MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en0 8252
Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by NM, 27-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
en0 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem en0
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8198 . . 3 (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→∅)
2 f1ocnv 6362 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto→∅ → 𝑓:∅–1-1-onto𝐴)
3 f1o00 6384 . . . . . 6 (𝑓:∅–1-1-onto𝐴 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
43simprbi 486 . . . . 5 (𝑓:∅–1-1-onto𝐴𝐴 = ∅)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
65exlimiv 2023 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
71, 6sylbi 208 . 2 (𝐴 ≈ ∅ → 𝐴 = ∅)
8 0ex 4981 . . . 4 ∅ ∈ V
98enref 8222 . . 3 ∅ ≈ ∅
10 breq1 4843 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
119, 10mpbiri 249 . 2 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
127, 11impbii 200 1 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197   = wceq 1637  wex 1859  c0 4113   class class class wbr 4840  ccnv 5307  1-1-ontowf1o 6097  cen 8186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ral 3100  df-rex 3101  df-rab 3104  df-v 3392  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-op 4374  df-uni 4627  df-br 4841  df-opab 4903  df-id 5216  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-en 8190
This theorem is referenced by:  snfi  8274  dom0  8324  0sdomg  8325  nneneq  8379  snnen2o  8385  enp1i  8431  findcard  8435  findcard2  8436  fiint  8473  cantnff  8815  cantnf0  8816  cantnfp1lem2  8820  cantnflem1  8830  cantnf  8834  cnfcom2lem  8842  cardnueq0  9070  infmap2  9322  fin23lem26  9429  cardeq0  9656  hasheq0  13368  mreexexd  16509  pmtrfmvdn0  18079  pmtrsn  18136  rp-isfinite6  38361
  Copyright terms: Public domain W3C validator