Theorem pnfel0pnf 46359

Description: +∞ is a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pnfel0pnf	⊢ +∞ ∈ (0[,]+∞)

Proof of Theorem pnfel0pnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11281	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		pnfxr 11288	. 2 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		0lepnf 13185	. 2 ⊢ 0 ≤ +∞
4		ubicc2 13519	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1490	1 ⊢ +∞ ∈ (0[,]+∞)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  0cc0 11125  +∞cpnf 11265  ℝ^*cxr 11267   ≤ cle 11269  [,]cicc 13402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-addrcl 11186  ax-rnegex 11196  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-icc 13406

This theorem is used by:  sge0cl  47210