Theorem ncolncol 28720

Description: Deduce non-colinearity from non-colinearity and colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineinteq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tglineinteq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tglineinteq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tglineinteq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tglineinteq.e	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
ncolncol.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
ncolncol.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ncolncol	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem ncolncol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineinteq.e	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
2		tglineintmo.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		tglineintmo.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglineinteq.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		tglineinteq.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		tglineinteq.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
13	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
15	9	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
16	11	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
17		ncolncol.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
18	2, 3, 4, 5, 7, 9, 17	tglngne 28624	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
20		tglineinteq.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
21	20	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
22		ncolncol.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐵)
23	22	necomd 2987	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐷)
24	23	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝐷)
25		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵))
26	2, 4, 3, 13, 15, 21, 16, 24, 25	lncom 28696	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐷))
27	18	necomd 2987	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
28	2, 4, 3, 5, 9, 7, 20, 27, 17	lncom 28696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐴))
29	2, 4, 3, 5, 9, 7, 27, 20, 22, 28	tglineelsb2 28706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝐿𝐴) = (𝐵𝐿𝐷))
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → (𝐵𝐿𝐴) = (𝐵𝐿𝐷))
31	26, 30	eleqtrrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐿𝐴))
32	2, 4, 3, 13, 14, 15, 16, 19, 31	lncom 28696	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
33	32	orcd 873	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
34		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐵)
35	22	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ≠ 𝐵)
36	34, 35	pm2.21ddne 3016	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) ∧ 𝐷 = 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
37	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
38		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) → (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
39	2, 3, 4, 6, 10, 12, 37, 38	colrot2 28634	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) → (𝐶 ∈ (𝐷𝐿𝐵) ∨ 𝐷 = 𝐵))
40	33, 36, 39	mpjaodan 960	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) → (𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
41	2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 40	colrot1 28633	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
42	1, 41	mtand 815	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  TarskiGcstrkg 28501  Itvcitv 28507  LineGclng 28508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-pm 8768  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-dju 9815  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14522  df-s2 14773  df-s3 14774  df-trkgc 28522  df-trkgb 28523  df-trkgcb 28524  df-trkg 28527  df-cgrg 28585

This theorem is referenced by:  coltr  28721  midexlem  28766  acopy  28907  acopyeu  28908