Theorem ecxrn 38503

Description: The (𝑅 ⋉ 𝑆)-coset of 𝐴. (Contributed by Peter Mazsa, 18-Apr-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 21-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ecxrn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)})

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧

Proof of Theorem ecxrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elecxrn 38502	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ [𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)))
2		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧) ↔ (𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)))
3	2	2exbii 1850	. . . 4 ⊢ (∃𝑦∃𝑧(𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ 𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧) ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)))
4	1, 3	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ [𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧))))
5		elopab 5472	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)} ↔ ∃𝑦∃𝑧(𝑥 = ⟨𝑦, 𝑧⟩ ∧ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)))
6	4, 5	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ [𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) ↔ 𝑥 ∈ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)}))
7	6	eqrdv 2731	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ 𝑆) = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴𝑆𝑧)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4583   class class class wbr 5095  {copab 5157  [cec 8629   ⋉ cxrn 38287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fo 6495  df-fv 6497  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-ec 8633  df-xrn 38477

This theorem is referenced by:  relecxrn  38504  ecxrncnvep  38506  disjecxrn  38509  br1cosscnvxrn  38649