HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmpji Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hmopidmpji 31392
Description: An idempotent Hermitian operator is a projection operator. Theorem 26.4 of [Halmos] p. 44. (Halmos seems to omit the proof that 𝐻 is a closed subspace, which is not trivial as hmopidmchi 31391 shows.) (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hmopidmch.1 𝑇 ∈ HrmOp
hmopidmch.2 (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇
Assertion
Ref Expression
hmopidmpji 𝑇 = (projβ„Žβ€˜ran 𝑇)
Proof of Theorem hmopidmpji
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopidmch.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ HrmOp
2 hmoplin 31182 . . . . . 6 (𝑇 ∈ HrmOp β†’ 𝑇 ∈ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝑇 ∈ LinOp
43lnopfi 31209 . . . 4 𝑇: β„‹βŸΆ β„‹
5 ffn 6714 . . . 4 (𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ β†’ 𝑇 Fn β„‹)
64, 5ax-mp 5 . . 3 𝑇 Fn β„‹
7 hmopidmch.2 . . . . 5 (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇
81, 7hmopidmchi 31391 . . . 4 ran 𝑇 ∈ Cβ„‹
98pjfni 30941 . . 3 (projβ„Žβ€˜ran 𝑇) Fn β„‹
10 eqfnfv 7029 . . 3 ((𝑇 Fn β„‹ ∧ (projβ„Žβ€˜ran 𝑇) Fn β„‹) β†’ (𝑇 = (projβ„Žβ€˜ran 𝑇) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜π‘₯)))
116, 9, 10mp2an 690 . 2 (𝑇 = (projβ„Žβ€˜ran 𝑇) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜π‘₯))
12 fnfvelrn 7079 . . . . 5 ((𝑇 Fn β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑇)
136, 12mpan 688 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑇)
14 id 22 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
154ffvelcdmi 7082 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹)
16 hvsubcl 30257 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ β„‹)
1714, 15, 16syl2anc 584 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ β„‹)
18 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
1915adantr 481 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹)
204ffvelcdmi 7082 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‹)
2120adantl 482 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‹)
22 his2sub 30332 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = ((π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦))))
2318, 19, 21, 22syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = ((π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦))))
24 hmop 31162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) = ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)))
251, 24mp3an1 1448 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) = ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)))
2620, 25sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) = ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)))
274, 4hocoi 31004 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ ((𝑇 ∘ 𝑇)β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))
287fveq1i 6889 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∘ 𝑇)β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜π‘¦)
2927, 28eqtr3di 2787 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) = (π‘‡β€˜π‘¦))
3029adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) = (π‘‡β€˜π‘¦))
3130oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) = (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)))
3226, 31eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)))
3332oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦))) = ((π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) βˆ’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦))))
34 hicl 30320 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
3520, 34sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
3635subidd 11555 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) βˆ’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦))) = 0)
3723, 33, 363eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = 0)
3837ralrimiva 3146 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = 0)
39 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (π‘‡β€˜π‘¦) β†’ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)))
4039eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘‡β€˜π‘¦) β†’ (((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = 0 ↔ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = 0))
4140ralrn 7086 . . . . . . 7 (𝑇 Fn β„‹ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑇((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = 0 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = 0))
426, 41ax-mp 5 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑇((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = 0 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = 0)
4338, 42sylibr 233 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑇((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = 0)
448chssii 30471 . . . . . 6 ran 𝑇 βŠ† β„‹
45 ocel 30521 . . . . . 6 (ran 𝑇 βŠ† β„‹ β†’ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ (βŠ₯β€˜ran 𝑇) ↔ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑇((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = 0)))
4644, 45ax-mp 5 . . . . 5 ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ (βŠ₯β€˜ran 𝑇) ↔ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑇((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = 0))
4717, 43, 46sylanbrc 583 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ (βŠ₯β€˜ran 𝑇))
488pjcompi 30912 . . . 4 (((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑇 ∧ (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ (βŠ₯β€˜ran 𝑇)) β†’ ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜((π‘‡β€˜π‘₯) +β„Ž (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)))) = (π‘‡β€˜π‘₯))
4913, 47, 48syl2anc 584 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜((π‘‡β€˜π‘₯) +β„Ž (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)))) = (π‘‡β€˜π‘₯))
50 hvpncan3 30282 . . . . 5 (((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) +β„Ž (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯))) = π‘₯)
5115, 14, 50syl2anc 584 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) +β„Ž (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯))) = π‘₯)
5251fveq2d 6892 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜((π‘‡β€˜π‘₯) +β„Ž (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)))) = ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜π‘₯))
5349, 52eqtr3d 2774 . 2 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜π‘₯))
5411, 53mprgbir 3068 1 𝑇 = (projβ„Žβ€˜ran 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3947  ran crn 5676   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106   βˆ’ cmin 11440   β„‹chba 30159   +β„Ž cva 30160   Β·ih csp 30162   βˆ’β„Ž cmv 30165  βŠ₯cort 30170  projβ„Žcpjh 30177  LinOpclo 30187  HrmOpcho 30190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-dc 10437  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186  ax-hilex 30239  ax-hfvadd 30240  ax-hvcom 30241  ax-hvass 30242  ax-hv0cl 30243  ax-hvaddid 30244  ax-hfvmul 30245  ax-hvmulid 30246  ax-hvmulass 30247  ax-hvdistr1 30248  ax-hvdistr2 30249  ax-hvmul0 30250  ax-hfi 30319  ax-his1 30322  ax-his2 30323  ax-his3 30324  ax-his4 30325  ax-hcompl 30442
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-lm 22724  df-t1 22809  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-fcls 23436  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-cfil 24763  df-cau 24764  df-cmet 24765  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-gdiv 29736  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-vs 29839  df-nmcv 29840  df-ims 29841  df-dip 29941  df-ssp 29962  df-lno 29984  df-nmoo 29985  df-blo 29986  df-0o 29987  df-ph 30053  df-cbn 30103  df-hlo 30126  df-hnorm 30208  df-hba 30209  df-hvsub 30211  df-hlim 30212  df-hcau 30213  df-sh 30447  df-ch 30461  df-oc 30492  df-ch0 30493  df-shs 30548  df-pjh 30635  df-h0op 30988  df-nmop 31079  df-cnop 31080  df-lnop 31081  df-bdop 31082  df-unop 31083  df-hmop 31084
This theorem is referenced by:  hmopidmpj  31394
  Copyright terms: Public domain W3C validator