Proof of Theorem tglineeltr
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | tglineeltr.7 | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐵) | 
| 2 |  | tglineelsb2.p | . . . . . . 7
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺) | 
| 3 |  | tglineelsb2.l | . . . . . . 7
⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺) | 
| 4 |  | tglineelsb2.i | . . . . . . 7
⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺) | 
| 5 |  | tglineelsb2.g | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG) | 
| 6 | 5 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG) | 
| 7 |  | tglineelsb2.1 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵) | 
| 8 | 7 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ 𝐵) | 
| 9 |  | tglineelsb2.2 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵) | 
| 10 | 9 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐵) | 
| 11 |  | simpllr 776 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ 𝐵) | 
| 12 |  | eqid 2737 | . . . . . . . 8
⊢
(dist‘𝐺) =
(dist‘𝐺) | 
| 13 |  | tglineelsb2.3 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐵) | 
| 14 | 13 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ 𝐵) | 
| 15 |  | simplr 769 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) | 
| 16 |  | simpr 484 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) | 
| 17 | 2, 12, 4, 6, 8, 11,
14, 10, 15, 16 | tgbtwnexch 28506 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) | 
| 18 | 2, 3, 4, 6, 8, 10,
11, 17 | btwncolg1 28563 | . . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 19 | 5 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG) | 
| 20 | 7 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ 𝐵) | 
| 21 | 9 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐵) | 
| 22 |  | simpllr 776 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ 𝐵) | 
| 23 | 13 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ 𝐵) | 
| 24 |  | simplr 769 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) | 
| 25 | 2, 12, 4, 19, 20, 22, 23, 24 | tgbtwncom 28496 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑆𝐼𝑃)) | 
| 26 |  | simpr 484 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) | 
| 27 | 2, 12, 4, 19, 23, 22, 20, 21, 25, 26 | tgbtwnexch3 28502 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑄)) | 
| 28 | 2, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 27 | btwncolg2 28564 | . . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 29 | 5 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG) | 
| 30 | 7 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃 ∈ 𝐵) | 
| 31 |  | simpllr 776 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅 ∈ 𝐵) | 
| 32 | 9 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ 𝐵) | 
| 33 | 13 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝐵) | 
| 34 |  | simplr 769 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) | 
| 35 |  | simpr 484 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) | 
| 36 | 2, 4, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 3 | tgbtwnconnln3 28586 | . . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 37 |  | tglineelsb2.6 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) | 
| 38 |  | tglineelsb2.4 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄) | 
| 39 | 2, 3, 4, 5, 7, 9, 38, 13 | tgellng 28561 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ↔ (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)))) | 
| 40 | 37, 39 | mpbid 232 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))) | 
| 41 | 40 | ad2antrr 726 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))) | 
| 42 | 18, 28, 36, 41 | mpjao3dan 1434 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 43 | 42 | an32s 652 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 44 | 1, 43 | mpidan 689 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 45 | 5 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG) | 
| 46 | 7 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ 𝐵) | 
| 47 | 9 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐵) | 
| 48 |  | simpllr 776 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ 𝐵) | 
| 49 | 13 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ 𝐵) | 
| 50 |  | tglineelsb2.5 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑃) | 
| 51 | 50 | necomd 2996 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑆) | 
| 52 | 51 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃 ≠ 𝑆) | 
| 53 |  | simplr 769 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) | 
| 54 |  | simpr 484 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) | 
| 55 | 2, 12, 4, 45, 48, 46, 49, 47, 52, 53, 54 | tgbtwnouttr 28505 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑄)) | 
| 56 | 2, 3, 4, 45, 46, 47, 48, 55 | btwncolg2 28564 | . . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 57 | 5 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG) | 
| 58 | 9 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐵) | 
| 59 |  | simpllr 776 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ 𝐵) | 
| 60 | 7 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ 𝐵) | 
| 61 | 13 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ 𝐵) | 
| 62 | 50 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆 ≠ 𝑃) | 
| 63 |  | simpr 484 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) | 
| 64 |  | simplr 769 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) | 
| 65 | 2, 12, 4, 57, 59, 60, 61, 64 | tgbtwncom 28496 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑅)) | 
| 66 | 2, 4, 57, 61, 60, 58, 59, 3, 62, 63, 65 | tgbtwnconnln2 28589 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑃 ∈ (𝑄𝐿𝑅) ∨ 𝑄 = 𝑅)) | 
| 67 | 2, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 66 | colrot2 28568 | . . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 68 | 5 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG) | 
| 69 | 9 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ 𝐵) | 
| 70 | 7 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃 ∈ 𝐵) | 
| 71 |  | simpllr 776 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅 ∈ 𝐵) | 
| 72 | 13 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝐵) | 
| 73 |  | simpr 484 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) | 
| 74 |  | simplr 769 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) | 
| 75 | 2, 12, 4, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74 | tgbtwnintr 28501 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃 ∈ (𝑄𝐼𝑅)) | 
| 76 | 2, 3, 4, 68, 69, 70, 71, 75 | btwncolg3 28565 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑄𝐿𝑃) ∨ 𝑄 = 𝑃)) | 
| 77 | 2, 3, 4, 68, 69, 70, 71, 76 | colcom 28566 | . . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 78 | 40 | ad2antrr 726 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))) | 
| 79 | 56, 67, 77, 78 | mpjao3dan 1434 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 80 | 79 | an32s 652 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 81 | 1, 80 | mpidan 689 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 82 | 5 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG) | 
| 83 | 9 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐵) | 
| 84 |  | simpllr 776 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ 𝐵) | 
| 85 | 7 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ 𝐵) | 
| 86 | 13 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ 𝐵) | 
| 87 | 51 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃 ≠ 𝑆) | 
| 88 |  | simpr 484 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) | 
| 89 |  | simplr 769 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) | 
| 90 | 2, 4, 82, 85, 86, 83, 84, 3, 87, 88, 89 | tgbtwnconnln1 28588 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑃 ∈ (𝑄𝐿𝑅) ∨ 𝑄 = 𝑅)) | 
| 91 | 2, 3, 4, 82, 83, 84, 85, 90 | colrot2 28568 | . . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 92 | 5 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG) | 
| 93 | 7 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ 𝐵) | 
| 94 | 9 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐵) | 
| 95 |  | simpllr 776 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ 𝐵) | 
| 96 | 13 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ 𝐵) | 
| 97 | 50 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆 ≠ 𝑃) | 
| 98 |  | simplr 769 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) | 
| 99 | 2, 12, 4, 92, 93, 96, 95, 98 | tgbtwncom 28496 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑅𝐼𝑃)) | 
| 100 |  | simpr 484 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) | 
| 101 | 2, 12, 4, 92, 95, 96, 93, 94, 97, 99, 100 | tgbtwnouttr2 28503 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑄)) | 
| 102 | 2, 3, 4, 92, 93, 94, 95, 101 | btwncolg2 28564 | . . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 103 | 5 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG) | 
| 104 | 7 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃 ∈ 𝐵) | 
| 105 | 9 | ad3antrrr 730 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ 𝐵) | 
| 106 |  | simpllr 776 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅 ∈ 𝐵) | 
| 107 | 13 | ad3antrrr 730 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝐵) | 
| 108 |  | simpr 484 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) | 
| 109 |  | simplr 769 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) | 
| 110 | 2, 12, 4, 103, 104, 105, 107, 106, 108, 109 | tgbtwnexch 28506 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) | 
| 111 | 2, 3, 4, 103, 104, 105, 106, 110 | btwncolg3 28565 | . . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 112 | 40 | ad2antrr 726 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))) | 
| 113 | 91, 102, 111, 112 | mpjao3dan 1434 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 114 | 113 | an32s 652 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 115 | 1, 114 | mpidan 689 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 116 |  | id 22 | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝜑) | 
| 117 |  | tglineeltr.8 | . . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) | 
| 118 | 5 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG) | 
| 119 | 7 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ 𝐵) | 
| 120 | 13 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝐵) | 
| 121 | 51 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → 𝑃 ≠ 𝑆) | 
| 122 |  | simpr 484 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝐵) | 
| 123 | 2, 3, 4, 118, 119, 120, 121, 122 | tgellng 28561 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆) ↔ (𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆) ∨ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆) ∨ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)))) | 
| 124 | 123 | biimpa 476 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆) ∨ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆) ∨ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅))) | 
| 125 | 116, 1, 117, 124 | syl21anc 838 | . . 3
⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆) ∨ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆) ∨ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅))) | 
| 126 | 44, 81, 115, 125 | mpjao3dan 1434 | . 2
⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 127 | 38 | neneqd 2945 | . 2
⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 = 𝑄) | 
| 128 |  | pm5.61 1003 | . . 3
⊢ (((𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄) ↔ (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄)) | 
| 129 | 128 | simplbi 497 | . 2
⊢ (((𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) | 
| 130 | 126, 127,
129 | syl2anc 584 | 1
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄)) |