Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvrval2 38132
Description: Binary relation expressing π‘Œ covers 𝑋. Definition of covers in [Kalmbach] p. 15. (cvbr2 31523 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrletr.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrletr.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrletr.s < = (ltβ€˜πΎ)
cvrletr.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrval2 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑧 = π‘Œ))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐡   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑧)   < (𝑧)   ≀ (𝑧)
Proof of Theorem cvrval2
StepHypRef Expression
1 cvrletr.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cvrletr.s . . 3 < = (ltβ€˜πΎ)
3 cvrletr.c . . 3 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
41, 2, 3cvrval 38127 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∧ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ))))
5 iman 402 . . . . . . . 8 (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑧 = π‘Œ) ↔ Β¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑧 = π‘Œ))
6 df-ne 2941 . . . . . . . . 9 (𝑧 β‰  π‘Œ ↔ Β¬ 𝑧 = π‘Œ)
76anbi2i 623 . . . . . . . 8 (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ) ↔ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑧 = π‘Œ))
85, 7xchbinxr 334 . . . . . . 7 (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑧 = π‘Œ) ↔ Β¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ))
9 anass 469 . . . . . . . . 9 (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 ≀ π‘Œ ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ)))
10 cvrletr.l . . . . . . . . . . . . 13 ≀ = (leβ€˜πΎ)
1110, 2pltval 18281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 < π‘Œ ↔ (𝑧 ≀ π‘Œ ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ)))
12113com23 1126 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 < π‘Œ ↔ (𝑧 ≀ π‘Œ ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ)))
13123expa 1118 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 < π‘Œ ↔ (𝑧 ≀ π‘Œ ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ)))
1413anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 ≀ π‘Œ ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ))))
159, 14bitr4id 289 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ)))
1615notbid 317 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ) ↔ Β¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ)))
178, 16bitrid 282 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑧 = π‘Œ) ↔ Β¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ)))
1817ralbidva 3175 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑧 = π‘Œ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Β¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ)))
19 ralnex 3072 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Β¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ))
2018, 19bitrdi 286 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑧 = π‘Œ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ)))
2120anbi2d 629 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 < π‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑧 = π‘Œ)) ↔ (𝑋 < π‘Œ ∧ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ))))
22213adant2 1131 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 < π‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑧 = π‘Œ)) ↔ (𝑋 < π‘Œ ∧ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ))))
234, 22bitr4d 281 1 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑧 = π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  lecple 17200  ltcplt 18257   β‹– ccvr 38120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-plt 18279  df-covers 38124
This theorem is referenced by:  isat3  38165  cvlcvr1  38197
  Copyright terms: Public domain W3C validator