Theorem dom0 9103

Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) Avoid ax-pow 5341, ax-un 7745. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dom0	⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 8965	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→∅)
2		f1f 6781	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→∅ → 𝑓:𝐴⟶∅)
3		f00 6767	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
4	3	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝐴 = ∅)
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→∅ → 𝐴 = ∅)
6	5	exlimiv 1963	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 = ∅)
8		en0 9024	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
9		endom 8985	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ → 𝐴 ≼ ∅)
10	8, 9	sylbir 238	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ ∅)
11	7, 10	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  ∃wex 1812  ∅c0 4289   class class class wbr 5114  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2570  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5115  df-opab 5179  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-en 8953  df-dom 8954

This theorem is used by:  sdom0  9107  0sdom1dom  9216  fin1a2lem11  10412  cfpwsdom  10587