Theorem cvrval2 39905

Description: Binary relation expressing 𝑌 covers 𝑋. Definition of covers in [Kalmbach] p. 15. (cvbr2 32540 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrletr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrletr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrletr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvrletr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrval2	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑧)   < (𝑧)   ≤ (𝑧)

Proof of Theorem cvrval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrletr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrletr.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		cvrletr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrval 39900	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
5		iman 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑌))
6		df-ne 2961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ≠ 𝑌 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑌)
7	6	anbi2i 634	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑌))
8	5, 7	xchbinxr 338	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))
9		anass 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
10		cvrletr.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	10, 2	pltval 18374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
12	11	3com23 1142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
13	12	3expa 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
14	13	anbi2d 641	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))))
15	9, 14	bitr4id 293	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
16	15	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
17	8, 16	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
18	17	ralbidva 3186	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
19		ralnex 3091	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))
20	18, 19	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
21	20	anbi2d 641	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
22	21	3adant2 1147	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
23	4, 22	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  Basecbs 17257  lecple 17305  ltcplt 18352   ⋖ ccvr 39893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-plt 18372  df-covers 39897

This theorem is referenced by:  isat3  39938  cvlcvr1  39970