Theorem cheli 31843

Description: A member of a closed subspace of a Hilbert space is a vector. (Contributed by NM, 6-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chssi.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
cheli	⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 ∈ ℋ)

Proof of Theorem cheli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chssi.1	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	chssii 31842	. 2 ⊢ 𝐻 ⊆ ℋ
3	2	sseli 3905	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐻 → 𝐴 ∈ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ℋchba 31530   C_ℋ cch 31540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-hilex 31610

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fv 6551  df-ov 7427  df-sh 31818  df-ch 31832

This theorem is used by:  pjhthlem1  32002  pjhthlem2  32003  h1de2ci  32167  spanunsni  32190  spansncvi  32263  3oalem1  32273  pjcompi  32283  pjocini  32309  pjjsi  32311  pjrni  32313  pjdsi  32323  pjds3i  32324  mayete3i  32339  riesz3i  32673  pjnmopi  32759  pjnormssi  32779  pjimai  32787  pjclem4a  32809  pjclem4  32810  pj3lem1  32817  pj3si  32818  strlem1  32861  strlem3  32864  strlem5  32866  hstrlem3  32872  hstrlem5  32874  sumdmdii  33026  sumdmdlem  33029  sumdmdlem2  33030