Theorem pltletr 18265

Description: Transitive law for chained "less than" and "less than or equal to". (psssstr 4062 analog.) (Contributed by NM, 2-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltletr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pltletr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pltletr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pltletr	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Proof of Theorem pltletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pltletr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pltletr.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		pltletr.s	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4	1, 2, 3	pleval2 18259	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑍 ↔ (𝑌 < 𝑍 ∨ 𝑌 = 𝑍)))
5	4	3adant3r1 1183	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ≤ 𝑍 ↔ (𝑌 < 𝑍 ∨ 𝑌 = 𝑍)))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 ≤ 𝑍 ↔ (𝑌 < 𝑍 ∨ 𝑌 = 𝑍)))
7	1, 3	plttr 18264	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))
8	7	expdimp 452	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
9		breq2 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 = 𝑍 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 < 𝑍))
10	9	biimpcd 249	. . . . 5 ⊢ (𝑋 < 𝑌 → (𝑌 = 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 = 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
12	8, 11	jaod 859	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑌 < 𝑍 ∨ 𝑌 = 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))
13	6, 12	sylbid 240	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 ≤ 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
14	13	expimpd 453	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  Basecbs 17138  lecple 17186  Posetcpo 18231  ltcplt 18232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252

This theorem is referenced by:  cvrletrN  39251  atlen0  39288  atlelt  39417  2atlt  39418  ps-2  39457  llnnleat  39492  lplnnle2at  39520  lvolnle3at  39561  dalemcea  39639  2atm2atN  39764  dia2dimlem2  41044  dia2dimlem3  41045