Theorem cvrnle 39904

Description: The covers relation implies the negation of the converse "less than or equal to" relation. (Contributed by NM, 18-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrle.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrnle	⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ¬ 𝑌 ≤ 𝑋)

Proof of Theorem cvrnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrle.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3		cvrle.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrlt 39894	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑌)
5		cvrle.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6	1, 5, 2	pltnle 18368	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑌) → ¬ 𝑌 ≤ 𝑋)
7	4, 6	syldan 600	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ¬ 𝑌 ≤ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  Basecbs 17245  lecple 17293  Posetcpo 18339  ltcplt 18340   ⋖ ccvr 39886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-covers 39890

This theorem is referenced by:  atnle0  39933  dih1  41910