Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovolval5lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolval5lem1 43157
Description: (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛) ))(,)𝐵)))) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵) ))) +𝑒 𝑊)). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolval5lem1.a ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
ovolval5lem1.b ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
ovolval5lem1.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
ovolval5lem1.c 𝐶 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝐴 < 𝐵}
Assertion
Ref Expression
ovolval5lem1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)))) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒 𝑊))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑛,𝑊   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)

Proof of Theorem ovolval5lem1
StepHypRef Expression
1 nfv 1916 . . 3 𝑛𝜑
2 nnex 11638 . . . 4 ℕ ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℕ ∈ V)
4 volf 24131 . . . . 5 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
54a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
6 ioombl 24167 . . . . 5 ((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵) ∈ dom vol
76a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵) ∈ dom vol)
85, 7ffvelrnd 6841 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
91, 3, 8sge0xrclmpt 42933 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)))) ∈ ℝ*)
10 0xr 10682 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
12 pnfxr 10689 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1312a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
14 ovolval5lem1.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
15 ovolval5lem1.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 volicore 43086 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
1714, 15, 16syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ ℝ)
18 ovolval5lem1.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
1918rpred 12426 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
2019adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℝ)
21 2nn 11705 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
23 nnnn0 11899 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
24 nnexpcl 13445 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
2522, 23, 24syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
2625nnred 11647 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
2726adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
2825nnne0d 11682 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ≠ 0)
2928adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ≠ 0)
3020, 27, 29redivcld 11462 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
3117, 30readdcld 10664 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
3231rexrd 10685 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ*)
3315rexrd 10685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
34 icombl 24166 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
3514, 33, 34syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
36 volge0 42469 . . . . . 6 ((𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
3735, 36syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
3818adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℝ+)
3925nnrpd 12424 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
4039adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2↑𝑛) ∈ ℝ+)
4138, 40rpdivcld 12443 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ+)
4241rpge0d 12430 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑊 / (2↑𝑛)))
4317, 30, 37, 42addge0d 11210 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
44 rexr 10681 . . . . . 6 (((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ*)
4512a1i 11 . . . . . 6 (((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
46 ltpnf 12510 . . . . . 6 (((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) < +∞)
4744, 45, 46xrltled 12538 . . . . 5 (((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ +∞)
4831, 47syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ +∞)
4911, 13, 32, 43, 48eliccxrd 42030 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
501, 3, 49sge0xrclmpt 42933 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))) ∈ ℝ*)
515, 35ffvelrnd 6841 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
521, 3, 51sge0xrclmpt 42933 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) ∈ ℝ*)
5319rexrd 10685 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ℝ*)
5452, 53xaddcld 12689 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒 𝑊) ∈ ℝ*)
5514, 30resubcld 11062 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
56 volioore 42498 . . . . . . . 8 (((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) = if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0))
5755, 15, 56syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) = if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0))
5857adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) = if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0))
59 iftrue 4456 . . . . . . 7 ((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵 → if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0) = (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))))
6059adantl 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0) = (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))))
6115recnd 10663 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6214recnd 10663 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6330recnd 10663 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℂ)
6461, 62, 63subsubd 11019 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))) = ((𝐵𝐴) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
6564adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))) = ((𝐵𝐴) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
6658, 60, 653eqtrd 2863 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) = ((𝐵𝐴) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
6715, 14resubcld 11062 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
6814, 15sublevolico 42492 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵𝐴) ≤ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
6967, 17, 30, 68leadd1dd 11248 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵𝐴) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
7069adantr 484 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → ((𝐵𝐴) + (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
7166, 70eqbrtrd 5075 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
7257adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) = if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0))
73 iffalse 4459 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵 → if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0) = 0)
7473adantl 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → if((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵, (𝐵 − (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))), 0) = 0)
7572, 74eqtrd 2859 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) = 0)
7643adantr 484 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → 0 ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
7775, 76eqbrtrd 5075 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛))) ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
7871, 77pm2.61dan 812 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)) ≤ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
791, 3, 8, 49, 78sge0lempt 42915 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)))) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))))
8017, 30rexaddd 12622 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) +𝑒 (𝑊 / (2↑𝑛))) = ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))
8180eqcomd 2830 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))) = ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) +𝑒 (𝑊 / (2↑𝑛))))
8281mpteq2dva 5148 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) +𝑒 (𝑊 / (2↑𝑛)))))
8382fveq2d 6663 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) +𝑒 (𝑊 / (2↑𝑛))))))
8430rexrd 10685 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
85 rexr 10681 . . . . . . . 8 ((𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ → (𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
8612a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
87 ltpnf 12510 . . . . . . . 8 ((𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ → (𝑊 / (2↑𝑛)) < +∞)
8885, 86, 87xrltled 12538 . . . . . . 7 ((𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ → (𝑊 / (2↑𝑛)) ≤ +∞)
8930, 88syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑊 / (2↑𝑛)) ≤ +∞)
9011, 13, 84, 42, 89eliccxrd 42030 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑊 / (2↑𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
911, 3, 51, 90sge0xadd 42940 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) +𝑒 (𝑊 / (2↑𝑛))))) = ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / (2↑𝑛))))))
9210a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
9312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
9418rpge0d 12430 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑊)
9519ltpnfd 12511 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 < +∞)
9692, 93, 53, 94, 95elicod 12782 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ (0[,)+∞))
9796sge0ad2en 42936 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / (2↑𝑛)))) = 𝑊)
9897oveq2d 7162 . . . 4 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑊 / (2↑𝑛))))) = ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒 𝑊))
9983, 91, 983eqtrd 2863 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))) = ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒 𝑊))
10050, 99xreqled 41828 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((vol‘(𝐴[,)𝐵)) + (𝑊 / (2↑𝑛))))) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒 𝑊))
1019, 50, 54, 79, 100xrletrd 12550 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘((𝐴 − (𝑊 / (2↑𝑛)))(,)𝐵)))) ≤ ((Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (vol‘(𝐴[,)𝐵)))) +𝑒 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  {crab 3137  Vcvv 3480  ifcif 4450   class class class wbr 5053  cmpt 5133  dom cdm 5543  wf 6340  cfv 6344  (class class class)co 7146  cr 10530  0cc0 10531   + caddc 10534  +∞cpnf 10666  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864   / cdiv 11291  cn 11632  2c2 11687  0cn0 11892  +crp 12384   +𝑒 cxad 12500  (,)cioo 12733  [,)cico 12735  [,]cicc 12736  cexp 13432  volcvol 24065  Σ^csumge0 42867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-dju 9323  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-clim 14843  df-rlim 14844  df-sum 15041  df-rest 16694  df-topgen 16715  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-top 21497  df-topon 21514  df-bases 21549  df-cmp 21990  df-ovol 24066  df-vol 24067  df-sumge0 42868
This theorem is referenced by:  ovolval5lem2  43158
  Copyright terms: Public domain W3C validator