Theorem dmxrnuncnvepres 39101

Description: Domain of the combined relation of two special relations, see blockadjliftmap 39167. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dmxrnuncnvepres	⊢ dom (((𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ ◡ E ) ↾ 𝐴) = (𝐴 ∖ {∅})

Proof of Theorem dmxrnuncnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmuncnvepres 39100	. 2 ⊢ dom (((𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ ◡ E ) ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ (dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ (V ∖ {∅})))
2		dmxrncnvep 39098	. . . . 5 ⊢ dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) = (dom 𝑅 ∖ {∅})
3	2	uneq1i 4118	. . . 4 ⊢ (dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ (V ∖ {∅})) = ((dom 𝑅 ∖ {∅}) ∪ (V ∖ {∅}))
4		difundir 4244	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑅 ∪ V) ∖ {∅}) = ((dom 𝑅 ∖ {∅}) ∪ (V ∖ {∅}))
5		unv 4356	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑅 ∪ V) = V
6	5	difeq1i 4077	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑅 ∪ V) ∖ {∅}) = (V ∖ {∅})
7	3, 4, 6	3eqtr2i 2794	. . 3 ⊢ (dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ (V ∖ {∅})) = (V ∖ {∅})
8	7	ineq2i 4170	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ (V ∖ {∅}))) = (𝐴 ∩ (V ∖ {∅}))
9		invdif 4232	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (V ∖ {∅})) = (𝐴 ∖ {∅})
10	1, 8, 9	3eqtri 2792	1 ⊢ dom (((𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ ◡ E ) ↾ 𝐴) = (𝐴 ∖ {∅})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  {csn 4591   E cep 5562  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663   ↾ cres 5665   ⋉ cxrn 38883

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-eprel 5563  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fo 6546  df-fv 6548  df-oprab 7423  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-xrn 39089

This theorem is used by:  blockadjliftmap  39167