Theorem cvrval2 35349

Description: Binary relation expressing 𝑌 covers 𝑋. Definition of covers in [Kalmbach] p. 15. (cvbr2 29697 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrletr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrletr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrletr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvrletr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrval2	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑧)   < (𝑧)   ≤ (𝑧)

Proof of Theorem cvrval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrletr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrletr.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		cvrletr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrval 35344	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
5		iman 392	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑌))
6		df-ne 3000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ≠ 𝑌 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑌)
7	6	anbi2i 618	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑌))
8	5, 7	xchbinxr 327	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))
9		cvrletr.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10	9, 2	pltval 17313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
11	10	3com23 1162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
12	11	3expa 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
13	12	anbi2d 624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))))
14		anass 462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
15	13, 14	syl6rbbr 282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
16	15	notbid 310	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
17	8, 16	syl5bb 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
18	17	ralbidva 3194	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
19		ralnex 3201	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))
20	18, 19	syl6bb 279	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
21	20	anbi2d 624	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
22	21	3adant2 1167	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
23	4, 22	bitr4d 274	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ∃wrex 3118   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  Basecbs 16222  lecple 16312  ltcplt 17294   ⋖ ccvr 35337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fv 6131  df-plt 17311  df-covers 35341

This theorem is referenced by:  isat3  35382  cvlcvr1  35414