Theorem ecxrncnvep 38594

Description: The (𝑅 ⋉ ^◡ E )-coset of a set. (Contributed by Peter Mazsa, 22-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ecxrncnvep	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑦)})

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧

Proof of Theorem ecxrncnvep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecxrn 38591	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴◡ E 𝑧)})
2		brcnvep 38463	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡ E 𝑧 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
3	2	anbi1cd 635	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴◡ E 𝑧) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑦)))
4	3	opabbidv 5164	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴◡ E 𝑧)} = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑦)})
5	1, 4	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑦)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  {copab 5160   E cep 5523  ^◡ccnv 5623  [cec 8633   ⋉ cxrn 38375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-eprel 5524  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fo 6498  df-fv 6500  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-ec 8637  df-xrn 38565

This theorem is referenced by: (None)