Theorem dom0OLD 9134

Description: Obsolete version of dom0 9133 as of 29-Nov-2024. (Contributed by NM, 22-Nov-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dom0OLD	⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dom0OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8976	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex1i 5738	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → 𝐴 ∈ V)
3		0domg 9131	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∅ ≼ 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ → ∅ ≼ 𝐴)
5	4	pm4.71i 558	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ (𝐴 ≼ ∅ ∧ ∅ ≼ 𝐴))
6		sbthb 9125	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ∅ ∧ ∅ ≼ 𝐴) ↔ 𝐴 ≈ ∅)
7		en0 9044	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
8	5, 6, 7	3bitri 296	1 ⊢ (𝐴 ≼ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  ∅c0 4326   class class class wbr 5152   ≈ cen 8967   ≼ cdom 8968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972

This theorem is referenced by: (None)