Theorem spansnji 31788

Description: The subspace sum of a closed subspace and a one-dimensional subspace equals their join. (Proof suggested by Eric Schechter 1-Jun-2004.) (Contributed by NM, 1-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spansnj.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
spansnj.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
spansnji	⊢ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))

Proof of Theorem spansnji

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spansnj.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2	1	chshii 31369	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
3		spansnj.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
4	3	spansnchi 31704	. . . 4 ⊢ (span‘{𝐵}) ∈ Cℋ
5	4	chshii 31369	. . 3 ⊢ (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ
6	2, 5	shjshsi 31634	. 2 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵})) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))))
7	1	chssii 31373	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
8	1	choccli 31449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ
9	8, 3	pjhclii 31564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ
10		snssi 4738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵) ∈ ℋ → {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)} ⊆ ℋ
12	7, 11	spanuni 31686	. . . . . . 7 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
13		spanid 31489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (span‘𝐴) = 𝐴)
14	2, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (span‘𝐴) = 𝐴
15	14	oveq1i 7395	. . . . . . 7 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
16	7, 3	spansnpji 31720	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘(span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
17	9	spansnchi 31704	. . . . . . . . 9 ⊢ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}) ∈ Cℋ
18	1, 17	osumi 31784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘(span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) → (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 ∨ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})))
19	16, 18	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 +ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (𝐴 ∨ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
20	12, 15, 19	3eqtrri 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
21	1, 3	spanunsni 31721	. . . . . 6 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = (span‘(𝐴 ∪ {((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
22	20, 21	eqtr4i 2782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) = (span‘(𝐴 ∪ {𝐵}))
23		snssi 4738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
24	3, 23	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {𝐵} ⊆ ℋ
25	7, 24	spanuni 31686	. . . . 5 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ {𝐵})) = ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{𝐵}))
26	14	oveq1i 7395	. . . . 5 ⊢ ((span‘𝐴) +ℋ (span‘{𝐵})) = (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))
27	22, 25, 26	3eqtrri 2784	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) = (𝐴 ∨ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)}))
28	1, 17	chjcli 31599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (span‘{((projℎ‘(⊥‘𝐴))‘𝐵)})) ∈ Cℋ
29	27, 28	eqeltri 2852	. . 3 ⊢ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) ∈ Cℋ
30	29	ococi 31547	. 2 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})))) = (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵}))
31	6, 30	eqtr2i 2780	1 ⊢ (𝐴 +ℋ (span‘{𝐵})) = (𝐴 ∨ℋ (span‘{𝐵}))

Syntax hints:   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4576  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385   ℋchba 31061   S_ℋ csh 31070   C_ℋ cch 31071  ⊥cort 31072   +_ℋ cph 31073  spancspn 31074   ∨_ℋ chj 31075  proj_ℎcpjh 31079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-cc 10382  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141  ax-addf 11142  ax-mulf 11143  ax-hilex 31141  ax-hfvadd 31142  ax-hvcom 31143  ax-hvass 31144  ax-hv0cl 31145  ax-hvaddid 31146  ax-hfvmul 31147  ax-hvmulid 31148  ax-hvmulass 31149  ax-hvdistr1 31150  ax-hvdistr2 31151  ax-hvmul0 31152  ax-hfi 31221  ax-his1 31224  ax-his2 31225  ax-his3 31226  ax-his4 31227  ax-hcompl 31344

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-oadd 8429  df-omul 8430  df-er 8666  df-map 8798  df-pm 8799  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9448  df-card 9887  df-acn 9890  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12984  df-xneg 13104  df-xadd 13105  df-xmul 13106  df-ioo 13343  df-ico 13345  df-icc 13346  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-fl 13792  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14334  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-clim 15491  df-rlim 15492  df-sum 15690  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-starv 17277  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-unif 17285  df-hom 17286  df-cco 17287  df-rest 17427  df-topn 17428  df-0g 17446  df-gsum 17447  df-topgen 17448  df-pt 17449  df-prds 17452  df-xrs 17508  df-qtop 17513  df-imas 17514  df-xps 17516  df-mre 17590  df-mrc 17591  df-acs 17593  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-submnd 18794  df-mulg 19086  df-cntz 19333  df-cmn 19798  df-psmet 21389  df-xmet 21390  df-met 21391  df-bl 21392  df-mopn 21393  df-fbas 21394  df-fg 21395  df-cnfld 21398  df-top 22927  df-topon 22944  df-topsp 22966  df-bases 22979  df-cld 23052  df-ntr 23053  df-cls 23054  df-nei 23131  df-cn 23260  df-cnp 23261  df-lm 23262  df-haus 23348  df-tx 23595  df-hmeo 23788  df-fil 23879  df-fm 23971  df-flim 23972  df-flf 23973  df-xms 24353  df-ms 24354  df-tms 24355  df-cfil 25290  df-cau 25291  df-cmet 25292  df-grpo 30635  df-gid 30636  df-ginv 30637  df-gdiv 30638  df-ablo 30687  df-vc 30701  df-nv 30734  df-va 30737  df-ba 30738  df-sm 30739  df-0v 30740  df-vs 30741  df-nmcv 30742  df-ims 30743  df-dip 30843  df-ssp 30864  df-ph 30955  df-cbn 31005  df-hnorm 31110  df-hba 31111  df-hvsub 31113  df-hlim 31114  df-hcau 31115  df-sh 31349  df-ch 31363  df-oc 31394  df-ch0 31395  df-shs 31450  df-span 31451  df-chj 31452  df-pjh 31537

This theorem is referenced by:  spansnj  31789  spansncvi  31794