Theorem atnle0 40141

Description: An atom is not less than or equal to zero. (Contributed by NM, 17-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atnle0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atnle0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atnle0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atnle0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 ≤ 0 )

Proof of Theorem atnle0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atlpos 40133	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		atnle0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5	3, 4	atl0cl 40135	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ (Base‘𝐾))
6	5	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
7		atnle0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	3, 7	atbase 40121	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9	8	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
10		eqid 2765	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
11	4, 10, 7	atcvr0 40120	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
12		atnle0.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13	3, 12, 10	cvrnle 40112	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → ¬ 𝑃 ≤ 0 )
14	2, 6, 9, 11, 13	syl31anc 1400	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 ≤ 0 )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  Basecbs 17291  lecple 17339  Posetcpo 18385  0.cp0 18499   ⋖ ccvr 40094  Atomscatm 40095  AtLatcal 40096

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-proset 18372  df-poset 18391  df-plt 18406  df-glb 18423  df-p0 18501  df-lat 18510  df-covers 40098  df-ats 40099  df-atl 40130

This theorem is used by:  pmap0  40597  trlnle  41018  cdlemg27b  41528