MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglineeltr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglineeltr 28654
Description: Transitivity law for lines, one half of tglineelsb2 28655. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineelsb2.p 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1 (𝜑𝑃𝐵)
tglineelsb2.2 (𝜑𝑄𝐵)
tglineelsb2.4 (𝜑𝑃𝑄)
tglineelsb2.3 (𝜑𝑆𝐵)
tglineelsb2.5 (𝜑𝑆𝑃)
tglineelsb2.6 (𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
tglineeltr.7 (𝜑𝑅𝐵)
tglineeltr.8 (𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
Assertion
Ref Expression
tglineeltr (𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄))

Proof of Theorem tglineeltr
StepHypRef Expression
1 tglineeltr.7 . . . 4 (𝜑𝑅𝐵)
2 tglineelsb2.p . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 tglineelsb2.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 tglineelsb2.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 tglineelsb2.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglineelsb2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝐵)
87ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
9 tglineelsb2.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝐵)
109ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
11 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
12 eqid 2735 . . . . . . . 8 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
13 tglineelsb2.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝐵)
1413ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
15 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
16 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄))
172, 12, 4, 6, 8, 11, 14, 10, 15, 16tgbtwnexch 28521 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑄))
182, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 17btwncolg1 28578 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
195ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
207ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
219ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
22 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
2313ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
24 simplr 769 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
252, 12, 4, 19, 20, 22, 23, 24tgbtwncom 28511 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑆𝐼𝑃))
26 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄))
272, 12, 4, 19, 23, 22, 20, 21, 25, 26tgbtwnexch3 28517 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
282, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 27btwncolg2 28579 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
295ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
307ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃𝐵)
31 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅𝐵)
329ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄𝐵)
3313ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆𝐵)
34 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
35 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
362, 4, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 3tgbtwnconnln3 28601 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
37 tglineelsb2.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
38 tglineelsb2.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃𝑄)
392, 3, 4, 5, 7, 9, 38, 13tgellng 28576 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ↔ (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))))
4037, 39mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)))
4140ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)))
4218, 28, 36, 41mpjao3dan 1431 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
4342an32s 652 . . . 4 (((𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑅𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
441, 43mpidan 689 . . 3 ((𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
455ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
467ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
479ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
48 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
4913ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
50 tglineelsb2.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑃)
5150necomd 2994 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃𝑆)
5251ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝑆)
53 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆))
54 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄))
552, 12, 4, 45, 48, 46, 49, 47, 52, 53, 54tgbtwnouttr 28520 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
562, 3, 4, 45, 46, 47, 48, 55btwncolg2 28579 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
575ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
589ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
59 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
607ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
6113ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
6250ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝑃)
63 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄))
64 simplr 769 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆))
652, 12, 4, 57, 59, 60, 61, 64tgbtwncom 28511 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑅))
662, 4, 57, 61, 60, 58, 59, 3, 62, 63, 65tgbtwnconnln2 28604 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑃 ∈ (𝑄𝐿𝑅) ∨ 𝑄 = 𝑅))
672, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 66colrot2 28583 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
685ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
699ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄𝐵)
707ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃𝐵)
71 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅𝐵)
7213ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆𝐵)
73 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
74 simplr 769 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆))
752, 12, 4, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74tgbtwnintr 28516 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃 ∈ (𝑄𝐼𝑅))
762, 3, 4, 68, 69, 70, 71, 75btwncolg3 28580 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑄𝐿𝑃) ∨ 𝑄 = 𝑃))
772, 3, 4, 68, 69, 70, 71, 76colcom 28581 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
7840ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)))
7956, 67, 77, 78mpjao3dan 1431 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
8079an32s 652 . . . 4 (((𝜑𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑅𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
811, 80mpidan 689 . . 3 ((𝜑𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
825ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
839ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
84 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
857ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
8613ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
8751ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝑆)
88 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄))
89 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅))
902, 4, 82, 85, 86, 83, 84, 3, 87, 88, 89tgbtwnconnln1 28603 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑃 ∈ (𝑄𝐿𝑅) ∨ 𝑄 = 𝑅))
912, 3, 4, 82, 83, 84, 85, 90colrot2 28583 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
925ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
937ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
949ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
95 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
9613ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
9750ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝑃)
98 simplr 769 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅))
992, 12, 4, 92, 93, 96, 95, 98tgbtwncom 28511 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑅𝐼𝑃))
100 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄))
1012, 12, 4, 92, 95, 96, 93, 94, 97, 99, 100tgbtwnouttr2 28518 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
1022, 3, 4, 92, 93, 94, 95, 101btwncolg2 28579 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
1035ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1047ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃𝐵)
1059ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄𝐵)
106 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅𝐵)
10713ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆𝐵)
108 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
109 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅))
1102, 12, 4, 103, 104, 105, 107, 106, 108, 109tgbtwnexch 28521 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑅))
1112, 3, 4, 103, 104, 105, 106, 110btwncolg3 28580 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
11240ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)))
11391, 102, 111, 112mpjao3dan 1431 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
114113an32s 652 . . . 4 (((𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑅𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
1151, 114mpidan 689 . . 3 ((𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
116 id 22 . . . 4 (𝜑𝜑)
117 tglineeltr.8 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
1185adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1197adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝑃𝐵)
12013adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝑆𝐵)
12151adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝑃𝑆)
122 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝑅𝐵)
1232, 3, 4, 118, 119, 120, 121, 122tgellng 28576 . . . . 5 ((𝜑𝑅𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆) ↔ (𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆) ∨ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆) ∨ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅))))
124123biimpa 476 . . . 4 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆) ∨ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆) ∨ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)))
125116, 1, 117, 124syl21anc 838 . . 3 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆) ∨ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆) ∨ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)))
12644, 81, 115, 125mpjao3dan 1431 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
12738neneqd 2943 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑃 = 𝑄)
128 pm5.61 1002 . . 3 (((𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄) ↔ (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄))
129128simplbi 497 . 2 (((𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
130126, 127, 129syl2anc 584 1 (𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847  w3o 1085   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  distcds 17307  TarskiGcstrkg 28450  Itvcitv 28456  LineGclng 28457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28471  df-trkgb 28472  df-trkgcb 28473  df-trkg 28476  df-cgrg 28534
This theorem is referenced by:  tglineelsb2  28655  colperpexlem3  28755  mideulem2  28757
  Copyright terms: Public domain W3C validator