Theorem cvrletrN 36569

Description: Property of an element above a covering. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrletr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrletr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrletr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvrletr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrletrN	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Proof of Theorem cvrletrN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝐾 ∈ Poset)
2		simplr1 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simplr2 1213	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋𝐶𝑌)
5		cvrletr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		cvrletr.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
7		cvrletr.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8	5, 6, 7	cvrlt 36566	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
9	1, 2, 3, 4, 8	syl31anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
10		cvrletr.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	5, 10, 6	pltletr 17573	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))
12	11	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))
13	9, 12	mpand 694	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌 ≤ 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
14	13	expimpd 457	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  lecple 16564  Posetcpo 17542  ltcplt 17543   ⋖ ccvr 36558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-covers 36562

This theorem is referenced by: (None)