Theorem atnle0 38643

Description: An atom is not less than or equal to zero. (Contributed by NM, 17-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
atnle0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atnle0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atnle0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atnle0	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 ≤ 0 )

Proof of Theorem atnle0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atlpos 38635	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Poset)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		atnle0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
5	3, 4	atl0cl 38637	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ (Base‘𝐾))
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
7		atnle0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	3, 7	atbase 38623	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9	8	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
10		eqid 2731	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
11	4, 10, 7	atcvr0 38622	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
12		atnle0.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13	3, 12, 10	cvrnle 38614	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → ¬ 𝑃 ≤ 0 )
14	2, 6, 9, 11, 13	syl31anc 1372	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃 ≤ 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  Basecbs 17151  lecple 17211  Posetcpo 18270  0.cp0 18386   ⋖ ccvr 38596  Atomscatm 38597  AtLatcal 38598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-glb 18310  df-p0 18388  df-lat 18395  df-covers 38600  df-ats 38601  df-atl 38632

This theorem is referenced by:  pmap0  39100  trlnle  39521  cdlemg27b  40031