Theorem pltletr 18309

Description: Transitive law for chained "less than" and "less than or equal to". (psssstr 4075 analog.) (Contributed by NM, 2-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
pltletr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pltletr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pltletr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pltletr	⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Proof of Theorem pltletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pltletr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pltletr.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		pltletr.s	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝐾)
4	1, 2, 3	pleval2 18303	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ≤ 𝑍 ↔ (𝑌 < 𝑍 ∨ 𝑌 = 𝑍)))
5	4	3adant3r1 1183	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ≤ 𝑍 ↔ (𝑌 < 𝑍 ∨ 𝑌 = 𝑍)))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 ≤ 𝑍 ↔ (𝑌 < 𝑍 ∨ 𝑌 = 𝑍)))
7	1, 3	plttr 18308	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))
8	7	expdimp 452	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 < 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
9		breq2 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 = 𝑍 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 𝑋 < 𝑍))
10	9	biimpcd 249	. . . . 5 ⊢ (𝑋 < 𝑌 → (𝑌 = 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 = 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
12	8, 11	jaod 859	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑌 < 𝑍 ∨ 𝑌 = 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))
13	6, 12	sylbid 240	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 ≤ 𝑍 → 𝑋 < 𝑍))
14	13	expimpd 453	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 < 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  lecple 17234  Posetcpo 18275  ltcplt 18276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296

This theorem is referenced by:  cvrletrN  39273  atlen0  39310  atlelt  39439  2atlt  39440  ps-2  39479  llnnleat  39514  lplnnle2at  39542  lvolnle3at  39583  dalemcea  39661  2atm2atN  39786  dia2dimlem2  41066  dia2dimlem3  41067