HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmpji Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hmopidmpji 32004
Description: An idempotent Hermitian operator is a projection operator. Theorem 26.4 of [Halmos] p. 44. (Halmos seems to omit the proof that 𝐻 is a closed subspace, which is not trivial as hmopidmchi 32003 shows.) (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hmopidmch.1 𝑇 ∈ HrmOp
hmopidmch.2 (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇
Assertion
Ref Expression
hmopidmpji 𝑇 = (projβ„Žβ€˜ran 𝑇)
Proof of Theorem hmopidmpji
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopidmch.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ HrmOp
2 hmoplin 31794 . . . . . 6 (𝑇 ∈ HrmOp β†’ 𝑇 ∈ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝑇 ∈ LinOp
43lnopfi 31821 . . . 4 𝑇: β„‹βŸΆ β„‹
5 ffn 6716 . . . 4 (𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ β†’ 𝑇 Fn β„‹)
64, 5ax-mp 5 . . 3 𝑇 Fn β„‹
7 hmopidmch.2 . . . . 5 (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇
81, 7hmopidmchi 32003 . . . 4 ran 𝑇 ∈ Cβ„‹
98pjfni 31553 . . 3 (projβ„Žβ€˜ran 𝑇) Fn β„‹
10 eqfnfv 7034 . . 3 ((𝑇 Fn β„‹ ∧ (projβ„Žβ€˜ran 𝑇) Fn β„‹) β†’ (𝑇 = (projβ„Žβ€˜ran 𝑇) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜π‘₯)))
116, 9, 10mp2an 690 . 2 (𝑇 = (projβ„Žβ€˜ran 𝑇) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜π‘₯))
12 fnfvelrn 7084 . . . . 5 ((𝑇 Fn β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑇)
136, 12mpan 688 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑇)
14 id 22 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
154ffvelcdmi 7087 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹)
16 hvsubcl 30869 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ β„‹)
1714, 15, 16syl2anc 582 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ β„‹)
18 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
1915adantr 479 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹)
204ffvelcdmi 7087 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‹)
2120adantl 480 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‹)
22 his2sub 30944 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = ((π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦))))
2318, 19, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = ((π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦))))
24 hmop 31774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) = ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)))
251, 24mp3an1 1444 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) = ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)))
2620, 25sylan2 591 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) = ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)))
274, 4hocoi 31616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ ((𝑇 ∘ 𝑇)β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)))
287fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∘ 𝑇)β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜π‘¦)
2927, 28eqtr3di 2780 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) = (π‘‡β€˜π‘¦))
3029adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) = (π‘‡β€˜π‘¦))
3130oveq2d 7431 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘¦))) = (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)))
3226, 31eqtr3d 2767 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)))
3332oveq2d 7431 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘₯) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦))) = ((π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) βˆ’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦))))
34 hicl 30932 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ (π‘‡β€˜π‘¦) ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
3520, 34sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
3635subidd 11587 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) βˆ’ (π‘₯ Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦))) = 0)
3723, 33, 363eqtrd 2769 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‹ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = 0)
3837ralrimiva 3136 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = 0)
39 oveq2 7423 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (π‘‡β€˜π‘¦) β†’ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)))
4039eqeq1d 2727 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘‡β€˜π‘¦) β†’ (((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = 0 ↔ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = 0))
4140ralrn 7092 . . . . . . 7 (𝑇 Fn β„‹ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑇((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = 0 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = 0))
426, 41ax-mp 5 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑇((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = 0 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih (π‘‡β€˜π‘¦)) = 0)
4338, 42sylibr 233 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑇((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = 0)
448chssii 31083 . . . . . 6 ran 𝑇 βŠ† β„‹
45 ocel 31133 . . . . . 6 (ran 𝑇 βŠ† β„‹ β†’ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ (βŠ₯β€˜ran 𝑇) ↔ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑇((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = 0)))
4644, 45ax-mp 5 . . . . 5 ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ (βŠ₯β€˜ran 𝑇) ↔ ((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ β„‹ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ran 𝑇((π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) Β·ih 𝑧) = 0))
4717, 43, 46sylanbrc 581 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ (βŠ₯β€˜ran 𝑇))
488pjcompi 31524 . . . 4 (((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑇 ∧ (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)) ∈ (βŠ₯β€˜ran 𝑇)) β†’ ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜((π‘‡β€˜π‘₯) +β„Ž (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)))) = (π‘‡β€˜π‘₯))
4913, 47, 48syl2anc 582 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜((π‘‡β€˜π‘₯) +β„Ž (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)))) = (π‘‡β€˜π‘₯))
50 hvpncan3 30894 . . . . 5 (((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) +β„Ž (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯))) = π‘₯)
5115, 14, 50syl2anc 582 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) +β„Ž (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯))) = π‘₯)
5251fveq2d 6895 . . 3 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜((π‘‡β€˜π‘₯) +β„Ž (π‘₯ βˆ’β„Ž (π‘‡β€˜π‘₯)))) = ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜π‘₯))
5349, 52eqtr3d 2767 . 2 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = ((projβ„Žβ€˜ran 𝑇)β€˜π‘₯))
5411, 53mprgbir 3058 1 𝑇 = (projβ„Žβ€˜ran 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3940  ran crn 5673   ∘ ccom 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  0cc0 11136   βˆ’ cmin 11472   β„‹chba 30771   +β„Ž cva 30772   Β·ih csp 30774   βˆ’β„Ž cmv 30777  βŠ₯cort 30782  projβ„Žcpjh 30789  LinOpclo 30799  HrmOpcho 30802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-dc 10467  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216  ax-hilex 30851  ax-hfvadd 30852  ax-hvcom 30853  ax-hvass 30854  ax-hv0cl 30855  ax-hvaddid 30856  ax-hfvmul 30857  ax-hvmulid 30858  ax-hvmulass 30859  ax-hvdistr1 30860  ax-hvdistr2 30861  ax-hvmul0 30862  ax-hfi 30931  ax-his1 30934  ax-his2 30935  ax-his3 30936  ax-his4 30937  ax-hcompl 31054
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-lm 23149  df-t1 23234  df-haus 23235  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-fcls 23861  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-cfil 25199  df-cau 25200  df-cmet 25201  df-grpo 30345  df-gid 30346  df-ginv 30347  df-gdiv 30348  df-ablo 30397  df-vc 30411  df-nv 30444  df-va 30447  df-ba 30448  df-sm 30449  df-0v 30450  df-vs 30451  df-nmcv 30452  df-ims 30453  df-dip 30553  df-ssp 30574  df-lno 30596  df-nmoo 30597  df-blo 30598  df-0o 30599  df-ph 30665  df-cbn 30715  df-hlo 30738  df-hnorm 30820  df-hba 30821  df-hvsub 30823  df-hlim 30824  df-hcau 30825  df-sh 31059  df-ch 31073  df-oc 31104  df-ch0 31105  df-shs 31160  df-pjh 31247  df-h0op 31600  df-nmop 31691  df-cnop 31692  df-lnop 31693  df-bdop 31694  df-unop 31695  df-hmop 31696
This theorem is referenced by:  hmopidmpj  32006
  Copyright terms: Public domain W3C validator