HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chsscon2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chsscon2i 30113
Description: Hilbert lattice contraposition law. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ch0le.1 𝐴C
chjcl.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
chsscon2i (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))

Proof of Theorem chsscon2i
StepHypRef Expression
1 ch0le.1 . . 3 𝐴C
21chssii 29881 . 2 𝐴 ⊆ ℋ
3 chjcl.2 . . 3 𝐵C
43chssii 29881 . 2 𝐵 ⊆ ℋ
5 occon3 29947 . 2 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ⊆ ℋ) → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴)))
62, 4, 5mp2an 689 1 (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wcel 2105  wss 3898  cfv 6479  chba 29569   C cch 29579  cort 29580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-hilex 29649  ax-hfvadd 29650  ax-hv0cl 29653  ax-hfvmul 29655  ax-hvmul0 29660  ax-hfi 29729  ax-his1 29732  ax-his2 29733  ax-his3 29734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-2 12137  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sh 29857  df-ch 29871  df-oc 29902
This theorem is referenced by:  chcon2i  30114  osumi  30292  mayetes3i  30379  pjorthcoi  30819
  Copyright terms: Public domain W3C validator