Theorem dom0OLD 9099

Description: Obsolete version of dom0 9098 as of 29-Nov-2024. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dom0OLD	⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8941	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex1i 5730	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ∈ V)
3		0domg 9096	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∅ ≼ 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → ∅ ≼ 𝐴)
5	4	pm4.71i 560	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ∅ ≼ 𝐴))
6		sbthb 9090	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ∅ ∧ ∅ ≼ 𝐴) ↔ 𝐴 ≈ ∅)
7		en0 9009	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
8	5, 6, 7	3bitri 296	1 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ∅c0 4321   class class class wbr 5147   ≈ cen 8932   ≼ cdom 8933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937

This theorem is referenced by: (None)