Theorem dom0 8841

Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dom0	⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8697	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex1i 5634	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ∈ V)
3		0domg 8840	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∅ ≼ 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → ∅ ≼ 𝐴)
5	4	pm4.71i 559	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ∅ ≼ 𝐴))
6		sbthb 8834	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ∅ ∧ ∅ ≼ 𝐴) ↔ 𝐴 ≈ ∅)
7		en0 8758	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
8	5, 6, 7	3bitri 296	1 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253   class class class wbr 5070   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693

This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  10097  cfpwsdom  10271