Theorem pltletr 18422

Description: Transitive law for chained "less than" and "less than or equal to". (psssstr 4067 analog.) (Contributed by NM, 2-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltletr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pltletr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pltletr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pltletr	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Proof of Theorem pltletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pltletr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pltletr.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		pltletr.s	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4	1, 2, 3	pleval2 18416	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑍 ↔ (𝑌 < 𝑍 ∨ 𝑌 = 𝑍)))
5	4	3adant3r1 1201	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ≤ 𝑍 ↔ (𝑌 < 𝑍 ∨ 𝑌 = 𝑍)))
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 ≤ 𝑍 ↔ (𝑌 < 𝑍 ∨ 𝑌 = 𝑍)))
7	1, 3	plttr 18421	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))
8	7	expdimp 458	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
9		breq2 5118	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 = 𝑍 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 < 𝑍))
10	9	biimpcd 252	. . . . 5 ⊢ (𝑋 < 𝑌 → (𝑌 = 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
11	10	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 = 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
12	8, 11	jaod 873	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑌 < 𝑍 ∨ 𝑌 = 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))
13	6, 12	sylbid 243	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 ≤ 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
14	13	expimpd 459	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  lecple 17342  Posetcpo 18388  ltcplt 18389

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-proset 18375  df-poset 18394  df-plt 18409

This theorem is used by:  cvrletrN  40088  atlen0  40125  atlelt  40253  2atlt  40254  ps-2  40293  llnnleat  40328  lplnnle2at  40356  lvolnle3at  40397  dalemcea  40475  2atm2atN  40600  dia2dimlem2  41880  dia2dimlem3  41881