Theorem dom0 9108

Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) Avoid ax-pow 5327, ax-un 7740. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dom0	⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 8970	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→∅)
2		f1f 6770	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→∅ → 𝑓:𝐴⟶∅)
3		f00 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
4	3	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝐴 = ∅)
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→∅ → 𝐴 = ∅)
6	5	exlimiv 1963	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 = ∅)
8		en0 9029	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
9		endom 8990	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ → 𝐴 ≼ ∅)
10	8, 9	sylbir 238	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ ∅)
11	7, 10	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  ∃wex 1812  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ⟶wf 6527  –1-1→wf1 6528   ≈ cen 8954   ≼ cdom 8955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-en 8958  df-dom 8959

This theorem is used by:  sdom0  9112  0sdom1dom  9221  fin1a2lem11  10469  cfpwsdom  10650