Theorem atnle0 39801

Description: An atom is not less than or equal to zero. (Contributed by NM, 17-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atnle0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atnle0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atnle0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atnle0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 ≤ 0 )

Proof of Theorem atnle0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atlpos 39793	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
2	1	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
3		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		atnle0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5	3, 4	atl0cl 39795	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ (Base‘𝐾))
6	5	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
7		atnle0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	3, 7	atbase 39781	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9	8	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
10		eqid 2739	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
11	4, 10, 7	atcvr0 39780	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
12		atnle0.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13	3, 12, 10	cvrnle 39772	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → ¬ 𝑃 ≤ 0 )
14	2, 6, 9, 11, 13	syl31anc 1381	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 ≤ 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  lecple 17218  Posetcpo 18264  0.cp0 18378   ⋖ ccvr 39754  Atomscatm 39755  AtLatcal 39756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-glb 18302  df-p0 18380  df-lat 18389  df-covers 39758  df-ats 39759  df-atl 39790

This theorem is referenced by:  pmap0  40257  trlnle  40678  cdlemg27b  41188