Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccxrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccxrd 44959
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliccxrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
eliccxrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
eliccxrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
eliccxrd.4 (𝜑𝐴𝐶)
eliccxrd.5 (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliccxrd (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccxrd
StepHypRef Expression
1 eliccxrd.4 . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
2 eliccxrd.5 . . 3 (𝜑𝐶𝐵)
31, 2jca 510 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐶𝐵))
4 eliccxrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 eliccxrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6 eliccxrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
7 elicc4 13433 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵)))
84, 5, 6, 7syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵)))
93, 8mpbird 256 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  *cxr 11287  cle 11289  [,]cicc 13369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-xr 11292  df-icc 13373
This theorem is referenced by:  inficc  44966  iccdificc  44971  sge0cl  45816  sge0p1  45849  sge0rpcpnf  45856  ovnsubaddlem1  46005  ovolval5lem1  46087
  Copyright terms: Public domain W3C validator