Theorem dfac7 10116

Description: Equivalence of the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 and our Axiom of Choice (in the form of ac2 10445). The proof does not depend on AC but does depend on the Axiom of Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac7	⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑧 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢))

Distinct variable group:   𝑥,𝑧,𝑦,𝑤,𝑣,𝑢

Proof of Theorem dfac7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac2 10115	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 ∈ 𝑧 ∃𝑣 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑣 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))
2		aceq2 10103	. . 3 ⊢ (∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑧 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 ∈ 𝑧 ∃𝑣 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑣 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))
3	2	albii 1846	. 2 ⊢ (∀𝑥∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑧 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑥∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 ∈ 𝑧 ∃𝑣 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑣 ∧ 𝑤 ∈ 𝑣)))
4	1, 3	bitr4i 281	1 ⊢ (CHOICE ↔ ∀𝑥∃𝑦∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑧 ∃!𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑢 ∈ 𝑦 (𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1565  ∃wex 1806   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  ∃!wreu 3374  ∅c0 4294  CHOICEwac 10099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-reg 9554

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-eprel 5562  df-fr 5615  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ac 10100

This theorem is referenced by:  dfac0  10117  dfac1  10118