Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spansnji Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spansnji 29408
 Description: The subspace sum of a closed subspace and a one-dimensional subspace equals their join. (Proof suggested by Eric Schechter 1-Jun-2004.) (Contributed by NM, 1-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spansnj.1 𝐴C
spansnj.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
spansnji (𝐴 + (span‘{𝐵})) = (𝐴 (span‘{𝐵}))

Proof of Theorem spansnji
StepHypRef Expression
1 spansnj.1 . . . 4 𝐴C
21chshii 28989 . . 3 𝐴S
3 spansnj.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℋ
43spansnchi 29324 . . . 4 (span‘{𝐵}) ∈ C
54chshii 28989 . . 3 (span‘{𝐵}) ∈ S
62, 5shjshsi 29254 . 2 (𝐴 (span‘{𝐵})) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 + (span‘{𝐵}))))
71chssii 28993 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ ℋ
81choccli 29069 . . . . . . . . . 10 (⊥‘𝐴) ∈ C
98, 3pjhclii 29184 . . . . . . . . 9 ((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ
10 snssi 4714 . . . . . . . . 9 (((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ → {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ
127, 11spanuni 29306 . . . . . . 7 (span‘(𝐴 ∪ {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = ((span‘𝐴) + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
13 spanid 29109 . . . . . . . . 9 (𝐴S → (span‘𝐴) = 𝐴)
142, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (span‘𝐴) = 𝐴
1514oveq1i 7140 . . . . . . 7 ((span‘𝐴) + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
167, 3spansnpji 29340 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ (⊥‘(span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
179spansnchi 29324 . . . . . . . . 9 (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∈ C
181, 17osumi 29404 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ (⊥‘(span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) → (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
1916, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐴 + (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
2012, 15, 193eqtrri 2849 . . . . . 6 (𝐴 (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (span‘(𝐴 ∪ {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
211, 3spanunsni 29341 . . . . . 6 (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (span‘(𝐴 ∪ {((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
2220, 21eqtr4i 2847 . . . . 5 (𝐴 (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (span‘(𝐴 ∪ {𝐵}))
23 snssi 4714 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
243, 23ax-mp 5 . . . . . 6 {𝐵} ⊆ ℋ
257, 24spanuni 29306 . . . . 5 (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((span‘𝐴) + (span‘{𝐵}))
2614oveq1i 7140 . . . . 5 ((span‘𝐴) + (span‘{𝐵})) = (𝐴 + (span‘{𝐵}))
2722, 25, 263eqtrri 2849 . . . 4 (𝐴 + (span‘{𝐵})) = (𝐴 (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
281, 17chjcli 29219 . . . 4 (𝐴 (span‘{((proj‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ∈ C
2927, 28eqeltri 2908 . . 3 (𝐴 + (span‘{𝐵})) ∈ C
3029ococi 29167 . 2 (⊥‘(⊥‘(𝐴 + (span‘{𝐵})))) = (𝐴 + (span‘{𝐵}))
316, 30eqtr2i 2845 1 (𝐴 + (span‘{𝐵})) = (𝐴 (span‘{𝐵}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∪ cun 3908   ⊆ wss 3910  {csn 4540  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   ℋchba 28681   Sℋ csh 28690   Cℋ cch 28691  ⊥cort 28692   +ℋ cph 28693  spancspn 28694   ∨ℋ chj 28695  projℎcpjh 28699 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cc 9834  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594  ax-hilex 28761  ax-hfvadd 28762  ax-hvcom 28763  ax-hvass 28764  ax-hv0cl 28765  ax-hvaddid 28766  ax-hfvmul 28767  ax-hvmulid 28768  ax-hvmulass 28769  ax-hvdistr1 28770  ax-hvdistr2 28771  ax-hvmul0 28772  ax-hfi 28841  ax-his1 28844  ax-his2 28845  ax-his3 28846  ax-his4 28847  ax-hcompl 28964 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-omul 8082  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-acn 9347  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-rlim 14825  df-sum 15022  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-lm 21813  df-haus 21899  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cfil 23838  df-cau 23839  df-cmet 23840  df-grpo 28255  df-gid 28256  df-ginv 28257  df-gdiv 28258  df-ablo 28307  df-vc 28321  df-nv 28354  df-va 28357  df-ba 28358  df-sm 28359  df-0v 28360  df-vs 28361  df-nmcv 28362  df-ims 28363  df-dip 28463  df-ssp 28484  df-ph 28575  df-cbn 28625  df-hnorm 28730  df-hba 28731  df-hvsub 28733  df-hlim 28734  df-hcau 28735  df-sh 28969  df-ch 28983  df-oc 29014  df-ch0 29015  df-shs 29070  df-span 29071  df-chj 29072  df-pjh 29157 This theorem is referenced by:  spansnj  29409  spansncvi  29414
 Copyright terms: Public domain W3C validator