Theorem hmopidmpji 32355

Description: An idempotent Hermitian operator is a projection operator. Theorem 26.4 of [Halmos] p. 44. (Halmos seems to omit the proof that 𝐻 is a closed subspace, which is not trivial as hmopidmchi 32354 shows.) (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hmopidmch.1	⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
hmopidmch.2	⊢ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇

Assertion

Ref	Expression
hmopidmpji	⊢ 𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇)

Proof of Theorem hmopidmpji

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopidmch.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ HrmOp
2		hmoplin 32145	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
4	3	lnopfi 32172	. . . 4 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5		ffn 6691	. . . 4 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝑇 Fn ℋ
7		hmopidmch.2	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇
8	1, 7	hmopidmchi 32354	. . . 4 ⊢ ran 𝑇 ∈ Cℋ
9	8	pjfni 31904	. . 3 ⊢ (projℎ‘ran 𝑇) Fn ℋ
10		eqfnfv 7011	. . 3 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ (projℎ‘ran 𝑇) Fn ℋ) → (𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥)))
11	6, 9, 10	mp2an 702	. 2 ⊢ (𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥))
12		fnfvelrn 7061	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇)
13	6, 12	mpan 700	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇)
14		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
15	4	ffvelcdmi 7064	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
16		hvsubcl 31220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
17	14, 15, 16	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
18		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
19	15	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
20	4	ffvelcdmi 7064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
21	20	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
22		his2sub 31295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦))))
23	18, 19, 21, 22	syl3anc 1390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦))))
24		hmop 32125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
25	1, 24	mp3an1 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
26	20, 25	sylan2 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)))
27	4, 4	hocoi 31967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑇‘(𝑇‘𝑦)))
28	7	fveq1i 6868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∘ 𝑇)‘𝑦) = (𝑇‘𝑦)
29	27, 28	eqtr3di 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑇‘𝑦))
30	29	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑇‘𝑦)) = (𝑇‘𝑦))
31	30	oveq2d 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘(𝑇‘𝑦))) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)))
32	26, 31	eqtr3d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)))
33	32	oveq2d 7412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − ((𝑇‘𝑥) ·ih (𝑇‘𝑦))) = ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))))
34		hicl 31283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ∈ ℂ)
35	20, 34	sylan2 602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) ∈ ℂ)
36	35	subidd 11530	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) − (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦))) = 0)
37	23, 33, 36	3eqtrd 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0)
38	37	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0)
39		oveq2 7404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑇‘𝑦) → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)))
40	39	eqeq1d 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑇‘𝑦) → (((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0 ↔ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0))
41	40	ralrn 7069	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 Fn ℋ → (∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0))
42	6, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih (𝑇‘𝑦)) = 0)
43	38, 42	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0)
44	8	chssii 31434	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑇 ⊆ ℋ
45		ocel 31484	. . . . . 6 ⊢ (ran 𝑇 ⊆ ℋ → ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇) ↔ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0)))
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇) ↔ ((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝑇((𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑧) = 0))
47	17, 43, 46	sylanbrc 592	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇))
48	8	pjcompi 31875	. . . 4 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ran 𝑇 ∧ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ (⊥‘ran 𝑇)) → ((projℎ‘ran 𝑇)‘((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)))) = (𝑇‘𝑥))
49	13, 47, 48	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘ran 𝑇)‘((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)))) = (𝑇‘𝑥))
50		hvpncan3 31245	. . . . 5 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥))) = 𝑥)
51	15, 14, 50	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥))) = 𝑥)
52	51	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘ran 𝑇)‘((𝑇‘𝑥) +ℎ (𝑥 −ℎ (𝑇‘𝑥)))) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥))
53	49, 52	eqtr3d 2799	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) = ((projℎ‘ran 𝑇)‘𝑥))
54	11, 53	mprgbir 3083	1 ⊢ 𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076   ⊆ wss 3904  ran crn 5648   ∘ ccom 5651   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  0cc0 11073   − cmin 11414   ℋchba 31122   +_ℎ cva 31123   ·_ih csp 31125   −_ℎ cmv 31128  ⊥cort 31133  proj_ℎcpjh 31140  LinOpclo 31150  HrmOpcho 31153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cc 10392  ax-dc 10403  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152  ax-mulf 11153  ax-hilex 31202  ax-hfvadd 31203  ax-hvcom 31204  ax-hvass 31205  ax-hv0cl 31206  ax-hvaddid 31207  ax-hfvmul 31208  ax-hvmulid 31209  ax-hvmulass 31210  ax-hvdistr1 31211  ax-hvdistr2 31212  ax-hvmul0 31213  ax-hfi 31282  ax-his1 31285  ax-his2 31286  ax-his3 31287  ax-his4 31288  ax-hcompl 31405

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-acn 9900  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-fbas 21421  df-fg 21422  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-nei 23158  df-cn 23287  df-cnp 23288  df-lm 23289  df-t1 23374  df-haus 23375  df-cmp 23447  df-tx 23622  df-hmeo 23815  df-fil 23906  df-fm 23998  df-flim 23999  df-flf 24000  df-fcls 24001  df-xms 24380  df-ms 24381  df-tms 24382  df-cncf 24940  df-cfil 25317  df-cau 25318  df-cmet 25319  df-grpo 30696  df-gid 30697  df-ginv 30698  df-gdiv 30699  df-ablo 30748  df-vc 30762  df-nv 30795  df-va 30798  df-ba 30799  df-sm 30800  df-0v 30801  df-vs 30802  df-nmcv 30803  df-ims 30804  df-dip 30904  df-ssp 30925  df-lno 30947  df-nmoo 30948  df-blo 30949  df-0o 30950  df-ph 31016  df-cbn 31066  df-hlo 31089  df-hnorm 31171  df-hba 31172  df-hvsub 31174  df-hlim 31175  df-hcau 31176  df-sh 31410  df-ch 31424  df-oc 31455  df-ch0 31456  df-shs 31511  df-pjh 31598  df-h0op 31951  df-nmop 32042  df-cnop 32043  df-lnop 32044  df-bdop 32045  df-unop 32046  df-hmop 32047

This theorem is referenced by:  hmopidmpj  32357