Theorem dom0 9025

Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) Avoid ax-pow 5305, ax-un 7674. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dom0	⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 8888	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→∅)
2		f1f 6724	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→∅ → 𝑓:𝐴⟶∅)
3		f00 6710	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
4	3	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝐴 = ∅)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→∅ → 𝐴 = ∅)
6	5	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 = ∅)
8		en0 8947	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
9		endom 8908	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ → 𝐴 ≼ ∅)
10	8, 9	sylbir 235	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ ∅)
11	7, 10	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541  ∃wex 1780  ∅c0 4282   class class class wbr 5093  ⟶wf 6482  –1-1→wf1 6483   ≈ cen 8872   ≼ cdom 8873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2537  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-en 8876  df-dom 8877

This theorem is referenced by:  sdom0  9029  0sdom1dom  9137  fin1a2lem11  10308  cfpwsdom  10482