Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccxrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccxrd 41679
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliccxrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
eliccxrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
eliccxrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
eliccxrd.4 (𝜑𝐴𝐶)
eliccxrd.5 (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliccxrd (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccxrd
StepHypRef Expression
1 eliccxrd.4 . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
2 eliccxrd.5 . . 3 (𝜑𝐶𝐵)
31, 2jca 512 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐶𝐵))
4 eliccxrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 eliccxrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6 eliccxrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
7 elicc4 12791 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵)))
84, 5, 6, 7syl3anc 1363 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵)))
93, 8mpbird 258 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  *cxr 10662  cle 10664  [,]cicc 12729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-xr 10667  df-icc 12733
This theorem is referenced by:  inficc  41686  iccdificc  41691  sge0cl  42540  sge0p1  42573  sge0rpcpnf  42580  ovnsubaddlem1  42729  ovolval5lem1  42811
  Copyright terms: Public domain W3C validator