Theorem dmxrnuncnvepres 39590

Description: Domain of the combined relation of two special relations, see blockadjliftmap 39656. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dmxrnuncnvepres	⊢ dom (((𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ ◡ E ) ↾ 𝐴) = (𝐴 ∖ {∅})

Proof of Theorem dmxrnuncnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmuncnvepres 39589	. 2 ⊢ dom (((𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ ◡ E ) ↾ 𝐴) = (𝐴 ∩ (dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ (V ∖ {∅})))
2		dmxrncnvep 39587	. . . . 5 ⊢ dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) = (dom 𝑅 ∖ {∅})
3	2	uneq1i 4166	. . . 4 ⊢ (dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ (V ∖ {∅})) = ((dom 𝑅 ∖ {∅}) ∪ (V ∖ {∅}))
4		difundir 4239	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑅 ∪ V) ∖ {∅}) = ((dom 𝑅 ∖ {∅}) ∪ (V ∖ {∅}))
5		unv 4352	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑅 ∪ V) = V
6	5	difeq1i 4062	. . . 4 ⊢ ((dom 𝑅 ∪ V) ∖ {∅}) = (V ∖ {∅})
7	3, 4, 6	3eqtr2i 2792	. . 3 ⊢ (dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ (V ∖ {∅})) = (V ∖ {∅})
8	7	ineq2i 4117	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (dom (𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ (V ∖ {∅}))) = (𝐴 ∩ (V ∖ {∅}))
9		invdif 4227	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (V ∖ {∅})) = (𝐴 ∖ {∅})
10	1, 8, 9	3eqtri 2790	1 ⊢ dom (((𝑅 ⋉ ◡ E ) ∪ ◡ E ) ↾ 𝐴) = (𝐴 ∖ {∅})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588   E cep 5557  ^◡ccnv 5657  dom cdm 5658   ↾ cres 5660   ⋉ cxrn 39372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-eprel 5558  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fo 6572  df-fv 6574  df-oprab 7455  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-xrn 39578

This theorem is used by:  blockadjliftmap  39656