Theorem ecxrncnvep2 39608

Description: The (𝑅 ⋉ ^◡ E )-coset of a set is the Cartesian product of its 𝑅-coset and the set. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ecxrncnvep2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = ([𝐴]𝑅 × 𝐴))

Proof of Theorem ecxrncnvep2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecxrn2 39606	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = ([𝐴]𝑅 × [𝐴]◡ E ))
2		eccnvep 39486	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴]◡ E = 𝐴)
3	2	xpeq2d 5688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴]𝑅 × [𝐴]◡ E ) = ([𝐴]𝑅 × 𝐴))
4	1, 3	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = ([𝐴]𝑅 × 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   E cep 5557   × cxp 5656  ^◡ccnv 5657  [cec 8753   ⋉ cxrn 39372

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-eprel 5558  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fo 6572  df-fv 6574  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-ec 8757  df-xrn 39578

This theorem is used by:  blockadjliftmap  39656  dfblockliftmap2  39659