Theorem dmxrnuncnvepres 38643

Description: Domain of the combined relation of two special relations, see blockadjliftmap 38709. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dmxrnuncnvepres	⊢ dom (((𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ ◡ E ) ↾ 𝐴) = (𝐴 ∖ {∅})

Proof of Theorem dmxrnuncnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmuncnvepres 38642	. 2 ⊢ dom (((𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ ◡ E ) ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ (dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ (V ∖ {∅})))
2		dmxrncnvep 38640	. . . . 5 ⊢ dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) = (dom 𝑅 ∖ {∅})
3	2	uneq1i 4118	. . . 4 ⊢ (dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ (V ∖ {∅})) = ((dom 𝑅 ∖ {∅}) ∪ (V ∖ {∅}))
4		difundir 4245	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑅 ∪ V) ∖ {∅}) = ((dom 𝑅 ∖ {∅}) ∪ (V ∖ {∅}))
5		unv 4353	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑅 ∪ V) = V
6	5	difeq1i 4076	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑅 ∪ V) ∖ {∅}) = (V ∖ {∅})
7	3, 4, 6	3eqtr2i 2766	. . 3 ⊢ (dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ (V ∖ {∅})) = (V ∖ {∅})
8	7	ineq2i 4171	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ (V ∖ {∅}))) = (𝐴 ∩ (V ∖ {∅}))
9		invdif 4233	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (V ∖ {∅})) = (𝐴 ∖ {∅})
10	1, 8, 9	3eqtri 2764	1 ⊢ dom (((𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ ◡ E ) ↾ 𝐴) = (𝐴 ∖ {∅})

Syntax hints:   = wceq 1542  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902  ∅c0 4287  {csn 4582   E cep 5531  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632   ↾ cres 5634   ⋉ cxrn 38425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-eprel 5532  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fo 6506  df-fv 6508  df-oprab 7372  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-xrn 38631

This theorem is referenced by:  blockadjliftmap  38709