Theorem cvrval2 40590

Description: Binary relation expressing 𝑌 covers 𝑋. Definition of covers in [Kalmbach] p. 15. (cvbr2 32931 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrletr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrletr.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrletr.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
cvrletr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrval2	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑧)   < (𝑧)   ≤ (𝑧)

Proof of Theorem cvrval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrletr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cvrletr.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		cvrletr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrval 40585	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
5		iman 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑌))
6		df-ne 2960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ≠ 𝑌 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑌)
7	6	anbi2i 635	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑌))
8	5, 7	xchbinxr 338	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))
9		anass 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
10		cvrletr.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	10, 2	pltval 18545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
12	11	3com23 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
13	12	3expa 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 < 𝑌 ↔ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
14	13	anbi2d 642	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ (𝑧 ≤ 𝑌 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))))
15	9, 14	bitr4id 293	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
16	15	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (¬ ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) ∧ 𝑧 ≠ 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
17	8, 16	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
18	17	ralbidva 3187	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
19		ralnex 3092	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))
20	18, 19	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌) ↔ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌)))
21	20	anbi2d 642	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
22	21	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌)) ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑌))))
23	4, 22	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (𝑋 < 𝑌 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑋 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑌) → 𝑧 = 𝑌))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6564  Basecbs 17428  lecple 17476  ltcplt 18523   ⋖ ccvr 40578

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fv 6572  df-plt 18543  df-covers 40582

This theorem is used by:  isat3  40623  cvlcvr1  40655