Theorem ecxrncnvep2 39479

Description: The (𝑅 ⋉ ^◡ E )-coset of a set is the Cartesian product of its 𝑅-coset and the set. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ecxrncnvep2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = ([𝐴]𝑅 × 𝐴))

Proof of Theorem ecxrncnvep2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecxrn2 39477	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = ([𝐴]𝑅 × [𝐴]◡ E ))
2		eccnvep 39357	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴]◡ E = 𝐴)
3	2	xpeq2d 5681	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴]𝑅 × [𝐴]◡ E ) = ([𝐴]𝑅 × 𝐴))
4	1, 3	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → [𝐴](𝑅 ⋉ ◡ E ) = ([𝐴]𝑅 × 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   E cep 5550   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650  [cec 8723   ⋉ cxrn 39243

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-eprel 5551  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fo 6549  df-fv 6551  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-ec 8727  df-xrn 39449

This theorem is used by:  blockadjliftmap  39527  dfblockliftmap2  39530