Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrnle 39281
Description: The covers relation implies the negation of the converse "less than or equal to" relation. (Contributed by NM, 18-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrle.l = (le‘𝐾)
cvrle.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrnle (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ¬ 𝑌 𝑋)

Proof of Theorem cvrnle
StepHypRef Expression
1 cvrle.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2737 . . 3 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3 cvrle.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
41, 2, 3cvrlt 39271 . 2 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑌)
5 cvrle.l . . 3 = (le‘𝐾)
61, 5, 2pltnle 18383 . 2 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑌) → ¬ 𝑌 𝑋)
74, 6syldan 591 1 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ¬ 𝑌 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  Posetcpo 18353  ltcplt 18354  ccvr 39263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-covers 39267
This theorem is referenced by:  atnle0  39310  dih1  41288
  Copyright terms: Public domain W3C validator