Theorem hmopidmpji 29608

Description: An idempotent Hermitian operator is a projection operator. Theorem 26.4 of [Halmos] p. 44. (Halmos seems to omit the proof that 𝐻 is a closed subspace, which is not trivial as hmopidmchi 29607 shows.) (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hmopidmch.1	⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
hmopidmch.2	⊢ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇

Assertion

Ref	Expression
hmopidmpji	⊢ 𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇)

Proof of Theorem hmopidmpji

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopidmch.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
2		hmoplin 29398	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
4	3	lnopfi 29425	. . . 4 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5		ffn 6374	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 Fn ℋ
7		hmopidmch.2	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇
8	1, 7	hmopidmchi 29607	. . . 4 ⊢ ran 𝑇 ∈ Cℋ
9	8	pjfni 29157	. . 3 ⊢ (projℎ‘ran 𝑇) Fn ℋ
10		eqfnfv 6658	. . 3 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ (projℎ‘ran 𝑇) Fn ℋ) → (𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥)))
11	6, 9, 10	mp2an 688	. 2 ⊢ (𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥))
12		fnfvelrn 6704	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇)
13	6, 12	mpan 686	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇)
14		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
15	4	ffvelrni 6706	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
16		hvsubcl 28473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
17	14, 15, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
18		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
19	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
20	4	ffvelrni 6706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
21	20	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
22		his2sub 28548	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦))))
23	18, 19, 21, 22	syl3anc 1362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦))))
24		hmop 29378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
25	1, 24	mp3an1 1438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
26	20, 25	sylan2 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
27	7	fveq1i 6531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑇‘𝑦)
28	4, 4	hocoi 29220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑇‘(𝑇‘𝑦)))
29	27, 28	syl5reqr 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑇‘𝑦))
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑇‘𝑦))
31	30	oveq2d 7023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)))
32	26, 31	eqtr3d 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)))
33	32	oveq2d 7023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦))) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))))
34		hicl 28536	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ∈ ℂ)
35	20, 34	sylan2 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ∈ ℂ)
36	35	subidd 10822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))) = 0)
37	23, 33, 36	3eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0)
38	37	ralrimiva 3147	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0)
39		oveq2 7015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑇‘𝑦) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)))
40	39	eqeq1d 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑇‘𝑦) → (((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0 ↔ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0))
41	40	ralrn 6710	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 Fn ℋ → (∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0))
42	6, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0)
43	38, 42	sylibr 235	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0)
44	8	chssii 28687	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑇 ⊆ ℋ
45		ocel 28737	. . . . . 6 ⊢ (ran 𝑇 ⊆ ℋ → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇) ↔ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0)))
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇) ↔ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0))
47	17, 43, 46	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇))
48	8	pjcompi 29128	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇 ∧ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇)) → ((projℎ‘ran 𝑇)‘((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)))) = (𝑇‘𝑥))
49	13, 47, 48	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘ran 𝑇)‘((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)))) = (𝑇‘𝑥))
50		hvpncan3 28498	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥))) = 𝑥)
51	15, 14, 50	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥))) = 𝑥)
52	51	fveq2d 6534	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘ran 𝑇)‘((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)))) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥))
53	49, 52	eqtr3d 2831	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥))
54	11, 53	mprgbir 3118	1 ⊢ 𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇)

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  ∀wral 3103   ⊆ wss 3854  ran crn 5436   ∘ ccom 5439   Fn wfn 6212  ⟶wf 6213  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  ℂcc 10370  0cc0 10372   − cmin 10706   ℋchba 28375   +_ℎ cva 28376   ·_ih csp 28378   −_ℎ cmv 28381  ⊥cort 28386  proj_ℎcpjh 28393  LinOpclo 28403  HrmOpcho 28406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-inf2 8939  ax-cc 9692  ax-dc 9703  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450  ax-addf 10451  ax-mulf 10452  ax-hilex 28455  ax-hfvadd 28456  ax-hvcom 28457  ax-hvass 28458  ax-hv0cl 28459  ax-hvaddid 28460  ax-hfvmul 28461  ax-hvmulid 28462  ax-hvmulass 28463  ax-hvdistr1 28464  ax-hvdistr2 28465  ax-hvmul0 28466  ax-hfi 28535  ax-his1 28538  ax-his2 28539  ax-his3 28540  ax-his4 28541  ax-hcompl 28658

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-oadd 7948  df-omul 7949  df-er 8130  df-map 8249  df-pm 8250  df-ixp 8301  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-fi 8711  df-sup 8742  df-inf 8743  df-oi 8810  df-card 9203  df-acn 9206  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-xneg 12346  df-xadd 12347  df-xmul 12348  df-ioo 12581  df-ico 12583  df-icc 12584  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-fl 13000  df-seq 13208  df-exp 13268  df-hash 13529  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-clim 14667  df-rlim 14668  df-sum 14865  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-starv 16397  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-ip 16400  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-unif 16405  df-hom 16406  df-cco 16407  df-rest 16513  df-topn 16514  df-0g 16532  df-gsum 16533  df-topgen 16534  df-pt 16535  df-prds 16538  df-xrs 16592  df-qtop 16597  df-imas 16598  df-xps 16600  df-mre 16674  df-mrc 16675  df-acs 16677  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-submnd 17763  df-mulg 17970  df-cntz 18176  df-cmn 18623  df-psmet 20207  df-xmet 20208  df-met 20209  df-bl 20210  df-mopn 20211  df-fbas 20212  df-fg 20213  df-cnfld 20216  df-top 21174  df-topon 21191  df-topsp 21213  df-bases 21226  df-cld 21299  df-ntr 21300  df-cls 21301  df-nei 21378  df-cn 21507  df-cnp 21508  df-lm 21509  df-t1 21594  df-haus 21595  df-cmp 21667  df-tx 21842  df-hmeo 22035  df-fil 22126  df-fm 22218  df-flim 22219  df-flf 22220  df-fcls 22221  df-xms 22601  df-ms 22602  df-tms 22603  df-cncf 23157  df-cfil 23529  df-cau 23530  df-cmet 23531  df-grpo 27949  df-gid 27950  df-ginv 27951  df-gdiv 27952  df-ablo 28001  df-vc 28015  df-nv 28048  df-va 28051  df-ba 28052  df-sm 28053  df-0v 28054  df-vs 28055  df-nmcv 28056  df-ims 28057  df-dip 28157  df-ssp 28178  df-lno 28200  df-nmoo 28201  df-blo 28202  df-0o 28203  df-ph 28269  df-cbn 28319  df-hlo 28342  df-hnorm 28424  df-hba 28425  df-hvsub 28427  df-hlim 28428  df-hcau 28429  df-sh 28663  df-ch 28677  df-oc 28708  df-ch0 28709  df-shs 28764  df-pjh 28851  df-h0op 29204  df-nmop 29295  df-cnop 29296  df-lnop 29297  df-bdop 29298  df-unop 29299  df-hmop 29300

This theorem is referenced by:  hmopidmpj  29610