MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dom0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dom0 9126
Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) Avoid ax-pow 5365, ax-un 7740. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
dom0 (𝐴 β‰Ό βˆ… ↔ 𝐴 = βˆ…)

Proof of Theorem dom0
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 8978 . . 3 (𝐴 β‰Ό βˆ… β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐴–1-1β†’βˆ…)
2 f1f 6793 . . . . 5 (𝑓:𝐴–1-1β†’βˆ… β†’ 𝑓:π΄βŸΆβˆ…)
3 f00 6779 . . . . . 6 (𝑓:π΄βŸΆβˆ… ↔ (𝑓 = βˆ… ∧ 𝐴 = βˆ…))
43simprbi 496 . . . . 5 (𝑓:π΄βŸΆβˆ… β†’ 𝐴 = βˆ…)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝑓:𝐴–1-1β†’βˆ… β†’ 𝐴 = βˆ…)
65exlimiv 1926 . . 3 (βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐴–1-1β†’βˆ… β†’ 𝐴 = βˆ…)
71, 6syl 17 . 2 (𝐴 β‰Ό βˆ… β†’ 𝐴 = βˆ…)
8 en0 9037 . . 3 (𝐴 β‰ˆ βˆ… ↔ 𝐴 = βˆ…)
9 endom 8999 . . 3 (𝐴 β‰ˆ βˆ… β†’ 𝐴 β‰Ό βˆ…)
108, 9sylbir 234 . 2 (𝐴 = βˆ… β†’ 𝐴 β‰Ό βˆ…)
117, 10impbii 208 1 (𝐴 β‰Ό βˆ… ↔ 𝐴 = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1534  βˆƒwex 1774  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6544  β€“1-1β†’wf1 6545   β‰ˆ cen 8960   β‰Ό cdom 8961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-en 8964  df-dom 8965
This theorem is referenced by:  sdom0  9132  0sdom1dom  9262  fin1a2lem11  10433  cfpwsdom  10607
  Copyright terms: Public domain W3C validator