Theorem pnfel0pnf 41810

Description: +∞ is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pnfel0pnf	⊢ +∞ ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem pnfel0pnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 10691	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		pnfxr 10698	. 2 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		0lepnf 12530	. 2 ⊢ 0 ≤ +∞
4		ubicc2 12856	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1457	1 ⊢ +∞ ∈ (0[,]+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  0cc0 10540  +∞cpnf 10675  ℝ^*cxr 10677   ≤ cle 10679  [,]cicc 12744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-addrcl 10601  ax-rnegex 10611  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-icc 12748

This theorem is referenced by:  sge0cl  42670