Theorem en0 8369

Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by NM, 27-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
en0	⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem en0

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 8315	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→∅)
2		f1ocnv 6456	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→∅ → ◡𝑓:∅–1-1-onto→𝐴)
3		f1o00 6478	. . . . . 6 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
4	3	simprbi 489	. . . . 5 ⊢ (◡𝑓:∅–1-1-onto→𝐴 → 𝐴 = ∅)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
6	5	exlimiv 1889	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 6	sylbi 209	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ → 𝐴 = ∅)
8		0ex 5068	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	enref 8339	. . 3 ⊢ ∅ ≈ ∅
10		breq1 4932	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
11	9, 10	mpbiri 250	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
12	7, 11	impbii 201	1 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 198   = wceq 1507  ∃wex 1742  ∅c0 4178   class class class wbr 4929  ^◡ccnv 5406  –1-1-onto→wf1o 6187   ≈ cen 8303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3417  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-en 8307

This theorem is referenced by:  snfi  8391  dom0  8441  0sdomg  8442  nneneq  8496  snnen2o  8502  enp1i  8548  findcard  8552  findcard2  8553  fiint  8590  cantnff  8931  cantnf0  8932  cantnfp1lem2  8936  cantnflem1  8946  cantnf  8950  cnfcom2lem  8958  cardnueq0  9187  infmap2  9438  fin23lem26  9545  cardeq0  9772  hasheq0  13539  mreexexd  16777  pmtrfmvdn0  18351  pmtrsn  18409  rp-isfinite6  39286