MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dom0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dom0 8295
Description: A set dominated by the empty set is empty. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
dom0 (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0
StepHypRef Expression
1 reldom 8166 . . . . 5 Rel ≼
21brrelex1i 5328 . . . 4 (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ∈ V)
3 0domg 8294 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ∅ ≼ 𝐴)
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴 ≼ ∅ → ∅ ≼ 𝐴)
54pm4.71i 555 . 2 (𝐴 ≼ ∅ ↔ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ∅ ≼ 𝐴))
6 sbthb 8288 . 2 ((𝐴 ≼ ∅ ∧ ∅ ≼ 𝐴) ↔ 𝐴 ≈ ∅)
7 en0 8223 . 2 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
85, 6, 73bitri 288 1 (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  c0 4079   class class class wbr 4809  cen 8157  cdom 8158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162
This theorem is referenced by:  pwcdadom  9291  fin1a2lem11  9485  cfpwsdom  9659
  Copyright terms: Public domain W3C validator