MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hphl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hphl 26563
Description: If two points are on the same half-line with endpoint on a line, they are on the same half-plane defined by this line. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hphl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
hphl.a (𝜑𝐴𝐷)
hphl.b (𝜑𝐵𝑃)
hphl.c (𝜑𝐶𝑃)
hphl.1 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐷)
hphl.2 (𝜑𝐵(𝐾𝐴)𝐶)
Assertion
Ref Expression
hphl (𝜑𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑡,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hphl
StepHypRef Expression
1 hphl.2 . 2 (𝜑𝐵(𝐾𝐴)𝐶)
2 hphl.1 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐷)
3 hpgid.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 hpgid.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 hpgid.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 hpgid.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 hpgid.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
8 hphl.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
9 hpgid.o . . 3 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
10 hphl.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
11 hphl.a . . 3 (𝜑𝐴𝐷)
12 hpgid.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
13 hphl.k . . . . . 6 𝐾 = (hlG‘𝐺)
143, 4, 13, 8, 10, 12, 6, 5, 1hlln 26399 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
1514orcd 870 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
163, 5, 4, 6, 10, 12, 8, 15colrot2 26352 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
173, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 13colhp 26562 . 2 (𝜑 → (𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶 ↔ (𝐵(𝐾𝐴)𝐶 ∧ ¬ 𝐵𝐷)))
181, 2, 17mpbir2and 712 1 (𝜑𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wrex 3131  cdif 3905   class class class wbr 5042  {copab 5104  ran crn 5533  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  TarskiGcstrkg 26222  Itvcitv 26228  LineGclng 26229  hlGchlg 26392  hpGchpg 26549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-trkgc 26240  df-trkgb 26241  df-trkgcb 26242  df-trkgld 26244  df-trkg 26245  df-cgrg 26303  df-leg 26375  df-hlg 26393  df-mir 26445  df-rag 26486  df-perpg 26488  df-hpg 26550
This theorem is referenced by:  trgcopy  26596  acopyeu  26626  tgasa1  26650
  Copyright terms: Public domain W3C validator