Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrval2 36850
 Description: Binary relation expressing 𝑌 covers 𝑋. Definition of covers in [Kalmbach] p. 15. (cvbr2 30165 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrletr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrletr.l = (le‘𝐾)
cvrletr.s < = (lt‘𝐾)
cvrletr.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrval2 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑧)   < (𝑧)   (𝑧)

Proof of Theorem cvrval2
StepHypRef Expression
1 cvrletr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cvrletr.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
3 cvrletr.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
41, 2, 3cvrval 36845 . 2 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))))
5 iman 405 . . . . . . . 8 (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑌))
6 df-ne 2952 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑌 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑌)
76anbi2i 625 . . . . . . . 8 (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌) ↔ ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑌))
85, 7xchbinxr 338 . . . . . . 7 (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌))
9 anass 472 . . . . . . . . 9 (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 𝑌𝑧𝑌)))
10 cvrletr.l . . . . . . . . . . . . 13 = (le‘𝐾)
1110, 2pltval 17636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝐴𝑧𝐵𝑌𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 𝑌𝑧𝑌)))
12113com23 1123 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝐴𝑌𝐵𝑧𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 𝑌𝑧𝑌)))
13123expa 1115 . . . . . . . . . 10 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 𝑌𝑧𝑌)))
1413anbi2d 631 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 𝑌𝑧𝑌))))
159, 14bitr4id 293 . . . . . . . 8 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
1615notbid 321 . . . . . . 7 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (¬ ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
178, 16syl5bb 286 . . . . . 6 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
1817ralbidva 3125 . . . . 5 ((𝐾𝐴𝑌𝐵) → (∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ∀𝑧𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
19 ralnex 3163 . . . . 5 (∀𝑧𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))
2018, 19bitrdi 290 . . . 4 ((𝐾𝐴𝑌𝐵) → (∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
2120anbi2d 631 . . 3 ((𝐾𝐴𝑌𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))))
22213adant2 1128 . 2 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))))
234, 22bitr4d 285 1 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  Basecbs 16541  lecple 16630  ltcplt 17617   ⋖ ccvr 36838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fv 6343  df-plt 17634  df-covers 36842 This theorem is referenced by:  isat3  36883  cvlcvr1  36915
 Copyright terms: Public domain W3C validator