Theorem eliccxrd 45518

Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliccxrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
eliccxrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
eliccxrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
eliccxrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
eliccxrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eliccxrd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccxrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliccxrd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
2		eliccxrd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
4		eliccxrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		eliccxrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		eliccxrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		elicc4 13350	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
9	3, 8	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝ^*cxr 11183   ≤ cle 11185  [,]cicc 13285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-xr 11188  df-icc 13289

This theorem is referenced by:  inficc  45525  iccdificc  45530  sge0cl  46372  sge0p1  46405  sge0rpcpnf  46412  ovnsubaddlem1  46561  ovolval5lem1  46643