Theorem en0 9045

Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by NM, 27-May-1998.) Avoid ax-pow 5326, ax-un 7751. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
en0	⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem en0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 8981	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ → (𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V))
2		breng 8982	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→∅))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→∅))
4	3	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→∅)
5		f1ocnv 6837	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→∅ → ◡𝑓:∅–1-1-onto→𝐴)
6		f1o00 6860	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
7	6	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→𝐴 → 𝐴 = ∅)
8	5, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
9	8	exlimiv 1962	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
10	4, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ → 𝐴 = ∅)
11		0ex 5260	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
12		f1oeq1 6812	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
13		f1o0 6862	. . . . 5 ⊢ ∅:∅–1-1-onto→∅
14	11, 12, 13	ceqsexv2d 3499	. . . 4 ⊢ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1-onto→∅
15		breng 8982	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (∅ ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1-onto→∅))
16	11, 11, 15	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (∅ ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1-onto→∅)
17	14, 16	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∅ ≈ ∅
18		breq1 5105	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
19	17, 18	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
20	10, 19	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649  –1-1-onto→wf1o 6537   ≈ cen 8970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-en 8974

This theorem is used by:  0fi  9070  enrefnn  9074  dom0  9124  sdom0  9128  findcard  9179  findcard2  9180  nneneq  9221  cantnff  9675  cantnf0  9676  cantnfp1lem2  9680  cantnflem1  9690  cantnf  9694  cnfcom2lem  9702  cardnueq0  10045  infmap2  10295  fin23lem26  10403  cardeq0  10636  hasheq0  14507  mreexexd  17822  pmtrfmvdn0  19676  pmtrsn  19733  kard0  35864  kard0b  35869  rp-isfinite6  44562  ensucne0OLD  44574