Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpll 765 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β πΎ β HL) |
2 | | simpr3l 1234 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π
β π΄) |
3 | | eqid 2732 |
. . . . 5
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
4 | | cdleme1.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | 3, 4 | atbase 38147 |
. . . 4
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
6 | 2, 5 | syl 17 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π
β (BaseβπΎ)) |
7 | | hllat 38221 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
8 | 7 | ad2antrr 724 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β πΎ β Lat) |
9 | | cdleme1.f |
. . . . 5
β’ πΉ = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) |
10 | | cdleme1.l |
. . . . . . . . . 10
β’ β€ =
(leβπΎ) |
11 | | cdleme1.j |
. . . . . . . . . 10
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
12 | | cdleme1.m |
. . . . . . . . . 10
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
13 | | cdleme1.h |
. . . . . . . . . 10
β’ π» = (LHypβπΎ) |
14 | | cdleme1.u |
. . . . . . . . . 10
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
15 | 10, 11, 12, 4, 13, 14 | lhpat2 38904 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β π β π΄) |
16 | 15 | 3adant3r3 1184 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β π΄) |
17 | 3, 4 | atbase 38147 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
18 | 16, 17 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
19 | 3, 11 | latjcl 18388 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
20 | 8, 6, 18, 19 | syl3anc 1371 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
21 | | simpr2l 1232 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β π΄) |
22 | 3, 4 | atbase 38147 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
23 | 21, 22 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
24 | | simpr1l 1230 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β π΄) |
25 | 3, 4 | atbase 38147 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
26 | 24, 25 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
27 | 3, 11 | latjcl 18388 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
28 | 8, 26, 6, 27 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
29 | 3, 13 | lhpbase 38857 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
30 | 29 | ad2antlr 725 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
31 | 3, 12 | latmcl 18389 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
32 | 8, 28, 30, 31 | syl3anc 1371 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π β¨ π
) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
33 | 3, 11 | latjcl 18388 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π
) β§ π) β (BaseβπΎ)) β (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
34 | 8, 23, 32, 33 | syl3anc 1371 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
35 | 3, 12 | latmcl 18389 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) β (BaseβπΎ)) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β (BaseβπΎ)) |
36 | 8, 20, 34, 35 | syl3anc 1371 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β (BaseβπΎ)) |
37 | 9, 36 | eqeltrid 2837 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
38 | 3, 11 | latjcl 18388 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π
β (BaseβπΎ) β§ πΉ β (BaseβπΎ)) β (π
β¨ πΉ) β (BaseβπΎ)) |
39 | 8, 6, 37, 38 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ πΉ) β (BaseβπΎ)) |
40 | 3, 11 | latjcl 18388 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
41 | 8, 26, 23, 40 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
42 | 3, 10, 12 | latmle2 18414 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
43 | 8, 41, 30, 42 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
44 | 14, 43 | eqbrtrid 5182 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β€ π) |
45 | | simpr3r 1235 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β Β¬ π
β€ π) |
46 | | nbrne2 5167 |
. . . . . . 7
β’ ((π β€ π β§ Β¬ π
β€ π) β π β π
) |
47 | 44, 45, 46 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β π
) |
48 | 47 | necomd 2996 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π
β π) |
49 | | eqid 2732 |
. . . . . . 7
β’ ( β
βπΎ) = ( β
βπΎ) |
50 | 11, 49, 4 | atcvr1 38276 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β π β π
( β βπΎ)(π
β¨ π))) |
51 | 1, 2, 16, 50 | syl3anc 1371 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β π β π
( β βπΎ)(π
β¨ π))) |
52 | 48, 51 | mpbid 231 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π
( β βπΎ)(π
β¨ π)) |
53 | | simpr3 1196 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
54 | 24, 21, 53 | 3jca 1128 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) |
55 | 10, 11, 12, 4, 13, 14, 9 | cdleme1 39086 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ πΉ) = (π
β¨ π)) |
56 | 54, 55 | syldan 591 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ πΉ) = (π
β¨ π)) |
57 | 52, 56 | breqtrrd 5175 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π
( β βπΎ)(π
β¨ πΉ)) |
58 | 3, 49 | cvrne 38139 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π
β (BaseβπΎ) β§ (π
β¨ πΉ) β (BaseβπΎ)) β§ π
( β βπΎ)(π
β¨ πΉ)) β π
β (π
β¨ πΉ)) |
59 | 1, 6, 39, 57, 58 | syl31anc 1373 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π
β (π
β¨ πΉ)) |
60 | | oveq2 7413 |
. . . . . 6
β’ (πΉ = π
β (π
β¨ πΉ) = (π
β¨ π
)) |
61 | 60 | adantl 482 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β§ πΉ = π
) β (π
β¨ πΉ) = (π
β¨ π
)) |
62 | 11, 4 | hlatjidm 38227 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄) β (π
β¨ π
) = π
) |
63 | 1, 2, 62 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ π
) = π
) |
64 | 63 | adantr 481 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β§ πΉ = π
) β (π
β¨ π
) = π
) |
65 | 61, 64 | eqtr2d 2773 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β§ πΉ = π
) β π
= (π
β¨ πΉ)) |
66 | 65 | ex 413 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (πΉ = π
β π
= (π
β¨ πΉ))) |
67 | 66 | necon3d 2961 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β (π
β¨ πΉ) β πΉ β π
)) |
68 | 59, 67 | mpd 15 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β πΉ β π
) |