Theorem hphl 28998

Description: If two points are on the same half-line with endpoint on a line, they are on the same half-plane defined by this line. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hphl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
hphl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
hphl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
hphl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hphl.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
hphl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐴)𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hphl	⊢ (𝜑 → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑡,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hphl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hphl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐴)𝐶)
2		hphl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
3		hpgid.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		hpgid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		hpgid.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		hpgid.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		hpgid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8		hphl.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9		hpgid.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
10		hphl.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11		hphl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
12		hpgid.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
13		hphl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
14	3, 4, 13, 8, 10, 12, 6, 5, 1	hlln 28830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
15	14	orcd 886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
16	3, 5, 4, 6, 10, 12, 8, 15	colrot2 28783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
17	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 13	colhp 28997	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶 ↔ (𝐵(𝐾‘𝐴)𝐶 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)))
18	1, 2, 17	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3904   class class class wbr 5104  {copab 5166  ran crn 5652  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  TarskiGcstrkg 28650  Itvcitv 28656  LineGclng 28657  hlGchlg 28823  hpGchpg 28984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-xnn0 12566  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-hash 14355  df-word 14539  df-concat 14596  df-s1 14622  df-s2 14873  df-s3 14874  df-trkgc 28671  df-trkgb 28672  df-trkgcb 28673  df-trkgld 28675  df-trkg 28676  df-cgrg 28734  df-leg 28806  df-hlg 28824  df-mir 28880  df-rag 28921  df-perpg 28923  df-hpg 28985

This theorem is referenced by:  trgcopy  29052  acopyeu  29082  tgasa1  29106