Theorem ecxrncnvep 38861

Description: The (𝑅 ⋉ ^◡ E )-coset of a set. (Contributed by Peter Mazsa, 22-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ecxrncnvep	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑦)})

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧

Proof of Theorem ecxrncnvep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecxrn 38858	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴◡ E 𝑧)})
2		brcnvep 38722	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡ E 𝑧 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
3	2	anbi1cd 644	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴◡ E 𝑧) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑦)))
4	3	opabbidv 5165	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴◡ E 𝑧)} = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑦)})
5	1, 4	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑦)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  {copab 5161   E cep 5544  ^◡ccnv 5644  [cec 8669   ⋉ cxrn 38626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-eprel 5545  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-fo 6521  df-fv 6523  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-ec 8673  df-xrn 38832

This theorem is referenced by: (None)