Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpll 766 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β πΎ β HL) |
2 | | hllat 37828 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
3 | 2 | ad2antrr 725 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β πΎ β Lat) |
4 | | simpr3l 1235 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π
β π΄) |
5 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
6 | | cdleme1.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | 5, 6 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
8 | 4, 7 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π
β (BaseβπΎ)) |
9 | | hlop 37827 |
. . . . . . 7
β’ (πΎ β HL β πΎ β OP) |
10 | 9 | ad2antrr 725 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β πΎ β OP) |
11 | | cdleme3c.z |
. . . . . . 7
β’ 0 =
(0.βπΎ) |
12 | 5, 11 | op0cl 37649 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β OP β 0 β
(BaseβπΎ)) |
13 | 10, 12 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β 0 β (BaseβπΎ)) |
14 | | cdleme1.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
15 | 5, 14 | latjcl 18329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π
β (BaseβπΎ) β§ 0 β (BaseβπΎ)) β (π
β¨ 0 ) β (BaseβπΎ)) |
16 | 3, 8, 13, 15 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ 0 ) β (BaseβπΎ)) |
17 | | simpl 484 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
18 | | simpr1l 1231 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β π΄) |
19 | | simpr2l 1233 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β π΄) |
20 | | cdleme1.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
21 | | cdleme1.m |
. . . . . . 7
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
22 | | cdleme1.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
23 | | cdleme1.u |
. . . . . . 7
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
24 | | cdleme1.f |
. . . . . . 7
β’ πΉ = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) |
25 | 20, 14, 21, 6, 22, 23, 24, 5 | cdleme1b 38692 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
26 | 17, 18, 19, 4, 25 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
27 | 5, 14 | latjcl 18329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π
β (BaseβπΎ) β§ πΉ β (BaseβπΎ)) β (π
β¨ πΉ) β (BaseβπΎ)) |
28 | 3, 8, 26, 27 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ πΉ) β (BaseβπΎ)) |
29 | 5, 6 | atbase 37754 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
30 | 18, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
31 | 5, 6 | atbase 37754 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
32 | 19, 31 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
33 | 5, 14 | latjcl 18329 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
34 | 3, 30, 32, 33 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
35 | 5, 22 | lhpbase 38464 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
36 | 35 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
37 | 5, 20, 21 | latmle2 18355 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
38 | 3, 34, 36, 37 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π β¨ π) β§ π) β€ π) |
39 | 23, 38 | eqbrtrid 5141 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β€ π) |
40 | | simpr3r 1236 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β Β¬ π
β€ π) |
41 | | nbrne2 5126 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β€ π β§ Β¬ π
β€ π) β π β π
) |
42 | 39, 40, 41 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β π
) |
43 | 42 | necomd 3000 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π
β π) |
44 | 20, 14, 21, 6, 22, 23 | lhpat2 38511 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π)) β π β π΄) |
45 | 44 | 3adant3r3 1185 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β π΄) |
46 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’ ( β
βπΎ) = ( β
βπΎ) |
47 | 14, 46, 6 | atcvr1 37883 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β π β π
( β βπΎ)(π
β¨ π))) |
48 | 1, 4, 45, 47 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β π β π
( β βπΎ)(π
β¨ π))) |
49 | 43, 48 | mpbid 231 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π
( β βπΎ)(π
β¨ π)) |
50 | | hlol 37826 |
. . . . . . 7
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
51 | 50 | ad2antrr 725 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β πΎ β OL) |
52 | 5, 14, 11 | olj01 37690 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β OL β§ π
β (BaseβπΎ)) β (π
β¨ 0 ) = π
) |
53 | 51, 8, 52 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ 0 ) = π
) |
54 | | simpr3 1197 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
55 | 20, 14, 21, 6, 22, 23, 24 | cdleme1 38693 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ πΉ) = (π
β¨ π)) |
56 | 17, 18, 19, 54, 55 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ πΉ) = (π
β¨ π)) |
57 | 49, 53, 56 | 3brtr4d 5138 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ 0 )( β βπΎ)(π
β¨ πΉ)) |
58 | 5, 46 | cvrne 37746 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ (π
β¨ 0 ) β (BaseβπΎ) β§ (π
β¨ πΉ) β (BaseβπΎ)) β§ (π
β¨ 0 )( β βπΎ)(π
β¨ πΉ)) β (π
β¨ 0 ) β (π
β¨ πΉ)) |
59 | 1, 16, 28, 57, 58 | syl31anc 1374 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ 0 ) β (π
β¨ πΉ)) |
60 | | oveq2 7366 |
. . . 4
β’ ( 0 = πΉ β (π
β¨ 0 ) = (π
β¨ πΉ)) |
61 | 60 | necon3i 2977 |
. . 3
β’ ((π
β¨ 0 ) β (π
β¨ πΉ) β 0 β πΉ) |
62 | 59, 61 | syl 17 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β 0 β πΉ) |
63 | 62 | necomd 3000 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β πΉ β 0 ) |