Theorem cvrval2 39230

Description: Binary relation expressing 𝑌 covers 𝑋. Definition of covers in [Kalmbach] p. 15. (cvbr2 32315 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrletr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrletr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrletr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvrletr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrval2	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑧)   < (𝑧)   ≤ (𝑧)

Proof of Theorem cvrval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrletr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrletr.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		cvrletr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrval 39225	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
5		iman 401	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑌))
6		df-ne 2947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ≠ 𝑌 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑌)
7	6	anbi2i 622	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑌))
8	5, 7	xchbinxr 335	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))
9		anass 468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
10		cvrletr.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	10, 2	pltval 18402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
12	11	3com23 1126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
13	12	3expa 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
14	13	anbi2d 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))))
15	9, 14	bitr4id 290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
16	15	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
17	8, 16	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
18	17	ralbidva 3182	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
19		ralnex 3078	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))
20	18, 19	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
21	20	anbi2d 629	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
22	21	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
23	4, 22	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  lecple 17318  ltcplt 18378   ⋖ ccvr 39218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-plt 18400  df-covers 39222

This theorem is referenced by:  isat3  39263  cvlcvr1  39295