Theorem ncolncol 28626

Description: Deduce non-colinearity from non-colinearity and colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineinteq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tglineinteq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tglineinteq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tglineinteq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tglineinteq.e	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
ncolncol.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
ncolncol.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ncolncol	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem ncolncol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineinteq.e	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
2		tglineintmo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tglineintmo.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglineinteq.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		tglineinteq.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		tglineinteq.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
13	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
15	9	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
16	11	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
17		ncolncol.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
18	2, 3, 4, 5, 7, 9, 17	tglngne 28530	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
20		tglineinteq.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
21	20	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
22		ncolncol.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐵)
23	22	necomd 2980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐷)
24	23	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝐷)
25		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵))
26	2, 4, 3, 13, 15, 21, 16, 24, 25	lncom 28602	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐷))
27	18	necomd 2980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
28	2, 4, 3, 5, 9, 7, 20, 27, 17	lncom 28602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐴))
29	2, 4, 3, 5, 9, 7, 27, 20, 22, 28	tglineelsb2 28612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐿𝐴) = (𝐵𝐿𝐷))
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → (𝐵𝐿𝐴) = (𝐵𝐿𝐷))
31	26, 30	eleqtrrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴))
32	2, 4, 3, 13, 14, 15, 16, 19, 31	lncom 28602	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
33	32	orcd 873	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
34		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐵)
35	22	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ≠ 𝐵)
36	34, 35	pm2.21ddne 3009	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐷 = 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
37	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) → (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
39	2, 3, 4, 6, 10, 12, 37, 38	colrot2 28540	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) → (𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵) ∨ 𝐷 = 𝐵))
40	33, 36, 39	mpjaodan 960	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
41	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 40	colrot1 28539	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
42	1, 41	mtand 815	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  TarskiGcstrkg 28407  Itvcitv 28413  LineGclng 28414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8648  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-concat 14512  df-s1 14537  df-s2 14790  df-s3 14791  df-trkgc 28428  df-trkgb 28429  df-trkgcb 28430  df-trkg 28433  df-cgrg 28491

This theorem is referenced by:  coltr  28627  midexlem  28672  acopy  28813  acopyeu  28814