Theorem ecxrncnvep2 38733

Description: The (𝑅 ⋉ ^◡ E )-coset of a set is the Cartesian product of its 𝑅-coset and the set. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ecxrncnvep2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = ([𝐴]𝑅 × 𝐴))

Proof of Theorem ecxrncnvep2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecxrn2 38731	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = ([𝐴]𝑅 × [𝐴]◡ E ))
2		eccnvep 38611	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴]◡ E = 𝐴)
3	2	xpeq2d 5662	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴]𝑅 × [𝐴]◡ E ) = ([𝐴]𝑅 × 𝐴))
4	1, 3	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = ([𝐴]𝑅 × 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   E cep 5531   × cxp 5630  ^◡ccnv 5631  [cec 8643   ⋉ cxrn 38497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5376  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5527  df-eprel 5532  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fo 6506  df-fv 6508  df-1st 7944  df-2nd 7945  df-ec 8647  df-xrn 38703

This theorem is referenced by:  blockadjliftmap  38781  dfblockliftmap2  38784