Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme3c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme3c 37360
 Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme3fa 37366 and cdleme3 37367. (Contributed by NM, 6-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme1.l = (le‘𝐾)
cdleme1.j = (join‘𝐾)
cdleme1.m = (meet‘𝐾)
cdleme1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme1.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme1.f 𝐹 = ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)))
cdleme3c.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme3c (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝐹0 )

Proof of Theorem cdleme3c
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 36493 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
32ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpr3l 1230 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑅𝐴)
5 eqid 2821 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 cdleme1.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 36419 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
84, 7syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
9 hlop 36492 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
109ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝐾 ∈ OP)
11 cdleme3c.z . . . . . . 7 0 = (0.‘𝐾)
125, 11op0cl 36314 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
1310, 12syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
14 cdleme1.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
155, 14latjcl 17655 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 0 ) ∈ (Base‘𝐾))
163, 8, 13, 15syl3anc 1367 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑅 0 ) ∈ (Base‘𝐾))
17 simpl 485 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
18 simpr1l 1226 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑃𝐴)
19 simpr2l 1228 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑄𝐴)
20 cdleme1.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
21 cdleme1.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
22 cdleme1.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
23 cdleme1.u . . . . . . 7 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
24 cdleme1.f . . . . . . 7 𝐹 = ((𝑅 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑊)))
2520, 14, 21, 6, 22, 23, 24, 5cdleme1b 37356 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
2617, 18, 19, 4, 25syl13anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
275, 14latjcl 17655 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
283, 8, 26, 27syl3anc 1367 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑅 𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
295, 6atbase 36419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
3018, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
315, 6atbase 36419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
3219, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
335, 14latjcl 17655 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
343, 30, 32, 33syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
355, 22lhpbase 37128 . . . . . . . . . . 11 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3635ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
375, 20, 21latmle2 17681 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
383, 34, 36, 37syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) 𝑊)
3923, 38eqbrtrid 5093 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑈 𝑊)
40 simpr3r 1231 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → ¬ 𝑅 𝑊)
41 nbrne2 5078 . . . . . . . 8 ((𝑈 𝑊 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) → 𝑈𝑅)
4239, 40, 41syl2anc 586 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑈𝑅)
4342necomd 3071 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑅𝑈)
4420, 14, 21, 6, 22, 23lhpat2 37175 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑈𝐴)
45443adant3r3 1180 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑈𝐴)
46 eqid 2821 . . . . . . . 8 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4714, 46, 6atcvr1 36547 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑈𝐴) → (𝑅𝑈𝑅( ⋖ ‘𝐾)(𝑅 𝑈)))
481, 4, 45, 47syl3anc 1367 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑅𝑈𝑅( ⋖ ‘𝐾)(𝑅 𝑈)))
4943, 48mpbid 234 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝑅( ⋖ ‘𝐾)(𝑅 𝑈))
50 hlol 36491 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
5150ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝐾 ∈ OL)
525, 14, 11olj01 36355 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 0 ) = 𝑅)
5351, 8, 52syl2anc 586 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑅 0 ) = 𝑅)
54 simpr3 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))
5520, 14, 21, 6, 22, 23, 24cdleme1 37357 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑅 𝐹) = (𝑅 𝑈))
5617, 18, 19, 54, 55syl13anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑅 𝐹) = (𝑅 𝑈))
5749, 53, 563brtr4d 5090 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑅 0 )( ⋖ ‘𝐾)(𝑅 𝐹))
585, 46cvrne 36411 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 0 ) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝐹) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅 0 )( ⋖ ‘𝐾)(𝑅 𝐹)) → (𝑅 0 ) ≠ (𝑅 𝐹))
591, 16, 28, 57, 58syl31anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → (𝑅 0 ) ≠ (𝑅 𝐹))
60 oveq2 7158 . . . 4 ( 0 = 𝐹 → (𝑅 0 ) = (𝑅 𝐹))
6160necon3i 3048 . . 3 ((𝑅 0 ) ≠ (𝑅 𝐹) → 0𝐹)
6259, 61syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 0𝐹)
6362necomd 3071 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))) → 𝐹0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  lecple 16566  joincjn 17548  meetcmee 17549  0.cp0 17641  Latclat 17649  OPcops 36302  OLcol 36304   ⋖ ccvr 36392  Atomscatm 36393  HLchlt 36480  LHypclh 37114 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-psubsp 36633  df-pmap 36634  df-padd 36926  df-lhyp 37118 This theorem is referenced by:  cdleme3h  37365
 Copyright terms: Public domain W3C validator