Theorem dmxrnuncnvepres 38891

Description: Domain of the combined relation of two special relations, see blockadjliftmap 38957. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dmxrnuncnvepres	⊢ dom (((𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ ◡ E ) ↾ 𝐴) = (𝐴 ∖ {∅})

Proof of Theorem dmxrnuncnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmuncnvepres 38890	. 2 ⊢ dom (((𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ ◡ E ) ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ (dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ (V ∖ {∅})))
2		dmxrncnvep 38888	. . . . 5 ⊢ dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) = (dom 𝑅 ∖ {∅})
3	2	uneq1i 4117	. . . 4 ⊢ (dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ (V ∖ {∅})) = ((dom 𝑅 ∖ {∅}) ∪ (V ∖ {∅}))
4		difundir 4243	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑅 ∪ V) ∖ {∅}) = ((dom 𝑅 ∖ {∅}) ∪ (V ∖ {∅}))
5		unv 4353	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑅 ∪ V) = V
6	5	difeq1i 4076	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑅 ∪ V) ∖ {∅}) = (V ∖ {∅})
7	3, 4, 6	3eqtr2i 2791	. . 3 ⊢ (dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ (V ∖ {∅})) = (V ∖ {∅})
8	7	ineq2i 4169	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ (V ∖ {∅}))) = (𝐴 ∩ (V ∖ {∅}))
9		invdif 4231	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (V ∖ {∅})) = (𝐴 ∖ {∅})
10	1, 8, 9	3eqtri 2789	1 ⊢ dom (((𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ ◡ E ) ↾ 𝐴) = (𝐴 ∖ {∅})

Syntax hints:   = wceq 1560  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903  ∅c0 4285  {csn 4582   E cep 5546  ^◡ccnv 5646  dom cdm 5647   ↾ cres 5649   ⋉ cxrn 38673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-eprel 5547  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fo 6527  df-fv 6529  df-oprab 7400  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-xrn 38879

This theorem is referenced by:  blockadjliftmap  38957