Theorem pnfel0pnf 45480

Description: +∞ is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pnfel0pnf	⊢ +∞ ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem pnfel0pnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11305	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		pnfxr 11312	. 2 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		0lepnf 13171	. 2 ⊢ 0 ≤ +∞
4		ubicc2 13501	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1460	1 ⊢ +∞ ∈ (0[,]+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  0cc0 11152  +∞cpnf 11289  ℝ^*cxr 11291   ≤ cle 11293  [,]cicc 13386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-addrcl 11213  ax-rnegex 11223  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-icc 13390

This theorem is referenced by:  sge0cl  46336