Theorem eliccxrd 44240

Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccxrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliccxrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliccxrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
eliccxrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
eliccxrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliccxrd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccxrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccxrd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
2		eliccxrd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
3	1, 2	jca 513	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
4		eliccxrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliccxrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		eliccxrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		elicc4 13391	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
9	3, 8	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝ^*cxr 11247   ≤ cle 11249  [,]cicc 13327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-xr 11252  df-icc 13331

This theorem is referenced by:  inficc  44247  iccdificc  44252  sge0cl  45097  sge0p1  45130  sge0rpcpnf  45137  ovnsubaddlem1  45286  ovolval5lem1  45368