Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovolval5lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolval5lem1 41612
Description: |- ( ph -> ( sum^ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) ) ) ) <_ ( ( sum^ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol ( A [,) B ) ) ) ) +e W ) ) (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolval5lem1.a ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
ovolval5lem1.b ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
ovolval5lem1.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
ovolval5lem1.c 𝐶 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝐴 < 𝐵}
Assertion
Ref Expression
ovolval5lem1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)))) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒 𝑊))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑛,𝑊   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem ovolval5lem1
StepHypRef Expression
1 nfv 2010 . . 3 𝑛𝜑
2 nnex 11319 . . . 4 ℕ ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ∈ V)
4 volf 23637 . . . . 5 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
54a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
6 ioombl 23673 . . . . 5 ((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵) ∈ dom vol
76a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵) ∈ dom vol)
85, 7ffvelrnd 6586 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
91, 3, 8sge0xrclmpt 41388 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)))) ∈ ℝ*)
10 0xr 10375 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
12 pnfxr 10382 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1312a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
14 ovolval5lem1.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
15 ovolval5lem1.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 volicore 41541 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
1714, 15, 16syl2anc 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
18 ovolval5lem1.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
1918rpred 12117 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
2019adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℝ)
21 2nn 11386 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
23 nnnn0 11588 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
24 nnexpcl 13127 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
2522, 23, 24syl2anc 580 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
2625nnred 11329 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
2726adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
2825nnne0d 11363 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ≠ 0)
2928adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ≠ 0)
3020, 27, 29redivcld 11145 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
3117, 30readdcld 10358 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
3231rexrd 10378 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ*)
3315rexrd 10378 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
34 icombl 23672 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
3514, 33, 34syl2anc 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
36 volge0 40920 . . . . . 6 ((𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
3735, 36syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
3818adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℝ+)
3925nnrpd 12115 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
4039adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
4138, 40rpdivcld 12134 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
4241rpge0d 12121 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑊 / (2↑𝑛)))
4317, 30, 37, 42addge0d 10895 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
44 rexr 10374 . . . . . 6 (((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ*)
4512a1i 11 . . . . . 6 (((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
46 ltpnf 12201 . . . . . 6 (((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) < +∞)
4744, 45, 46xrltled 12230 . . . . 5 (((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ +∞)
4831, 47syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ +∞)
4911, 13, 32, 43, 48eliccxrd 40498 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
501, 3, 49sge0xrclmpt 41388 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))) ∈ ℝ*)
515, 35ffvelrnd 6586 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
521, 3, 51sge0xrclmpt 41388 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) ∈ ℝ*)
5319rexrd 10378 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ℝ*)
5452, 53xaddcld 12380 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒 𝑊) ∈ ℝ*)
5514, 30resubcld 10750 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
56 volioore 40950 . . . . . . . 8 (((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) = if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0))
5755, 15, 56syl2anc 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) = if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0))
5857adantr 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) = if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0))
59 iftrue 4283 . . . . . . 7 ((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵 → if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0) = (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))))
6059adantl 474 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0) = (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))))
6115recnd 10357 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6214recnd 10357 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6330recnd 10357 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℂ)
6461, 62, 63subsubd 10712 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))) = ((𝐵𝐴) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
6564adantr 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))) = ((𝐵𝐴) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
6658, 60, 653eqtrd 2837 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) = ((𝐵𝐴) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
6715, 14resubcld 10750 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
6814, 15sublevolico 40944 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
6967, 17, 30, 68leadd1dd 10933 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵𝐴) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
7069adantr 473 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → ((𝐵𝐴) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
7166, 70eqbrtrd 4865 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
7257adantr 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) = if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0))
73 iffalse 4286 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵 → if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0) = 0)
7473adantl 474 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0) = 0)
7572, 74eqtrd 2833 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) = 0)
7643adantr 473 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → 0 ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
7775, 76eqbrtrd 4865 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
7871, 77pm2.61dan 848 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
791, 3, 8, 49, 78sge0lempt 41370 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)))) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))))
8017, 30rexaddd 12314 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) +𝑒 (𝑊 / (2↑𝑛))) = ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
8180eqcomd 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) = ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) +𝑒 (𝑊 / (2↑𝑛))))
8281mpteq2dva 4937 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) +𝑒 (𝑊 / (2↑𝑛)))))
8382fveq2d 6415 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) +𝑒 (𝑊 / (2↑𝑛))))))
8430rexrd 10378 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
85 rexr 10374 . . . . . . . 8 ((𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ → (𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
8612a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
87 ltpnf 12201 . . . . . . . 8 ((𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ → (𝑊 / (2↑𝑛)) < +∞)
8885, 86, 87xrltled 12230 . . . . . . 7 ((𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ → (𝑊 / (2↑𝑛)) ≤ +∞)
8930, 88syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑊 / (2↑𝑛)) ≤ +∞)
9011, 13, 84, 42, 89eliccxrd 40498 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
911, 3, 51, 90sge0xadd 41395 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) +𝑒 (𝑊 / (2↑𝑛))))) = ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / (2↑𝑛))))))
9210a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
9312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
9418rpge0d 12121 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑊)
9519ltpnfd 12202 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 < +∞)
9692, 93, 53, 94, 95elicod 12473 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ (0[,)+∞))
9796sge0ad2en 41391 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / (2↑𝑛)))) = 𝑊)
9897oveq2d 6894 . . . 4 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / (2↑𝑛))))) = ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒 𝑊))
9983, 91, 983eqtrd 2837 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))) = ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒 𝑊))
10050, 99xreqled 40290 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒 𝑊))
1019, 50, 54, 79, 100xrletrd 12242 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)))) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  {crab 3093  Vcvv 3385  ifcif 4277   class class class wbr 4843  cmpt 4922  dom cdm 5312  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  cr 10223  0cc0 10224   + caddc 10227  +∞cpnf 10360  *cxr 10362   < clt 10363  cle 10364  cmin 10556   / cdiv 10976  cn 11312  2c2 11368  0cn0 11580  +crp 12074   +𝑒 cxad 12191  (,)cioo 12424  [,)cico 12426  [,]cicc 12427  cexp 13114  volcvol 23571  Σ^csumge0 41322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-rest 16398  df-topgen 16419  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-top 21027  df-topon 21044  df-bases 21079  df-cmp 21519  df-ovol 23572  df-vol 23573  df-sumge0 41323
This theorem is referenced by:  ovolval5lem2  41613
  Copyright terms: Public domain W3C validator