Theorem atnle0 39285

Description: An atom is not less than or equal to zero. (Contributed by NM, 17-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atnle0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atnle0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atnle0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atnle0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 ≤ 0 )

Proof of Theorem atnle0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atlpos 39277	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
3		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		atnle0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5	3, 4	atl0cl 39279	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ (Base‘𝐾))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
7		atnle0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	3, 7	atbase 39265	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9	8	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
10		eqid 2734	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
11	4, 10, 7	atcvr0 39264	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
12		atnle0.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13	3, 12, 10	cvrnle 39256	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → ¬ 𝑃 ≤ 0 )
14	2, 6, 9, 11, 13	syl31anc 1374	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 ≤ 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5123  ‘cfv 6541  Basecbs 17230  lecple 17281  Posetcpo 18324  0.cp0 18438   ⋖ ccvr 39238  Atomscatm 39239  AtLatcal 39240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-proset 18311  df-poset 18330  df-plt 18345  df-glb 18362  df-p0 18440  df-lat 18447  df-covers 39242  df-ats 39243  df-atl 39274

This theorem is referenced by:  pmap0  39742  trlnle  40163  cdlemg27b  40673