Theorem shjshsi 31919

Description: Hilbert lattice join equals the double orthocomplement of subspace sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shjshs.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shjshs.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shjshsi	⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 +ℋ 𝐵)))

Proof of Theorem shjshsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shjshs.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		shjshs.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3		shjval 31778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
5	1, 2	shunssi 31795	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵)
6	1	shssii 31640	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
7	2	shssii 31640	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ ℋ
8	6, 7	unssi 4144	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ
9	1, 2	shscli 31744	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ
10	9	shssii 31640	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ
11	8, 10	occon2i 31716	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ (𝐴 +ℋ 𝐵) → (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 +ℋ 𝐵))))
12	5, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 +ℋ 𝐵)))
13	4, 12	eqsstri 3984	. 2 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (⊥‘(⊥‘(𝐴 +ℋ 𝐵)))
14	1, 2	shsleji 31797	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
15	1, 2	shjcli 31802	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
16	15	chssii 31658	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ ℋ
17		occon 31714	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ ∧ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ ℋ) → ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (⊥‘(𝐴 +ℋ 𝐵))))
18	10, 16, 17	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) → (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (⊥‘(𝐴 +ℋ 𝐵)))
19	14, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (⊥‘(𝐴 +ℋ 𝐵))
20		occl 31731	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ⊆ ℋ → (⊥‘(𝐴 +ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ )
21	10, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (⊥‘(𝐴 +ℋ 𝐵)) ∈ Cℋ
22	15, 21	chsscon1i 31889	. . 3 ⊢ ((⊥‘(𝐴 ∨ℋ 𝐵)) ⊆ (⊥‘(𝐴 +ℋ 𝐵)) ↔ (⊥‘(⊥‘(𝐴 +ℋ 𝐵))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵))
23	19, 22	mpbi 233	. 2 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐴 +ℋ 𝐵))) ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐵)
24	13, 23	eqssi 3954	1 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 +ℋ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ℋchba 31346   S_ℋ csh 31355   C_ℋ cch 31356  ⊥cort 31357   +_ℋ cph 31358   ∨_ℋ chj 31360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cc 10434  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197  ax-addf 11198  ax-mulf 11199  ax-hilex 31426  ax-hfvadd 31427  ax-hvcom 31428  ax-hvass 31429  ax-hv0cl 31430  ax-hvaddid 31431  ax-hfvmul 31432  ax-hvmulid 31433  ax-hvmulass 31434  ax-hvdistr1 31435  ax-hvdistr2 31436  ax-hvmul0 31437  ax-hfi 31506  ax-his1 31509  ax-his2 31510  ax-his3 31511  ax-his4 31512  ax-hcompl 31629

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-acn 9944  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-q 12993  df-rp 13037  df-xneg 13157  df-xadd 13158  df-xmul 13159  df-ioo 13396  df-ico 13398  df-icc 13399  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-fl 13847  df-seq 14060  df-exp 14120  df-hash 14389  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-clim 15567  df-rlim 15568  df-sum 15766  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-starv 17351  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-ip 17354  df-tset 17355  df-ple 17356  df-ds 17358  df-unif 17359  df-hom 17360  df-cco 17361  df-rest 17501  df-topn 17502  df-0g 17520  df-gsum 17521  df-topgen 17522  df-pt 17523  df-prds 17526  df-xrs 17582  df-qtop 17587  df-imas 17588  df-xps 17590  df-mre 17664  df-mrc 17665  df-acs 17667  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-submnd 18883  df-mulg 19182  df-cntz 19435  df-cmn 19900  df-psmet 21568  df-xmet 21569  df-met 21570  df-bl 21571  df-mopn 21572  df-fbas 21573  df-fg 21574  df-cnfld 21577  df-top 23105  df-topon 23122  df-topsp 23144  df-bases 23157  df-cld 23230  df-ntr 23231  df-cls 23232  df-nei 23309  df-cn 23438  df-cnp 23439  df-lm 23440  df-haus 23526  df-tx 23774  df-hmeo 23967  df-fil 24058  df-fm 24150  df-flim 24151  df-flf 24152  df-xms 24532  df-ms 24533  df-tms 24534  df-cfil 25469  df-cau 25470  df-cmet 25471  df-grpo 30920  df-gid 30921  df-ginv 30922  df-gdiv 30923  df-ablo 30972  df-vc 30986  df-nv 31019  df-va 31022  df-ba 31023  df-sm 31024  df-0v 31025  df-vs 31026  df-nmcv 31027  df-ims 31028  df-dip 31128  df-ssp 31149  df-ph 31240  df-cbn 31290  df-hnorm 31395  df-hba 31396  df-hvsub 31398  df-hlim 31399  df-hcau 31400  df-sh 31634  df-ch 31648  df-oc 31679  df-ch0 31680  df-shs 31735  df-chj 31737

This theorem is used by:  shjshseli  31920  spansnji  32073