| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | sge0rpcpnf.a |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉) |
| 2 | 1 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉) |
| 3 | | 0xr 11308 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 0 ∈
ℝ* |
| 4 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ*) |
| 5 | | pnfxr 11315 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ +∞
∈ ℝ* |
| 6 | 5 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → +∞ ∈
ℝ*) |
| 7 | | sge0rpcpnf.b |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ+) |
| 8 | 7 | rpxrd 13078 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ*) |
| 9 | 7 | rpge0d 13081 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵) |
| 10 | 7 | rpred 13077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 11 | | ltpnf 13162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞) |
| 12 | 10, 11 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐵 < +∞) |
| 13 | 8, 6, 12 | xrltled 13192 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ +∞) |
| 14 | 4, 6, 8, 9, 13 | eliccxrd 45540 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) |
| 15 | 14 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) |
| 16 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) |
| 17 | 15, 16 | fmptd 7134 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞)) |
| 18 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞)) |
| 19 | 2, 18 | sge0xrcl 46400 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈
ℝ*) |
| 20 | 5 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) → +∞ ∈
ℝ*) |
| 21 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) |
| 22 | 19, 20, 21 | xrgtned 45333 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) → +∞ ≠
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) |
| 23 | 22 | necomd 2996 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≠ +∞) |
| 24 | 23 | neneqd 2945 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) → ¬
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) |
| 25 | 2, 18 | sge0repnf 46401 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) →
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ ↔ ¬
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞)) |
| 26 | 24, 25 | mpbird 257 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) |
| 27 | 10 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 28 | 7 | rpne0d 13082 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0) |
| 29 | 28 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) → 𝐵 ≠ 0) |
| 30 | 26, 27, 29 | redivcld 12095 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) →
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ) |
| 31 | | arch 12523 |
. . . . 5
⊢
(((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) |
| 32 | 30, 31 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) |
| 33 | | sge0rpcpnf.nfi |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ Fin) |
| 34 | | ishashinf 14502 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (¬
𝐴 ∈ Fin →
∀𝑛 ∈ ℕ
∃𝑦 ∈ 𝒫
𝐴(♯‘𝑦) = 𝑛) |
| 35 | 33, 34 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑦) = 𝑛) |
| 36 | 35 | r19.21bi 3251 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑦) = 𝑛) |
| 37 | | df-rex 3071 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑦 ∈
𝒫 𝐴(♯‘𝑦) = 𝑛 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) |
| 38 | 36, 37 | sylib 218 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) |
| 39 | 38 | adantlr 715 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) |
| 40 | 39 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) |
| 41 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑦((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) |
| 42 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴) |
| 43 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧
(♯‘𝑦) = 𝑛) → (♯‘𝑦) = 𝑛) |
| 44 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧
(♯‘𝑦) = 𝑛) → 𝑛 ∈ ℕ) |
| 45 | 43, 44 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧
(♯‘𝑦) = 𝑛) → (♯‘𝑦) ∈
ℕ) |
| 46 | | nnnn0 12533 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((♯‘𝑦)
∈ ℕ → (♯‘𝑦) ∈
ℕ0) |
| 47 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 𝑦 ∈ V |
| 48 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((♯‘𝑦)
∈ ℕ → 𝑦
∈ V) |
| 49 | | hashclb 14397 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ Fin ↔
(♯‘𝑦) ∈
ℕ0)) |
| 50 | 48, 49 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((♯‘𝑦)
∈ ℕ → (𝑦
∈ Fin ↔ (♯‘𝑦) ∈
ℕ0)) |
| 51 | 46, 50 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((♯‘𝑦)
∈ ℕ → 𝑦
∈ Fin) |
| 52 | 45, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧
(♯‘𝑦) = 𝑛) → 𝑦 ∈ Fin) |
| 53 | 52 | adantrl 716 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) → 𝑦 ∈ Fin) |
| 54 | 53 | 3ad2antl2 1187 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) → 𝑦 ∈ Fin) |
| 55 | 42, 54 | elind 4200 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) |
| 56 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) →
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) |
| 57 | 26 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ) |
| 58 | | nnre 12273 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈
ℝ) |
| 59 | 58 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → 𝑛 ∈ ℝ) |
| 60 | 7 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) → 𝐵 ∈
ℝ+) |
| 61 | 60 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → 𝐵 ∈
ℝ+) |
| 62 | 57, 59, 61 | ltdivmul2d 13129 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) →
(((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛 ↔
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (𝑛 · 𝐵))) |
| 63 | 56, 62 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (𝑛 · 𝐵)) |
| 64 | 63 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < (𝑛 · 𝐵)) |
| 65 | 53 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) → 𝑦 ∈ Fin) |
| 66 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 0 ∈
ℝ*) |
| 67 | 5 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → +∞ ∈
ℝ*) |
| 68 | 8 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
| 69 | 9 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 0 ≤ 𝐵) |
| 70 | 12 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 < +∞) |
| 71 | 66, 67, 68, 69, 70 | elicod 13437 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) |
| 72 | 65, 71 | sge0fsummpt 46405 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) = Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵) |
| 73 | 10 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 74 | 73 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 75 | | fsumconst 15826 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) |
| 76 | 65, 74, 75 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 𝐵 = ((♯‘𝑦) · 𝐵)) |
| 77 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((♯‘𝑦) =
𝑛 →
((♯‘𝑦) ·
𝐵) = (𝑛 · 𝐵)) |
| 78 | 77 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛) → ((♯‘𝑦) · 𝐵) = (𝑛 · 𝐵)) |
| 79 | 78 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) → ((♯‘𝑦) · 𝐵) = (𝑛 · 𝐵)) |
| 80 | 72, 76, 79 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) → (𝑛 · 𝐵) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))) |
| 81 | 80 | adantllr 719 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) → (𝑛 · 𝐵) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))) |
| 82 | 81 | 3adantl3 1169 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) → (𝑛 · 𝐵) =
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))) |
| 83 | 64, 82 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))) |
| 84 | 55, 83 | jca 511 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) ∧ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛)) → (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))) |
| 85 | 84 | ex 412 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛) → (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))))) |
| 86 | 41, 85 | eximd 2216 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑦) = 𝑛) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))))) |
| 87 | 40, 86 | mpd 15 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))) |
| 88 | | df-rex 3071 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑦 ∈
(𝒫 𝐴 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))) |
| 89 | 87, 88 | sylibr 234 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))) |
| 90 | 89 | 3exp 1120 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) → (𝑛 ∈ ℕ →
(((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))))) |
| 91 | 90 | rexlimdv 3153 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) / 𝐵) < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))) |
| 92 | 32, 91 | mpd 15 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))) |
| 93 | 1 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝑉) |
| 94 | 15 | adantlr 715 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) |
| 95 | | elpwinss 45054 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴) |
| 96 | 95 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝐴) |
| 97 | 93, 94, 96 | sge0lessmpt 46414 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) |
| 98 | | simpr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) |
| 99 | 14 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) |
| 100 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵) |
| 101 | 99, 100 | fmptd 7134 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵):𝑦⟶(0[,]+∞)) |
| 102 | 101 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵):𝑦⟶(0[,]+∞)) |
| 103 | 98, 102 | sge0xrcl 46400 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ∈
ℝ*) |
| 104 | 1, 17 | sge0xrcl 46400 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈
ℝ*) |
| 105 | 104 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈
ℝ*) |
| 106 | 103, 105 | xrlenltd 11327 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) →
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ≤
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ¬
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))) |
| 107 | 97, 106 | mpbid 232 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ¬
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))) |
| 108 | 107 | ralrimiva 3146 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ¬
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))) |
| 109 | | ralnex 3072 |
. . . . 5
⊢
(∀𝑦 ∈
(𝒫 𝐴 ∩ Fin)
¬ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))) |
| 110 | 108, 109 | sylib 218 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))) |
| 111 | 110 | adantr 480 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) → ¬ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) <
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))) |
| 112 | 92, 111 | pm2.65da 817 |
. 2
⊢ (𝜑 → ¬
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞) |
| 113 | | nltpnft 13206 |
. . 3
⊢
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* →
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ ↔ ¬
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞)) |
| 114 | 104, 113 | syl 17 |
. 2
⊢ (𝜑 →
((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞ ↔ ¬
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < +∞)) |
| 115 | 112, 114 | mpbird 257 |
1
⊢ (𝜑 →
(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = +∞) |