Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrnle 39261
Description: The covers relation implies the negation of the converse "less than or equal to" relation. (Contributed by NM, 18-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrle.l = (le‘𝐾)
cvrle.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrnle (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ¬ 𝑌 𝑋)

Proof of Theorem cvrnle
StepHypRef Expression
1 cvrle.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2734 . . 3 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3 cvrle.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
41, 2, 3cvrlt 39251 . 2 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑌)
5 cvrle.l . . 3 = (le‘𝐾)
61, 5, 2pltnle 18395 . 2 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑌) → ¬ 𝑌 𝑋)
74, 6syldan 591 1 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ¬ 𝑌 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  cfv 6562  Basecbs 17244  lecple 17304  Posetcpo 18364  ltcplt 18365  ccvr 39243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fv 6570  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-covers 39247
This theorem is referenced by:  atnle0  39290  dih1  41268
  Copyright terms: Public domain W3C validator