Theorem ecxrn 38741

Description: The (𝑅 ⋉ 𝑆)-coset of 𝐴. (Contributed by Peter Mazsa, 18-Apr-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 21-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ecxrn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)})

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧

Proof of Theorem ecxrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elecxrn 38740	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ [𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)))
2		3anass 1095	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧) ↔ (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)))
3	2	2exbii 1851	. . . 4 ⊢ (∃𝑦∃𝑧(𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧) ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)))
4	1, 3	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ [𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧))))
5		elopab 5475	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)} ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)))
6	4, 5	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ [𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ 𝑥 ∈ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)}))
7	6	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  {copab 5148  [cec 8634   ⋉ cxrn 38509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fo 6498  df-fv 6500  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-ec 8638  df-xrn 38715

This theorem is referenced by:  relecxrn  38742  ecxrncnvep  38744  disjecxrn  38747  br1cosscnvxrn  38899