MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en0 9029
Description: The empty set is equinumerous only to itself. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 88. (Contributed by NM, 27-May-1998.) Avoid ax-pow 5359, ax-un 7734. (Revised by BTernaryTau, 23-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
en0 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem en0
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 encv 8963 . . . . 5 (𝐴 ≈ ∅ → (𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V))
2 breng 8964 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→∅))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐴 ≈ ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→∅))
43ibi 267 . . 3 (𝐴 ≈ ∅ → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→∅)
5 f1ocnv 6845 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto→∅ → 𝑓:∅–1-1-onto𝐴)
6 f1o00 6868 . . . . . 6 (𝑓:∅–1-1-onto𝐴 ↔ (𝑓 = ∅ ∧ 𝐴 = ∅))
76simprbi 496 . . . . 5 (𝑓:∅–1-1-onto𝐴𝐴 = ∅)
85, 7syl 17 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
98exlimiv 1926 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto→∅ → 𝐴 = ∅)
104, 9syl 17 . 2 (𝐴 ≈ ∅ → 𝐴 = ∅)
11 0ex 5301 . . . . 5 ∅ ∈ V
12 f1oeq1 6821 . . . . 5 (𝑓 = ∅ → (𝑓:∅–1-1-onto→∅ ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
13 f1o0 6870 . . . . 5 ∅:∅–1-1-onto→∅
1411, 12, 13ceqsexv2d 3524 . . . 4 𝑓 𝑓:∅–1-1-onto→∅
15 breng 8964 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (∅ ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1-onto→∅))
1611, 11, 15mp2an 691 . . . 4 (∅ ≈ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:∅–1-1-onto→∅)
1714, 16mpbir 230 . . 3 ∅ ≈ ∅
18 breq1 5145 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≈ ∅ ↔ ∅ ≈ ∅))
1917, 18mpbiri 258 . 2 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≈ ∅)
2010, 19impbii 208 1 (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  Vcvv 3469  c0 4318   class class class wbr 5142  ccnv 5671  1-1-ontowf1o 6541  cen 8952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-mo 2529  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-en 8956
This theorem is referenced by:  snfi  9060  enrefnn  9063  dom0  9118  dom0OLD  9119  0sdomgOLD  9121  sdom0  9124  findcard  9179  findcard2  9180  nneneq  9225  nneneqOLD  9237  snnen2oOLD  9243  enp1iOLD  9296  findcard2OLD  9300  fiint  9340  cantnff  9689  cantnf0  9690  cantnfp1lem2  9694  cantnflem1  9704  cantnf  9708  cnfcom2lem  9716  cardnueq0  9979  infmap2  10233  fin23lem26  10340  cardeq0  10567  hasheq0  14346  mreexexd  17619  pmtrfmvdn0  19408  pmtrsn  19465  rp-isfinite6  42871  ensucne0OLD  42883
  Copyright terms: Public domain W3C validator