Theorem dom0OLD 8890

Description: Obsolete version of dom0 8889 as of 29-Nov-2024. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dom0OLD	⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8739	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex1i 5643	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ∈ V)
3		0domg 8887	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∅ ≼ 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → ∅ ≼ 𝐴)
5	4	pm4.71i 560	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ∅ ≼ 𝐴))
6		sbthb 8881	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ∅ ∧ ∅ ≼ 𝐴) ↔ 𝐴 ≈ ∅)
7		en0 8803	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
8	5, 6, 7	3bitri 297	1 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ∅c0 4256   class class class wbr 5074   ≈ cen 8730   ≼ cdom 8731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735

This theorem is referenced by: (None)