Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoub 44538
Description: A left-closed, right-open interval does not contain its upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
icoub (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem icoub
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 icossxr 13413 . . . . 5 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ*
3 id 22 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵))
42, 3sselid 3980 . . . 4 (𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
54adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 simpr 485 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵))
7 icoltub 44520 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 < 𝐵)
81, 5, 6, 7syl3anc 1371 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 < 𝐵)
9 xrltnr 13103 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 < 𝐵)
104, 9syl 17 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
1110adantl 482 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
128, 11pm2.65da 815 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴[,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  *cxr 11251   < clt 11252  [,)cico 13330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-ico 13334
This theorem is referenced by:  fge0npnf  45382
  Copyright terms: Public domain W3C validator