Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme7e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme7e 39631
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme7ga 39632 and cdleme7 39633. (Contributed by NM, 8-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme4.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme4.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme4.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme4.f 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
cdleme4.g 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
cdleme7.v 𝑉 = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdleme7e ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐺 β‰  (0.β€˜πΎ))

Proof of Theorem cdleme7e
StepHypRef Expression
1 simp11l 1281 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38747 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp2ll 1237 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
4 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 cdleme4.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 38672 . . . . . 6 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
73, 6syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8 hlop 38745 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
9 eqid 2726 . . . . . . 7 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
104, 9op0cl 38567 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
111, 8, 103syl 18 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
12 cdleme4.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
134, 12latjcl 18404 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (0.β€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑅 ∨ (0.β€˜πΎ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
142, 7, 11, 13syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑅 ∨ (0.β€˜πΎ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 cdleme4.g . . . . . 6 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
16 simp12l 1283 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
17 simp13l 1285 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
184, 12, 5hlatjcl 38750 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
191, 16, 17, 18syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
20 simp11 1200 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
21 simp2rl 1239 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
22 cdleme4.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
23 cdleme4.m . . . . . . . . . 10 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
24 cdleme4.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
25 cdleme4.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
26 cdleme4.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
2722, 12, 23, 5, 24, 25, 26, 4cdleme1b 39610 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2820, 16, 17, 21, 27syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
294, 12, 5hlatjcl 38750 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
301, 3, 21, 29syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
31 simp11r 1282 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
324, 24lhpbase 39382 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
344, 23latmcl 18405 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
352, 30, 33, 34syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
364, 12latjcl 18404 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
372, 28, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
384, 23latmcl 18405 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
392, 19, 37, 38syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4015, 39eqeltrid 2831 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
414, 12latjcl 18404 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑅 ∨ 𝐺) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
422, 7, 40, 41syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑅 ∨ 𝐺) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
434, 22, 23latmle2 18430 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
442, 19, 33, 43syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
4525, 44eqbrtrid 5176 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)
46 simp2lr 1238 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)
47 nbrne2 5161 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) β†’ π‘ˆ β‰  𝑅)
4847necomd 2990 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) β†’ 𝑅 β‰  π‘ˆ)
4945, 46, 48syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑅 β‰  π‘ˆ)
50 simp12 1201 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
51 simp31 1206 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
5222, 12, 23, 5, 24, 25lhpat2 39429 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
5320, 50, 17, 51, 52syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
54 eqid 2726 . . . . . . . 8 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
5512, 54, 5atcvr1 38801 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 β‰  π‘ˆ ↔ 𝑅( β‹– β€˜πΎ)(𝑅 ∨ π‘ˆ)))
561, 3, 53, 55syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑅 β‰  π‘ˆ ↔ 𝑅( β‹– β€˜πΎ)(𝑅 ∨ π‘ˆ)))
5749, 56mpbid 231 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑅( β‹– β€˜πΎ)(𝑅 ∨ π‘ˆ))
58 hlol 38744 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
591, 58syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐾 ∈ OL)
604, 12, 9olj01 38608 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑅 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑅)
6159, 7, 60syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑅 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑅)
62 simp2l 1196 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
63 simp2r 1197 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))
64 simp32 1207 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
6522, 12, 23, 5, 24, 25, 26, 15cdleme5 39624 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑅 ∨ 𝐺) = (𝑃 ∨ 𝑄))
6620, 16, 17, 62, 63, 64, 65syl132anc 1385 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑅 ∨ 𝐺) = (𝑃 ∨ 𝑄))
6722, 12, 23, 5, 24, 25cdleme4 39622 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ π‘ˆ))
6820, 16, 17, 62, 64, 67syl131anc 1380 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ π‘ˆ))
6966, 68eqtrd 2766 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑅 ∨ 𝐺) = (𝑅 ∨ π‘ˆ))
7057, 61, 693brtr4d 5173 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑅 ∨ (0.β€˜πΎ))( β‹– β€˜πΎ)(𝑅 ∨ 𝐺))
714, 54cvrne 38664 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∨ (0.β€˜πΎ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ 𝐺) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑅 ∨ (0.β€˜πΎ))( β‹– β€˜πΎ)(𝑅 ∨ 𝐺)) β†’ (𝑅 ∨ (0.β€˜πΎ)) β‰  (𝑅 ∨ 𝐺))
721, 14, 42, 70, 71syl31anc 1370 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑅 ∨ (0.β€˜πΎ)) β‰  (𝑅 ∨ 𝐺))
73 oveq2 7413 . . . 4 ((0.β€˜πΎ) = 𝐺 β†’ (𝑅 ∨ (0.β€˜πΎ)) = (𝑅 ∨ 𝐺))
7473necon3i 2967 . . 3 ((𝑅 ∨ (0.β€˜πΎ)) β‰  (𝑅 ∨ 𝐺) β†’ (0.β€˜πΎ) β‰  𝐺)
7572, 74syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (0.β€˜πΎ) β‰  𝐺)
7675necomd 2990 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐺 β‰  (0.β€˜πΎ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  0.cp0 18388  Latclat 18396  OPcops 38555  OLcol 38557   β‹– ccvr 38645  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372
This theorem is referenced by:  cdleme7ga  39632
  Copyright terms: Public domain W3C validator