Theorem hmopidmpji 32054

Description: An idempotent Hermitian operator is a projection operator. Theorem 26.4 of [Halmos] p. 44. (Halmos seems to omit the proof that 𝐻 is a closed subspace, which is not trivial as hmopidmchi 32053 shows.) (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hmopidmch.1	⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
hmopidmch.2	⊢ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇

Assertion

Ref	Expression
hmopidmpji	⊢ 𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇)

Proof of Theorem hmopidmpji

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopidmch.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
2		hmoplin 31844	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
4	3	lnopfi 31871	. . . 4 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5		ffn 6670	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 Fn ℋ
7		hmopidmch.2	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇
8	1, 7	hmopidmchi 32053	. . . 4 ⊢ ran 𝑇 ∈ Cℋ
9	8	pjfni 31603	. . 3 ⊢ (projℎ‘ran 𝑇) Fn ℋ
10		eqfnfv 6985	. . 3 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ (projℎ‘ran 𝑇) Fn ℋ) → (𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥)))
11	6, 9, 10	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥))
12		fnfvelrn 7034	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇)
13	6, 12	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇)
14		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
15	4	ffvelcdmi 7037	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
16		hvsubcl 30919	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
17	14, 15, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
18		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
19	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
20	4	ffvelcdmi 7037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
22		his2sub 30994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦))))
23	18, 19, 21, 22	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦))))
24		hmop 31824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
25	1, 24	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
26	20, 25	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
27	4, 4	hocoi 31666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑇‘(𝑇‘𝑦)))
28	7	fveq1i 6841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑇‘𝑦)
29	27, 28	eqtr3di 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑇‘𝑦))
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑇‘𝑦))
31	30	oveq2d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)))
32	26, 31	eqtr3d 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)))
33	32	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦))) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))))
34		hicl 30982	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ∈ ℂ)
35	20, 34	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ∈ ℂ)
36	35	subidd 11497	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))) = 0)
37	23, 33, 36	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0)
38	37	ralrimiva 3125	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0)
39		oveq2 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑇‘𝑦) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)))
40	39	eqeq1d 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑇‘𝑦) → (((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0 ↔ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0))
41	40	ralrn 7042	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 Fn ℋ → (∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0))
42	6, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0)
43	38, 42	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0)
44	8	chssii 31133	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑇 ⊆ ℋ
45		ocel 31183	. . . . . 6 ⊢ (ran 𝑇 ⊆ ℋ → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇) ↔ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0)))
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇) ↔ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0))
47	17, 43, 46	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇))
48	8	pjcompi 31574	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇 ∧ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇)) → ((projℎ‘ran 𝑇)‘((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)))) = (𝑇‘𝑥))
49	13, 47, 48	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘ran 𝑇)‘((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)))) = (𝑇‘𝑥))
50		hvpncan3 30944	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥))) = 𝑥)
51	15, 14, 50	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥))) = 𝑥)
52	51	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘ran 𝑇)‘((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)))) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥))
53	49, 52	eqtr3d 2766	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥))
54	11, 53	mprgbir 3051	1 ⊢ 𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3911  ran crn 5632   ∘ ccom 5635   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044   − cmin 11381   ℋchba 30821   +_ℎ cva 30822   ·_ih csp 30824   −_ℎ cmv 30827  ⊥cort 30832  proj_ℎcpjh 30839  LinOpclo 30849  HrmOpcho 30852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cc 10364  ax-dc 10375  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124  ax-hilex 30901  ax-hfvadd 30902  ax-hvcom 30903  ax-hvass 30904  ax-hv0cl 30905  ax-hvaddid 30906  ax-hfvmul 30907  ax-hvmulid 30908  ax-hvmulass 30909  ax-hvdistr1 30910  ax-hvdistr2 30911  ax-hvmul0 30912  ax-hfi 30981  ax-his1 30984  ax-his2 30985  ax-his3 30986  ax-his4 30987  ax-hcompl 31104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-acn 9871  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-nei 22961  df-cn 23090  df-cnp 23091  df-lm 23092  df-t1 23177  df-haus 23178  df-cmp 23250  df-tx 23425  df-hmeo 23618  df-fil 23709  df-fm 23801  df-flim 23802  df-flf 23803  df-fcls 23804  df-xms 24184  df-ms 24185  df-tms 24186  df-cncf 24747  df-cfil 25131  df-cau 25132  df-cmet 25133  df-grpo 30395  df-gid 30396  df-ginv 30397  df-gdiv 30398  df-ablo 30447  df-vc 30461  df-nv 30494  df-va 30497  df-ba 30498  df-sm 30499  df-0v 30500  df-vs 30501  df-nmcv 30502  df-ims 30503  df-dip 30603  df-ssp 30624  df-lno 30646  df-nmoo 30647  df-blo 30648  df-0o 30649  df-ph 30715  df-cbn 30765  df-hlo 30788  df-hnorm 30870  df-hba 30871  df-hvsub 30873  df-hlim 30874  df-hcau 30875  df-sh 31109  df-ch 31123  df-oc 31154  df-ch0 31155  df-shs 31210  df-pjh 31297  df-h0op 31650  df-nmop 31741  df-cnop 31742  df-lnop 31743  df-bdop 31744  df-unop 31745  df-hmop 31746

This theorem is referenced by:  hmopidmpj  32056