Theorem cvrletrN 39730

Description: Property of an element above a covering. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrletr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrletr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrletr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvrletr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrletrN	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Proof of Theorem cvrletrN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝐾 ∈ Poset)
2		simplr1 1217	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simplr2 1218	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋𝐶𝑌)
5		cvrletr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		cvrletr.s	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝐾)
7		cvrletr.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8	5, 6, 7	cvrlt 39727	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
9	1, 2, 3, 4, 8	syl31anc 1376	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
10		cvrletr.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	5, 10, 6	pltletr 18296	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))
13	9, 12	mpand 696	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌 ≤ 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
14	13	expimpd 453	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋𝐶𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  Basecbs 17168  lecple 17216  Posetcpo 18262  ltcplt 18263   ⋖ ccvr 39719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-proset 18249  df-poset 18268  df-plt 18283  df-covers 39723

This theorem is referenced by: (None)