Theorem hphl 26119

Description: If two points are on the same half-line with endpoint on a line, they are on the same half-plane defined by this line. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hphl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
hphl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
hphl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
hphl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hphl.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
hphl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐴)𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hphl	⊢ (𝜑 → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑡,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hphl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hphl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐴)𝐶)
2		hphl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)
3	1, 2	jca 507	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵(𝐾‘𝐴)𝐶 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷))
4		hpgid.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
5		hpgid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		hpgid.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		hpgid.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		hpgid.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9		hphl.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		hpgid.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
11		hphl.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		hphl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
13		hpgid.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
14		hphl.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
15	4, 5, 14, 9, 11, 13, 7, 6, 1	hlln 25958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴))
16	15	orcd 862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐶𝐿𝐴) ∨ 𝐶 = 𝐴))
17	4, 6, 5, 7, 11, 13, 9, 16	colrot2 25911	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
18	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 17, 14	colhp 26118	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶 ↔ (𝐵(𝐾‘𝐴)𝐶 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐷)))
19	3, 18	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3789   class class class wbr 4886  {copab 4948  ran crn 5356  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  TarskiGcstrkg 25781  Itvcitv 25787  LineGclng 25788  hlGchlg 25951  hpGchpg 26105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-concat 13661  df-s1 13686  df-s2 13999  df-s3 14000  df-trkgc 25799  df-trkgb 25800  df-trkgcb 25801  df-trkgld 25803  df-trkg 25804  df-cgrg 25862  df-leg 25934  df-hlg 25952  df-mir 26004  df-rag 26045  df-perpg 26047  df-hpg 26106

This theorem is referenced by:  acopyeu  26183  tgasa1  26207