Theorem hmopidmpji 32241

Description: An idempotent Hermitian operator is a projection operator. Theorem 26.4 of [Halmos] p. 44. (Halmos seems to omit the proof that 𝐻 is a closed subspace, which is not trivial as hmopidmchi 32240 shows.) (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hmopidmch.1	⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
hmopidmch.2	⊢ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇

Assertion

Ref	Expression
hmopidmpji	⊢ 𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇)

Proof of Theorem hmopidmpji

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopidmch.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
2		hmoplin 32031	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
4	3	lnopfi 32058	. . . 4 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5		ffn 6663	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 Fn ℋ
7		hmopidmch.2	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇
8	1, 7	hmopidmchi 32240	. . . 4 ⊢ ran 𝑇 ∈ Cℋ
9	8	pjfni 31790	. . 3 ⊢ (projℎ‘ran 𝑇) Fn ℋ
10		eqfnfv 6978	. . 3 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ (projℎ‘ran 𝑇) Fn ℋ) → (𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥)))
11	6, 9, 10	mp2an 693	. 2 ⊢ (𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥))
12		fnfvelrn 7027	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇)
13	6, 12	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇)
14		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
15	4	ffvelcdmi 7030	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
16		hvsubcl 31106	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
17	14, 15, 16	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
18		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
19	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
20	4	ffvelcdmi 7030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
22		his2sub 31181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦))))
23	18, 19, 21, 22	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦))))
24		hmop 32011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
25	1, 24	mp3an1 1451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
26	20, 25	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
27	4, 4	hocoi 31853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑇‘(𝑇‘𝑦)))
28	7	fveq1i 6836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑇‘𝑦)
29	27, 28	eqtr3di 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑇‘𝑦))
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑇‘𝑦))
31	30	oveq2d 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)))
32	26, 31	eqtr3d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)))
33	32	oveq2d 7377	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦))) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))))
34		hicl 31169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ∈ ℂ)
35	20, 34	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ∈ ℂ)
36	35	subidd 11487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))) = 0)
37	23, 33, 36	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0)
38	37	ralrimiva 3130	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0)
39		oveq2 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑇‘𝑦) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)))
40	39	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑇‘𝑦) → (((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0 ↔ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0))
41	40	ralrn 7035	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 Fn ℋ → (∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0))
42	6, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0)
43	38, 42	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0)
44	8	chssii 31320	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑇 ⊆ ℋ
45		ocel 31370	. . . . . 6 ⊢ (ran 𝑇 ⊆ ℋ → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇) ↔ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0)))
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇) ↔ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0))
47	17, 43, 46	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇))
48	8	pjcompi 31761	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇 ∧ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇)) → ((projℎ‘ran 𝑇)‘((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)))) = (𝑇‘𝑥))
49	13, 47, 48	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘ran 𝑇)‘((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)))) = (𝑇‘𝑥))
50		hvpncan3 31131	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥))) = 𝑥)
51	15, 14, 50	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥))) = 𝑥)
52	51	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘ran 𝑇)‘((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)))) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥))
53	49, 52	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥))
54	11, 53	mprgbir 3059	1 ⊢ 𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  ran crn 5626   ∘ ccom 5629   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  0cc0 11032   − cmin 11371   ℋchba 31008   +_ℎ cva 31009   ·_ih csp 31011   −_ℎ cmv 31014  ⊥cort 31019  proj_ℎcpjh 31026  LinOpclo 31036  HrmOpcho 31039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cc 10351  ax-dc 10362  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174  ax-hcompl 31291

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-acn 9860  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13296  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-lm 23207  df-t1 23292  df-haus 23293  df-cmp 23365  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-fcls 23919  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-cncf 24858  df-cfil 25235  df-cau 25236  df-cmet 25237  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-gdiv 30585  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-vs 30688  df-nmcv 30689  df-ims 30690  df-dip 30790  df-ssp 30811  df-lno 30833  df-nmoo 30834  df-blo 30835  df-0o 30836  df-ph 30902  df-cbn 30952  df-hlo 30975  df-hnorm 31057  df-hba 31058  df-hvsub 31060  df-hlim 31061  df-hcau 31062  df-sh 31296  df-ch 31310  df-oc 31341  df-ch0 31342  df-shs 31397  df-pjh 31484  df-h0op 31837  df-nmop 31928  df-cnop 31929  df-lnop 31930  df-bdop 31931  df-unop 31932  df-hmop 31933

This theorem is referenced by:  hmopidmpj  32243