Theorem eliccxrd 46678

Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccxrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliccxrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliccxrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
eliccxrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
eliccxrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliccxrd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccxrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccxrd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
2		eliccxrd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
3	1, 2	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
4		eliccxrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliccxrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		eliccxrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		elicc4 13554	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
9	3, 8	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5105  (class class class)co 7427  ℝ^*cxr 11352   ≤ cle 11354  [,]cicc 13489

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-xr 11357  df-icc 13493

This theorem is used by:  inficc  46685  iccdificc  46690  sge0cl  47530  sge0p1  47563  sge0rpcpnf  47570  ovnsubaddlem1  47719  ovolval5lem1  47801