Theorem eliccxrd 46358

Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccxrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliccxrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliccxrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
eliccxrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
eliccxrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliccxrd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccxrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccxrd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
2		eliccxrd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
3	1, 2	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
4		eliccxrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliccxrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		eliccxrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		elicc4 13467	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
9	3, 8	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℝ^*cxr 11267   ≤ cle 11269  [,]cicc 13402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-xr 11272  df-icc 13406

This theorem is used by:  inficc  46365  iccdificc  46370  sge0cl  47210  sge0p1  47243  sge0rpcpnf  47250  ovnsubaddlem1  47399  ovolval5lem1  47481