Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrval2 39275
Description: Binary relation expressing 𝑌 covers 𝑋. Definition of covers in [Kalmbach] p. 15. (cvbr2 32302 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrletr.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrletr.l = (le‘𝐾)
cvrletr.s < = (lt‘𝐾)
cvrletr.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrval2 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑧)   < (𝑧)   (𝑧)

Proof of Theorem cvrval2
StepHypRef Expression
1 cvrletr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cvrletr.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
3 cvrletr.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
41, 2, 3cvrval 39270 . 2 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))))
5 iman 401 . . . . . . . 8 (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑌))
6 df-ne 2941 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑌 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑌)
76anbi2i 623 . . . . . . . 8 (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌) ↔ ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑌))
85, 7xchbinxr 335 . . . . . . 7 (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌))
9 anass 468 . . . . . . . . 9 (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 𝑌𝑧𝑌)))
10 cvrletr.l . . . . . . . . . . . . 13 = (le‘𝐾)
1110, 2pltval 18377 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾𝐴𝑧𝐵𝑌𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 𝑌𝑧𝑌)))
12113com23 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝐴𝑌𝐵𝑧𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 𝑌𝑧𝑌)))
13123expa 1119 . . . . . . . . . 10 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 𝑌𝑧𝑌)))
1413anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 𝑌𝑧𝑌))))
159, 14bitr4id 290 . . . . . . . 8 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
1615notbid 318 . . . . . . 7 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (¬ ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) ∧ 𝑧𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
178, 16bitrid 283 . . . . . 6 (((𝐾𝐴𝑌𝐵) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
1817ralbidva 3176 . . . . 5 ((𝐾𝐴𝑌𝐵) → (∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ∀𝑧𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
19 ralnex 3072 . . . . 5 (∀𝑧𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))
2018, 19bitrdi 287 . . . 4 ((𝐾𝐴𝑌𝐵) → (∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌)))
2120anbi2d 630 . . 3 ((𝐾𝐴𝑌𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))))
22213adant2 1132 . 2 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧𝐵 (𝑋 < 𝑧𝑧 < 𝑌))))
234, 22bitr4d 282 1 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 < 𝑧𝑧 𝑌) → 𝑧 = 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  ltcplt 18354  ccvr 39263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-plt 18375  df-covers 39267
This theorem is referenced by:  isat3  39308  cvlcvr1  39340
  Copyright terms: Public domain W3C validator