Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme3c Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleme3c 39089
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme3fa 39095 and cdleme3 39096. (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme1.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme1.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme1.f 𝐹 = ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)))
cdleme3c.z 0 = (0.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdleme3c (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 β‰  0 )
Proof of Theorem cdleme3c
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 38221 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
32ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simpr3l 1234 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
6 cdleme1.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
75, 6atbase 38147 . . . . . 6 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
84, 7syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
9 hlop 38220 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
109ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ OP)
11 cdleme3c.z . . . . . . 7 0 = (0.β€˜πΎ)
125, 11op0cl 38042 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1310, 12syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 cdleme1.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
155, 14latjcl 18388 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑅 ∨ 0 ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
163, 8, 13, 15syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑅 ∨ 0 ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 simpl 483 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
18 simpr1l 1230 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
19 simpr2l 1232 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
20 cdleme1.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
21 cdleme1.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
22 cdleme1.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
23 cdleme1.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
24 cdleme1.f . . . . . . 7 𝐹 = ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)))
2520, 14, 21, 6, 22, 23, 24, 5cdleme1b 39085 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2617, 18, 19, 4, 25syl13anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
275, 14latjcl 18388 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑅 ∨ 𝐹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
283, 8, 26, 27syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑅 ∨ 𝐹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
295, 6atbase 38147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3018, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
315, 6atbase 38147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3219, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
335, 14latjcl 18388 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
343, 30, 32, 33syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
355, 22lhpbase 38857 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3635ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
375, 20, 21latmle2 18414 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
383, 34, 36, 37syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
3923, 38eqbrtrid 5182 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)
40 simpr3r 1235 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)
41 nbrne2 5167 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) β†’ π‘ˆ β‰  𝑅)
4239, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ π‘ˆ β‰  𝑅)
4342necomd 2996 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑅 β‰  π‘ˆ)
4420, 14, 21, 6, 22, 23lhpat2 38904 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
45443adant3r3 1184 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
46 eqid 2732 . . . . . . . 8 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
4714, 46, 6atcvr1 38276 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 β‰  π‘ˆ ↔ 𝑅( β‹– β€˜πΎ)(𝑅 ∨ π‘ˆ)))
481, 4, 45, 47syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑅 β‰  π‘ˆ ↔ 𝑅( β‹– β€˜πΎ)(𝑅 ∨ π‘ˆ)))
4943, 48mpbid 231 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑅( β‹– β€˜πΎ)(𝑅 ∨ π‘ˆ))
50 hlol 38219 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
5150ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ OL)
525, 14, 11olj01 38083 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑅 ∨ 0 ) = 𝑅)
5351, 8, 52syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑅 ∨ 0 ) = 𝑅)
54 simpr3 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
5520, 14, 21, 6, 22, 23, 24cdleme1 39086 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑅 ∨ 𝐹) = (𝑅 ∨ π‘ˆ))
5617, 18, 19, 54, 55syl13anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑅 ∨ 𝐹) = (𝑅 ∨ π‘ˆ))
5749, 53, 563brtr4d 5179 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑅 ∨ 0 )( β‹– β€˜πΎ)(𝑅 ∨ 𝐹))
585, 46cvrne 38139 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∨ 0 ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ 𝐹) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑅 ∨ 0 )( β‹– β€˜πΎ)(𝑅 ∨ 𝐹)) β†’ (𝑅 ∨ 0 ) β‰  (𝑅 ∨ 𝐹))
591, 16, 28, 57, 58syl31anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑅 ∨ 0 ) β‰  (𝑅 ∨ 𝐹))
60 oveq2 7413 . . . 4 ( 0 = 𝐹 β†’ (𝑅 ∨ 0 ) = (𝑅 ∨ 𝐹))
6160necon3i 2973 . . 3 ((𝑅 ∨ 0 ) β‰  (𝑅 ∨ 𝐹) β†’ 0 β‰  𝐹)
6259, 61syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ 0 β‰  𝐹)
6362necomd 2996 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 β‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  0.cp0 18372  Latclat 18380  OPcops 38030  OLcol 38032   β‹– ccvr 38120  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LHypclh 38843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847
This theorem is referenced by:  cdleme3h  39094
  Copyright terms: Public domain W3C validator