Theorem ecxrncnvep2 38595

Description: The (𝑅 ⋉ ^◡ E )-coset of a set is the Cartesian product of its 𝑅-coset and the set. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ecxrncnvep2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = ([𝐴]𝑅 × 𝐴))

Proof of Theorem ecxrncnvep2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecxrn2 38593	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = ([𝐴]𝑅 × [𝐴]◡ E ))
2		eccnvep 38481	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴]◡ E = 𝐴)
3	2	xpeq2d 5654	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴]𝑅 × [𝐴]◡ E ) = ([𝐴]𝑅 × 𝐴))
4	1, 3	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = ([𝐴]𝑅 × 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   E cep 5523   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623  [cec 8633   ⋉ cxrn 38375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-eprel 5524  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fo 6498  df-fv 6500  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-ec 8637  df-xrn 38565

This theorem is referenced by:  blockadjliftmap  38633  dfblockliftmap2  38635