HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmpji Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hmopidmpji 31914
Description: An idempotent Hermitian operator is a projection operator. Theorem 26.4 of [Halmos] p. 44. (Halmos seems to omit the proof that 𝐻 is a closed subspace, which is not trivial as hmopidmchi 31913 shows.) (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hmopidmch.1 𝑇 ∈ HrmOp
hmopidmch.2 (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇
Assertion
Ref Expression
hmopidmpji 𝑇 = (projβ„Žβ€˜ran 𝑇)
Proof of Theorem hmopidmpji
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopidmch.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ HrmOp
2 hmoplin 31704 . . . . . 6 (𝑇 ∈ HrmOp β†’ 𝑇 ∈ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝑇 ∈ LinOp
43lnopfi 31731 . . . 4 𝑇: β„‹βŸΆ β„‹
5 ffn 6711 . . . 4 (𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ β†’ 𝑇 Fn β„‹)
64, 5ax-mp 5 . . 3 𝑇 Fn β„‹
7 hmopidmch.2 . . . . 5 (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇
81, 7hmopidmchi 31913 . . . 4 ran 𝑇 ∈ Cβ„‹
98pjfni 31463 . . 3 (projβ„Žβ€˜ran 𝑇) Fn β„‹
10 eqfnfv 7026 . . 3 ((𝑇 Fn β„‹ ∧ (projβ„Žβ€˜ran 𝑇) Fn β„‹) β†’ (𝑇 = (projβ„Žβ€˜ran 𝑇) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜π‘₯)))
116, 9, 10mp2an 689 . 2 (𝑇 = (projβ„Žβ€˜ran 𝑇) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜π‘₯))
12 fnfvelrn 7076 . . . . 5 ((𝑇 Fn β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑇)
136, 12mpan 687 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑇)
14 id 22 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
154ffvelcdmi 7079 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹)
16 hvsubcl 30779 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ β„‹)
1714, 15, 16syl2anc 583 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ β„‹)
18 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
1915adantr 480 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹)
204ffvelcdmi 7079 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‹)
2120adantl 481 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‹)
22 his2sub 30854 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = ((π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦))))
2318, 19, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = ((π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦))))
24 hmop 31684 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) = ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)))
251, 24mp3an1 1444 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) = ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)))
2620, 25sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) = ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)))
274, 4hocoi 31526 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ ((𝑇 ∘ 𝑇)β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))
287fveq1i 6886 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∘ 𝑇)β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜π‘¦)
2927, 28eqtr3di 2781 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) = (π‘‡β€˜π‘¦))
3029adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) = (π‘‡β€˜π‘¦))
3130oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) = (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)))
3226, 31eqtr3d 2768 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)))
3332oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦))) = ((π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) βˆ’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦))))
34 hicl 30842 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
3520, 34sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
3635subidd 11563 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) βˆ’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦))) = 0)
3723, 33, 363eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = 0)
3837ralrimiva 3140 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = 0)
39 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (π‘‡β€˜π‘¦) β†’ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)))
4039eqeq1d 2728 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘‡β€˜π‘¦) β†’ (((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = 0 ↔ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = 0))
4140ralrn 7083 . . . . . . 7 (𝑇 Fn β„‹ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑇((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = 0 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = 0))
426, 41ax-mp 5 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑇((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = 0 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = 0)
4338, 42sylibr 233 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑇((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = 0)
448chssii 30993 . . . . . 6 ran 𝑇 βŠ† β„‹
45 ocel 31043 . . . . . 6 (ran 𝑇 βŠ† β„‹ β†’ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ (βŠ₯β€˜ran 𝑇) ↔ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑇((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = 0)))
4644, 45ax-mp 5 . . . . 5 ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ (βŠ₯β€˜ran 𝑇) ↔ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑇((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = 0))
4717, 43, 46sylanbrc 582 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ (βŠ₯β€˜ran 𝑇))
488pjcompi 31434 . . . 4 (((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑇 ∧ (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ (βŠ₯β€˜ran 𝑇)) β†’ ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜((π‘‡β€˜π‘₯) +β„Ž (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)))) = (π‘‡β€˜π‘₯))
4913, 47, 48syl2anc 583 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜((π‘‡β€˜π‘₯) +β„Ž (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)))) = (π‘‡β€˜π‘₯))
50 hvpncan3 30804 . . . . 5 (((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) +β„Ž (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯))) = π‘₯)
5115, 14, 50syl2anc 583 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) +β„Ž (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯))) = π‘₯)
5251fveq2d 6889 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜((π‘‡β€˜π‘₯) +β„Ž (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)))) = ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜π‘₯))
5349, 52eqtr3d 2768 . 2 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜π‘₯))
5411, 53mprgbir 3062 1 𝑇 = (projβ„Žβ€˜ran 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  ran crn 5670   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112   βˆ’ cmin 11448   β„‹chba 30681   +β„Ž cva 30682   Β·ih csp 30684   βˆ’β„Ž cmv 30687  βŠ₯cort 30692  projβ„Žcpjh 30699  LinOpclo 30709  HrmOpcho 30712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-dc 10443  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847  ax-hcompl 30964
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-lm 23088  df-t1 23173  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-fcls 23800  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-cfil 25138  df-cau 25139  df-cmet 25140  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-gdiv 30258  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-vs 30361  df-nmcv 30362  df-ims 30363  df-dip 30463  df-ssp 30484  df-lno 30506  df-nmoo 30507  df-blo 30508  df-0o 30509  df-ph 30575  df-cbn 30625  df-hlo 30648  df-hnorm 30730  df-hba 30731  df-hvsub 30733  df-hlim 30734  df-hcau 30735  df-sh 30969  df-ch 30983  df-oc 31014  df-ch0 31015  df-shs 31070  df-pjh 31157  df-h0op 31510  df-nmop 31601  df-cnop 31602  df-lnop 31603  df-bdop 31604  df-unop 31605  df-hmop 31606
This theorem is referenced by:  hmopidmpj  31916
  Copyright terms: Public domain W3C validator