Theorem ecxrncnvep 39478

Description: The (𝑅 ⋉ ^◡ E )-coset of a set. (Contributed by Peter Mazsa, 22-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ecxrncnvep	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑦)})

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝑉,𝑧

Proof of Theorem ecxrncnvep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecxrn 39475	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴◡ E 𝑧)})
2		brcnvep 39339	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴◡ E 𝑧 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
3	2	anbi1cd 647	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴◡ E 𝑧) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑦)))
4	3	opabbidv 5170	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝐴𝑅𝑦 ∧ 𝐴◡ E 𝑧)} = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑦)})
5	1, 4	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴𝑅𝑦)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  {copab 5166   E cep 5550  ^◡ccnv 5650  [cec 8723   ⋉ cxrn 39243

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-eprel 5551  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fo 6549  df-fv 6551  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-ec 8727  df-xrn 39449

This theorem is used by: (None)