Theorem hmopidmpji 30514

Description: An idempotent Hermitian operator is a projection operator. Theorem 26.4 of [Halmos] p. 44. (Halmos seems to omit the proof that 𝐻 is a closed subspace, which is not trivial as hmopidmchi 30513 shows.) (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hmopidmch.1	⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
hmopidmch.2	⊢ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇

Assertion

Ref	Expression
hmopidmpji	⊢ 𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇)

Proof of Theorem hmopidmpji

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopidmch.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
2		hmoplin 30304	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
4	3	lnopfi 30331	. . . 4 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5		ffn 6600	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 Fn ℋ
7		hmopidmch.2	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇
8	1, 7	hmopidmchi 30513	. . . 4 ⊢ ran 𝑇 ∈ Cℋ
9	8	pjfni 30063	. . 3 ⊢ (projℎ‘ran 𝑇) Fn ℋ
10		eqfnfv 6909	. . 3 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ (projℎ‘ran 𝑇) Fn ℋ) → (𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥)))
11	6, 9, 10	mp2an 689	. 2 ⊢ (𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥))
12		fnfvelrn 6958	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇)
13	6, 12	mpan 687	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇)
14		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
15	4	ffvelrni 6960	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
16		hvsubcl 29379	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
17	14, 15, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
18		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
19	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
20	4	ffvelrni 6960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
21	20	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
22		his2sub 29454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦))))
23	18, 19, 21, 22	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦))))
24		hmop 30284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
25	1, 24	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
26	20, 25	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
27	4, 4	hocoi 30126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑇‘(𝑇‘𝑦)))
28	7	fveq1i 6775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑇‘𝑦)
29	27, 28	eqtr3di 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑇‘𝑦))
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑇‘𝑦))
31	30	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)))
32	26, 31	eqtr3d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)))
33	32	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦))) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))))
34		hicl 29442	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ∈ ℂ)
35	20, 34	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ∈ ℂ)
36	35	subidd 11320	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))) = 0)
37	23, 33, 36	3eqtrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0)
38	37	ralrimiva 3103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0)
39		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑇‘𝑦) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)))
40	39	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑇‘𝑦) → (((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0 ↔ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0))
41	40	ralrn 6964	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 Fn ℋ → (∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0))
42	6, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0)
43	38, 42	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0)
44	8	chssii 29593	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑇 ⊆ ℋ
45		ocel 29643	. . . . . 6 ⊢ (ran 𝑇 ⊆ ℋ → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇) ↔ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0)))
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇) ↔ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0))
47	17, 43, 46	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇))
48	8	pjcompi 30034	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇 ∧ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇)) → ((projℎ‘ran 𝑇)‘((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)))) = (𝑇‘𝑥))
49	13, 47, 48	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘ran 𝑇)‘((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)))) = (𝑇‘𝑥))
50		hvpncan3 29404	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥))) = 𝑥)
51	15, 14, 50	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥))) = 𝑥)
52	51	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘ran 𝑇)‘((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)))) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥))
53	49, 52	eqtr3d 2780	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥))
54	11, 53	mprgbir 3079	1 ⊢ 𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887  ran crn 5590   ∘ ccom 5593   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   − cmin 11205   ℋchba 29281   +_ℎ cva 29282   ·_ih csp 29284   −_ℎ cmv 29287  ⊥cort 29292  proj_ℎcpjh 29299  LinOpclo 29309  HrmOpcho 29312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-dc 10202  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvmulass 29369  ax-hvdistr1 29370  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his2 29445  ax-his3 29446  ax-his4 29447  ax-hcompl 29564

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-lm 22380  df-t1 22465  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-fcls 23092  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-cfil 24419  df-cau 24420  df-cmet 24421  df-grpo 28855  df-gid 28856  df-ginv 28857  df-gdiv 28858  df-ablo 28907  df-vc 28921  df-nv 28954  df-va 28957  df-ba 28958  df-sm 28959  df-0v 28960  df-vs 28961  df-nmcv 28962  df-ims 28963  df-dip 29063  df-ssp 29084  df-lno 29106  df-nmoo 29107  df-blo 29108  df-0o 29109  df-ph 29175  df-cbn 29225  df-hlo 29248  df-hnorm 29330  df-hba 29331  df-hvsub 29333  df-hlim 29334  df-hcau 29335  df-sh 29569  df-ch 29583  df-oc 29614  df-ch0 29615  df-shs 29670  df-pjh 29757  df-h0op 30110  df-nmop 30201  df-cnop 30202  df-lnop 30203  df-bdop 30204  df-unop 30205  df-hmop 30206

This theorem is referenced by:  hmopidmpj  30516