-mulg 18902  df-cntz 19126  df-cmn 19593  df-psmet 20840  df-xmet 20841  df-met 20842  df-bl 20843  df-mopn 20844  df-fbas 20845  df-fg 20846  df-cnfld 20849  df-top 22295  df-topon 22312  df-topsp 22334  df-bases 22348  df-cld 22422  df-ntr 22423  df-cls 22424  df-nei 22501  df-cn 22630  df-cnp 22631  df-lm 22632  df-haus 22718  df-tx 22965  df-hmeo 23158  df-fil 23249  df-fm 23341  df-flim 23342  df-flf 23343  df-xms 23725  df-ms 23726  df-tms 23727  df-cfil 24671  df-cau 24672  df-cmet 24673  df-grpo 29532  df-gid 29533  df-ginv 29534  df-gdiv 29535  df-ablo 29584  df-vc 29598  df-nv 29631  df-va 29634  df-ba 29635  df-sm 29636  df-0v 29637  df-vs 29638  df-nmcv 29639  df-ims 29640  df-dip 29740  df-ssp 29761  df-ph 29852  df-cbn 29902  df-hnorm 30007  df-hba 30008  df-hvsub 30010  df-hlim 30011  df-hcau 30012  df-sh 30246  df-ch 30260  df-oc 30291  df-ch0 30292

This theorem is referenced by:  chsscon1i  30501  chcon3i  30505  chdmm1i  30516  chsscon3  30539  spansnpji  30617  pjoml3i  30625  pjss2i  30719  pjssmii  30720  pjocini  30737  mayetes3i  30768  pjnormssi  31207  stji1i  31281  mdsldmd1i  31370