HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmpji Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopidmpji 30233
Description: An idempotent Hermitian operator is a projection operator. Theorem 26.4 of [Halmos] p. 44. (Halmos seems to omit the proof that 𝐻 is a closed subspace, which is not trivial as hmopidmchi 30232 shows.) (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hmopidmch.1 𝑇 ∈ HrmOp
hmopidmch.2 (𝑇𝑇) = 𝑇
Assertion
Ref Expression
hmopidmpji 𝑇 = (proj‘ran 𝑇)

Proof of Theorem hmopidmpji
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopidmch.1 . . . . . 6 𝑇 ∈ HrmOp
2 hmoplin 30023 . . . . . 6 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝑇 ∈ LinOp
43lnopfi 30050 . . . 4 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5 ffn 6545 . . . 4 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
64, 5ax-mp 5 . . 3 𝑇 Fn ℋ
7 hmopidmch.2 . . . . 5 (𝑇𝑇) = 𝑇
81, 7hmopidmchi 30232 . . . 4 ran 𝑇C
98pjfni 29782 . . 3 (proj‘ran 𝑇) Fn ℋ
10 eqfnfv 6852 . . 3 ((𝑇 Fn ℋ ∧ (proj‘ran 𝑇) Fn ℋ) → (𝑇 = (proj‘ran 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = ((proj‘ran 𝑇)‘𝑥)))
116, 9, 10mp2an 692 . 2 (𝑇 = (proj‘ran 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = ((proj‘ran 𝑇)‘𝑥))
12 fnfvelrn 6901 . . . . 5 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ran 𝑇)
136, 12mpan 690 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ran 𝑇)
14 id 22 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
154ffvelrni 6903 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
16 hvsubcl 29098 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (𝑥 (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
1714, 15, 16syl2anc 587 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
18 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
1915adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
204ffvelrni 6903 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
2120adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
22 his2sub 29173 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑥 (𝑇𝑥)) ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) − ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦))))
2318, 19, 21, 22syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 (𝑇𝑥)) ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) − ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦))))
24 hmop 30003 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
251, 24mp3an1 1450 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
2620, 25sylan2 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇𝑦))) = ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)))
274, 4hocoi 29845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑇𝑇)‘𝑦) = (𝑇‘(𝑇𝑦)))
287fveq1i 6718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝑇)‘𝑦) = (𝑇𝑦)
2927, 28eqtr3di 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑇𝑦)) = (𝑇𝑦))
3029adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑇𝑦)) = (𝑇𝑦))
3130oveq2d 7229 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇𝑦))) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)))
3226, 31eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)))
3332oveq2d 7229 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) − ((𝑇𝑥) ·ih (𝑇𝑦))) = ((𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) − (𝑥 ·ih (𝑇𝑦))))
34 hicl 29161 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ∈ ℂ)
3520, 34sylan2 596 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) ∈ ℂ)
3635subidd 11177 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) − (𝑥 ·ih (𝑇𝑦))) = 0)
3723, 33, 363eqtrd 2781 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 (𝑇𝑥)) ·ih (𝑇𝑦)) = 0)
3837ralrimiva 3105 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑥 (𝑇𝑥)) ·ih (𝑇𝑦)) = 0)
39 oveq2 7221 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑇𝑦) → ((𝑥 (𝑇𝑥)) ·ih 𝑧) = ((𝑥 (𝑇𝑥)) ·ih (𝑇𝑦)))
4039eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑇𝑦) → (((𝑥 (𝑇𝑥)) ·ih 𝑧) = 0 ↔ ((𝑥 (𝑇𝑥)) ·ih (𝑇𝑦)) = 0))
4140ralrn 6907 . . . . . . 7 (𝑇 Fn ℋ → (∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 (𝑇𝑥)) ·ih 𝑧) = 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑥 (𝑇𝑥)) ·ih (𝑇𝑦)) = 0))
426, 41ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 (𝑇𝑥)) ·ih 𝑧) = 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑥 (𝑇𝑥)) ·ih (𝑇𝑦)) = 0)
4338, 42sylibr 237 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 (𝑇𝑥)) ·ih 𝑧) = 0)
448chssii 29312 . . . . . 6 ran 𝑇 ⊆ ℋ
45 ocel 29362 . . . . . 6 (ran 𝑇 ⊆ ℋ → ((𝑥 (𝑇𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇) ↔ ((𝑥 (𝑇𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 (𝑇𝑥)) ·ih 𝑧) = 0)))
4644, 45ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥 (𝑇𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇) ↔ ((𝑥 (𝑇𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 (𝑇𝑥)) ·ih 𝑧) = 0))
4717, 43, 46sylanbrc 586 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 (𝑇𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇))
488pjcompi 29753 . . . 4 (((𝑇𝑥) ∈ ran 𝑇 ∧ (𝑥 (𝑇𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇)) → ((proj‘ran 𝑇)‘((𝑇𝑥) + (𝑥 (𝑇𝑥)))) = (𝑇𝑥))
4913, 47, 48syl2anc 587 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj‘ran 𝑇)‘((𝑇𝑥) + (𝑥 (𝑇𝑥)))) = (𝑇𝑥))
50 hvpncan3 29123 . . . . 5 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) + (𝑥 (𝑇𝑥))) = 𝑥)
5115, 14, 50syl2anc 587 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇𝑥) + (𝑥 (𝑇𝑥))) = 𝑥)
5251fveq2d 6721 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj‘ran 𝑇)‘((𝑇𝑥) + (𝑥 (𝑇𝑥)))) = ((proj‘ran 𝑇)‘𝑥))
5349, 52eqtr3d 2779 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) = ((proj‘ran 𝑇)‘𝑥))
5411, 53mprgbir 3076 1 𝑇 = (proj‘ran 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wss 3866  ran crn 5552  ccom 5555   Fn wfn 6375  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  0cc0 10729  cmin 11062  chba 29000   + cva 29001   ·ih csp 29003   cmv 29006  cort 29011  projcpjh 29018  LinOpclo 29028  HrmOpcho 29031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cc 10049  ax-dc 10060  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809  ax-hilex 29080  ax-hfvadd 29081  ax-hvcom 29082  ax-hvass 29083  ax-hv0cl 29084  ax-hvaddid 29085  ax-hfvmul 29086  ax-hvmulid 29087  ax-hvmulass 29088  ax-hvdistr1 29089  ax-hvdistr2 29090  ax-hvmul0 29091  ax-hfi 29160  ax-his1 29163  ax-his2 29164  ax-his3 29165  ax-his4 29166  ax-hcompl 29283
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-lm 22126  df-t1 22211  df-haus 22212  df-cmp 22284  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-fcls 22838  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-cfil 24152  df-cau 24153  df-cmet 24154  df-grpo 28574  df-gid 28575  df-ginv 28576  df-gdiv 28577  df-ablo 28626  df-vc 28640  df-nv 28673  df-va 28676  df-ba 28677  df-sm 28678  df-0v 28679  df-vs 28680  df-nmcv 28681  df-ims 28682  df-dip 28782  df-ssp 28803  df-lno 28825  df-nmoo 28826  df-blo 28827  df-0o 28828  df-ph 28894  df-cbn 28944  df-hlo 28967  df-hnorm 29049  df-hba 29050  df-hvsub 29052  df-hlim 29053  df-hcau 29054  df-sh 29288  df-ch 29302  df-oc 29333  df-ch0 29334  df-shs 29389  df-pjh 29476  df-h0op 29829  df-nmop 29920  df-cnop 29921  df-lnop 29922  df-bdop 29923  df-unop 29924  df-hmop 29925
This theorem is referenced by:  hmopidmpj  30235
  Copyright terms: Public domain W3C validator