Theorem en0 9056

Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by NM, 27-May-1998.) Avoid ax-pow 5370, ax-un 7753. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
en0	⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem en0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 8991	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ → (𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V))
2		breng 8992	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→∅))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→∅))
4	3	ibi 267	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→∅)
5		f1ocnv 6860	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→∅ → ◡𝑓:∅–1-1-onto→𝐴)
6		f1o00 6883	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
7	6	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→𝐴 → 𝐴 = ∅)
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
9	8	exlimiv 1927	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
10	4, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ → 𝐴 = ∅)
11		0ex 5312	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
12		f1oeq1 6836	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
13		f1o0 6885	. . . . 5 ⊢ ∅:∅–1-1-onto→∅
14	11, 12, 13	ceqsexv2d 3532	. . . 4 ⊢ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1-onto→∅
15		breng 8992	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (∅ ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1-onto→∅))
16	11, 11, 15	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1-onto→∅)
17	14, 16	mpbir 231	. . 3 ⊢ ∅ ≈ ∅
18		breq1 5150	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
19	17, 18	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
20	10, 19	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536  ∃wex 1775   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477  ∅c0 4338   class class class wbr 5147  ^◡ccnv 5687  –1-1-onto→wf1o 6561   ≈ cen 8980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-mo 2537  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-en 8984

This theorem is referenced by:  0fi  9080  snfiOLD  9082  enrefnn  9085  dom0  9140  dom0OLD  9141  0sdomgOLD  9143  sdom0  9146  findcard  9201  findcard2  9202  nneneq  9243  nneneqOLD  9255  snnen2oOLD  9261  enp1iOLD  9311  fiintOLD  9364  cantnff  9711  cantnf0  9712  cantnfp1lem2  9716  cantnflem1  9726  cantnf  9730  cnfcom2lem  9738  cardnueq0  10001  infmap2  10254  fin23lem26  10362  cardeq0  10589  hasheq0  14398  mreexexd  17692  pmtrfmvdn0  19494  pmtrsn  19551  rp-isfinite6  43507  ensucne0OLD  43519