Theorem dom0 9155

Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) Avoid ax-pow 5332, ax-un 7778. (Revised by BTernaryTau, 29-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dom0	⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 9017	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → ∃𝑓 𝑓:𝐴⟶1-1∅)
2		f1f 6803	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1∅ → 𝑓:𝐴⟶∅)
3		f00 6789	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
4	3	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝐴 = ∅)
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶1-1∅ → 𝐴 = ∅)
6	5	exlimiv 1965	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴⟶1-1∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 = ∅)
8		en0 9076	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
9		endom 9037	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ → 𝐴 ≼ ∅)
10	8, 9	sylbir 238	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ ∅)
11	7, 10	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  ∃wex 1812  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ⟶wf 6557  ⟶1-1wf1 6558   ≈ cen 9001   ≼ cdom 9002

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5172  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-en 9005  df-dom 9006

This theorem is used by:  sdom0  9159  0sdom1dom  9268  fin1a2lem11  10518  cfpwsdom  10699