Theorem eliccxrd 45498

Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccxrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliccxrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliccxrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
eliccxrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
eliccxrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliccxrd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccxrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccxrd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
2		eliccxrd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
4		eliccxrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliccxrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		eliccxrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		elicc4 13387	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
9	3, 8	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5115  (class class class)co 7394  ℝ^*cxr 11225   ≤ cle 11227  [,]cicc 13322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-br 5116  df-opab 5178  df-id 5541  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fv 6527  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-xr 11230  df-icc 13326

This theorem is referenced by:  inficc  45505  iccdificc  45510  sge0cl  46352  sge0p1  46385  sge0rpcpnf  46392  ovnsubaddlem1  46541  ovolval5lem1  46623