Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrval2 35349
Description: Binary relation expressing 𝑌 covers 𝑋. Definition of covers in [Kalmbach] p. 15. (cvbr2 29697 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrletr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrletr.l = (le‘𝐾)
cvrletr.s < = (lt‘𝐾)
cvrletr.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrval2 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑧)   < (𝑧)   (𝑧)

Proof of Theorem cvrval2
StepHypRef Expression
1 cvrletr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cvrletr.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
3 cvrletr.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
41, 2, 3cvrval 35344 . 2 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))))
5 iman 392 . . . . . . . 8 (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑌))
6 df-ne 3000 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑌 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑌)
76anbi2i 618 . . . . . . . 8 (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌) ↔ ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑌))
85, 7xchbinxr 327 . . . . . . 7 (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌))
9 cvrletr.l . . . . . . . . . . . . 13 = (le‘𝐾)
109, 2pltval 17313 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝐴𝑧𝐵𝑌𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 𝑌𝑧𝑌)))
11103com23 1162 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝐴𝑌𝐵𝑧𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 𝑌𝑧𝑌)))
12113expa 1153 . . . . . . . . . 10 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 𝑌𝑧𝑌)))
1312anbi2d 624 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 𝑌𝑧𝑌))))
14 anass 462 . . . . . . . . 9 (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 𝑌𝑧𝑌)))
1513, 14syl6rbbr 282 . . . . . . . 8 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
1615notbid 310 . . . . . . 7 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (¬ ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
178, 16syl5bb 275 . . . . . 6 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
1817ralbidva 3194 . . . . 5 ((𝐾𝐴𝑌𝐵) → (∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ∀𝑧𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
19 ralnex 3201 . . . . 5 (∀𝑧𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))
2018, 19syl6bb 279 . . . 4 ((𝐾𝐴𝑌𝐵) → (∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
2120anbi2d 624 . . 3 ((𝐾𝐴𝑌𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))))
22213adant2 1167 . 2 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))))
234, 22bitr4d 274 1 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999  wral 3117  wrex 3118   class class class wbr 4873  cfv 6123  Basecbs 16222  lecple 16312  ltcplt 17294  ccvr 35337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fv 6131  df-plt 17311  df-covers 35341
This theorem is referenced by:  isat3  35382  cvlcvr1  35414
  Copyright terms: Public domain W3C validator