Theorem dom0 9098

Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) Avoid ax-pow 5362, ax-un 7721. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dom0	⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 8950	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→∅)
2		f1f 6784	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→∅ → 𝑓:𝐴⟶∅)
3		f00 6770	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
4	3	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝐴 = ∅)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→∅ → 𝐴 = ∅)
6	5	exlimiv 1933	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 = ∅)
8		en0 9009	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
9		endom 8971	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ → 𝐴 ≼ ∅)
10	8, 9	sylbir 234	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ ∅)
11	7, 10	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1541  ∃wex 1781  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  ⟶wf 6536  –1-1→wf1 6537   ≈ cen 8932   ≼ cdom 8933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-en 8936  df-dom 8937

This theorem is referenced by:  sdom0  9104  0sdom1dom  9234  fin1a2lem11  10401  cfpwsdom  10575