MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglineeltr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglineeltr 26416
Description: Transitivity law for lines, one half of tglineelsb2 26417. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineelsb2.p 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1 (𝜑𝑃𝐵)
tglineelsb2.2 (𝜑𝑄𝐵)
tglineelsb2.4 (𝜑𝑃𝑄)
tglineelsb2.3 (𝜑𝑆𝐵)
tglineelsb2.5 (𝜑𝑆𝑃)
tglineelsb2.6 (𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
tglineeltr.7 (𝜑𝑅𝐵)
tglineeltr.8 (𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
Assertion
Ref Expression
tglineeltr (𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄))

Proof of Theorem tglineeltr
StepHypRef Expression
1 tglineeltr.7 . . . 4 (𝜑𝑅𝐵)
2 tglineelsb2.p . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 tglineelsb2.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 tglineelsb2.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 tglineelsb2.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglineelsb2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝐵)
87ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
9 tglineelsb2.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝐵)
109ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
11 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
12 eqid 2824 . . . . . . . 8 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
13 tglineelsb2.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝐵)
1413ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
15 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
16 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄))
172, 12, 4, 6, 8, 11, 14, 10, 15, 16tgbtwnexch 26283 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑄))
182, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 17btwncolg1 26340 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
195ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
207ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
219ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
22 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
2313ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
24 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
252, 12, 4, 19, 20, 22, 23, 24tgbtwncom 26273 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑆𝐼𝑃))
26 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄))
272, 12, 4, 19, 23, 22, 20, 21, 25, 26tgbtwnexch3 26279 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
282, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 27btwncolg2 26341 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
295ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
307ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃𝐵)
31 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅𝐵)
329ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄𝐵)
3313ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆𝐵)
34 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
35 simpr 488 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
362, 4, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 3tgbtwnconnln3 26363 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
37 tglineelsb2.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
38 tglineelsb2.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃𝑄)
392, 3, 4, 5, 7, 9, 38, 13tgellng 26338 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ↔ (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))))
4037, 39mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)))
4140ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)))
4218, 28, 36, 41mpjao3dan 1428 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
4342an32s 651 . . . 4 (((𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑅𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
441, 43mpidan 688 . . 3 ((𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
455ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
467ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
479ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
48 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
4913ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
50 tglineelsb2.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑃)
5150necomd 3068 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃𝑆)
5251ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝑆)
53 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆))
54 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄))
552, 12, 4, 45, 48, 46, 49, 47, 52, 53, 54tgbtwnouttr 26282 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
562, 3, 4, 45, 46, 47, 48, 55btwncolg2 26341 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
575ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
589ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
59 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
607ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
6113ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
6250ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝑃)
63 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄))
64 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆))
652, 12, 4, 57, 59, 60, 61, 64tgbtwncom 26273 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑅))
662, 4, 57, 61, 60, 58, 59, 3, 62, 63, 65tgbtwnconnln2 26366 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑃 ∈ (𝑄𝐿𝑅) ∨ 𝑄 = 𝑅))
672, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 66colrot2 26345 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
685ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
699ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄𝐵)
707ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃𝐵)
71 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅𝐵)
7213ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆𝐵)
73 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
74 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆))
752, 12, 4, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74tgbtwnintr 26278 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃 ∈ (𝑄𝐼𝑅))
762, 3, 4, 68, 69, 70, 71, 75btwncolg3 26342 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑄𝐿𝑃) ∨ 𝑄 = 𝑃))
772, 3, 4, 68, 69, 70, 71, 76colcom 26343 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
7840ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)))
7956, 67, 77, 78mpjao3dan 1428 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
8079an32s 651 . . . 4 (((𝜑𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑅𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
811, 80mpidan 688 . . 3 ((𝜑𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
825ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
839ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
84 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
857ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
8613ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
8751ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝑆)
88 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄))
89 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅))
902, 4, 82, 85, 86, 83, 84, 3, 87, 88, 89tgbtwnconnln1 26365 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑃 ∈ (𝑄𝐿𝑅) ∨ 𝑄 = 𝑅))
912, 3, 4, 82, 83, 84, 85, 90colrot2 26345 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
925ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
937ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
949ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
95 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
9613ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
9750ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝑃)
98 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅))
992, 12, 4, 92, 93, 96, 95, 98tgbtwncom 26273 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑅𝐼𝑃))
100 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄))
1012, 12, 4, 92, 95, 96, 93, 94, 97, 99, 100tgbtwnouttr2 26280 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
1022, 3, 4, 92, 93, 94, 95, 101btwncolg2 26341 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
1035ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1047ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃𝐵)
1059ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄𝐵)
106 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅𝐵)
10713ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆𝐵)
108 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
109 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅))
1102, 12, 4, 103, 104, 105, 107, 106, 108, 109tgbtwnexch 26283 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑅))
1112, 3, 4, 103, 104, 105, 106, 110btwncolg3 26342 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
11240ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)))
11391, 102, 111, 112mpjao3dan 1428 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
114113an32s 651 . . . 4 (((𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑅𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
1151, 114mpidan 688 . . 3 ((𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
116 id 22 . . . 4 (𝜑𝜑)
117 tglineeltr.8 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
1185adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1197adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝑃𝐵)
12013adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝑆𝐵)
12151adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝑃𝑆)
122 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝑅𝐵)
1232, 3, 4, 118, 119, 120, 121, 122tgellng 26338 . . . . 5 ((𝜑𝑅𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆) ↔ (𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆) ∨ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆) ∨ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅))))
124123biimpa 480 . . . 4 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆) ∨ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆) ∨ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)))
125116, 1, 117, 124syl21anc 836 . . 3 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆) ∨ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆) ∨ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)))
12644, 81, 115, 125mpjao3dan 1428 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
12738neneqd 3018 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑃 = 𝑄)
128 pm5.61 998 . . 3 (((𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄) ↔ (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄))
129128simplbi 501 . 2 (((𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
130126, 127, 129syl2anc 587 1 (𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 844  w3o 1083   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  cfv 6338  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  distcds 16565  TarskiGcstrkg 26215  Itvcitv 26221  LineGclng 26222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-pm 8394  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-trkgc 26233  df-trkgb 26234  df-trkgcb 26235  df-trkg 26238  df-cgrg 26296
This theorem is referenced by:  tglineelsb2  26417  colperpexlem3  26517  mideulem2  26519
  Copyright terms: Public domain W3C validator