Theorem dom0 9099

Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) Avoid ax-pow 5354, ax-un 7719. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dom0	⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 8951	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→∅)
2		f1f 6778	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→∅ → 𝑓:𝐴⟶∅)
3		f00 6764	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
4	3	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝐴 = ∅)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→∅ → 𝐴 = ∅)
6	5	exlimiv 1925	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 = ∅)
8		en0 9010	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
9		endom 8972	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ → 𝐴 ≼ ∅)
10	8, 9	sylbir 234	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ ∅)
11	7, 10	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533  ∃wex 1773  ∅c0 4315   class class class wbr 5139  ⟶wf 6530  –1-1→wf1 6531   ≈ cen 8933   ≼ cdom 8934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-br 5140  df-opab 5202  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-en 8937  df-dom 8938

This theorem is referenced by:  sdom0  9105  0sdom1dom  9235  fin1a2lem11  10402  cfpwsdom  10576