Theorem pltletr 18276

Description: Transitive law for chained "less than" and "less than or equal to". (psssstr 4063 analog.) (Contributed by NM, 2-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltletr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pltletr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pltletr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pltletr	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Proof of Theorem pltletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pltletr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pltletr.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		pltletr.s	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4	1, 2, 3	pleval2 18270	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑍 ↔ (𝑌 < 𝑍 ∨ 𝑌 = 𝑍)))
5	4	3adant3r1 1184	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ≤ 𝑍 ↔ (𝑌 < 𝑍 ∨ 𝑌 = 𝑍)))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 ≤ 𝑍 ↔ (𝑌 < 𝑍 ∨ 𝑌 = 𝑍)))
7	1, 3	plttr 18275	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))
8	7	expdimp 452	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
9		breq2 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 = 𝑍 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 < 𝑍))
10	9	biimpcd 249	. . . . 5 ⊢ (𝑋 < 𝑌 → (𝑌 = 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 = 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
12	8, 11	jaod 860	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑌 < 𝑍 ∨ 𝑌 = 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))
13	6, 12	sylbid 240	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 ≤ 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
14	13	expimpd 453	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  lecple 17196  Posetcpo 18242  ltcplt 18243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263

This theorem is referenced by:  cvrletrN  39643  atlen0  39680  atlelt  39808  2atlt  39809  ps-2  39848  llnnleat  39883  lplnnle2at  39911  lvolnle3at  39952  dalemcea  40030  2atm2atN  40155  dia2dimlem2  41435  dia2dimlem3  41436