Theorem hphl 27132

Description: If two points are on the same half-line with endpoint on a line, they are on the same half-plane defined by this line. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hphl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
hphl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
hphl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
hphl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hphl.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
hphl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐴)𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hphl	⊢ (𝜑 → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑡,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hphl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hphl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐴)𝐶)
2		hphl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
3		hpgid.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		hpgid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		hpgid.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		hpgid.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		hpgid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8		hphl.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9		hpgid.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
10		hphl.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11		hphl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
12		hpgid.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
13		hphl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
14	3, 4, 13, 8, 10, 12, 6, 5, 1	hlln 26968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
15	14	orcd 870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
16	3, 5, 4, 6, 10, 12, 8, 15	colrot2 26921	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
17	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 13	colhp 27131	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶 ↔ (𝐵(𝐾‘𝐴)𝐶 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)))
18	1, 2, 17	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3884   class class class wbr 5074  {copab 5136  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794  LineGclng 26795  hlGchlg 26961  hpGchpg 27118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-trkgc 26809  df-trkgb 26810  df-trkgcb 26811  df-trkgld 26813  df-trkg 26814  df-cgrg 26872  df-leg 26944  df-hlg 26962  df-mir 27014  df-rag 27055  df-perpg 27057  df-hpg 27119

This theorem is referenced by:  trgcopy  27165  acopyeu  27195  tgasa1  27219