Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvrval2 38192
Description: Binary relation expressing π‘Œ covers 𝑋. Definition of covers in [Kalmbach] p. 15. (cvbr2 31567 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrletr.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrletr.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrletr.s < = (ltβ€˜πΎ)
cvrletr.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrval2 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑧 = π‘Œ))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐡   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑧)   < (𝑧)   ≀ (𝑧)
Proof of Theorem cvrval2
StepHypRef Expression
1 cvrletr.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cvrletr.s . . 3 < = (ltβ€˜πΎ)
3 cvrletr.c . . 3 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
41, 2, 3cvrval 38187 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∧ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ))))
5 iman 403 . . . . . . . 8 (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑧 = π‘Œ) ↔ Β¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑧 = π‘Œ))
6 df-ne 2942 . . . . . . . . 9 (𝑧 β‰  π‘Œ ↔ Β¬ 𝑧 = π‘Œ)
76anbi2i 624 . . . . . . . 8 (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ) ↔ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) ∧ Β¬ 𝑧 = π‘Œ))
85, 7xchbinxr 335 . . . . . . 7 (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑧 = π‘Œ) ↔ Β¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ))
9 anass 470 . . . . . . . . 9 (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 ≀ π‘Œ ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ)))
10 cvrletr.l . . . . . . . . . . . . 13 ≀ = (leβ€˜πΎ)
1110, 2pltval 18285 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 < π‘Œ ↔ (𝑧 ≀ π‘Œ ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ)))
12113com23 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 < π‘Œ ↔ (𝑧 ≀ π‘Œ ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ)))
13123expa 1119 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧 < π‘Œ ↔ (𝑧 ≀ π‘Œ ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ)))
1413anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 ≀ π‘Œ ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ))))
159, 14bitr4id 290 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ)))
1615notbid 318 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) ∧ 𝑧 β‰  π‘Œ) ↔ Β¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ)))
178, 16bitrid 283 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑧 = π‘Œ) ↔ Β¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ)))
1817ralbidva 3176 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑧 = π‘Œ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Β¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ)))
19 ralnex 3073 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 Β¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ))
2018, 19bitrdi 287 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑧 = π‘Œ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ)))
2120anbi2d 630 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 < π‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑧 = π‘Œ)) ↔ (𝑋 < π‘Œ ∧ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ))))
22213adant2 1132 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 < π‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑧 = π‘Œ)) ↔ (𝑋 < π‘Œ ∧ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < π‘Œ))))
234, 22bitr4d 282 1 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ (𝑋 < π‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑧 = π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  lecple 17204  ltcplt 18261   β‹– ccvr 38180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-plt 18283  df-covers 38184
This theorem is referenced by:  isat3  38225  cvlcvr1  38257
  Copyright terms: Public domain W3C validator