Theorem cvrnle 40112

Description: The covers relation implies the negation of the converse "less than or equal to" relation. (Contributed by NM, 18-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrle.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrnle	⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ¬ 𝑌 ≤ 𝑋)

Proof of Theorem cvrnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrle.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3		cvrle.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrlt 40102	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑌)
5		cvrle.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6	1, 5, 2	pltnle 18414	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑌) → ¬ 𝑌 ≤ 𝑋)
7	4, 6	syldan 603	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ¬ 𝑌 ≤ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  Basecbs 17291  lecple 17339  Posetcpo 18385  ltcplt 18386   ⋖ ccvr 40094

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-proset 18372  df-poset 18391  df-plt 18406  df-covers 40098

This theorem is used by:  atnle0  40141  dih1  42118