Theorem ecxrncnvep 38747

Description: The (𝑅 ⋉ ^◡ E )-coset of a set. (Contributed by Peter Mazsa, 22-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ecxrncnvep	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑦)})

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧

Proof of Theorem ecxrncnvep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecxrn 38744	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴◡ E 𝑧)})
2		brcnvep 38608	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡ E 𝑧 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
3	2	anbi1cd 636	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴◡ E 𝑧) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑦)))
4	3	opabbidv 5152	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴◡ E 𝑧)} = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑦)})
5	1, 4	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑦)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  {copab 5148   E cep 5524  ^◡ccnv 5624  [cec 8635   ⋉ cxrn 38512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-eprel 5525  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fo 6499  df-fv 6501  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-ec 8639  df-xrn 38718

This theorem is referenced by: (None)