Theorem inficc 46233

Description: The infimum of a nonempty set, included in a closed interval, is a member of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
inficc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
inficc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
inficc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
inficc.n0	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
inficc	⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem inficc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inficc.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		inficc.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		inficc.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		iccssxr 13458	. . . . 5 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*)
6	3, 5	sstrd 3948	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ*)
7		infxrcl 13361	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℝ* → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10	2	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11	3	sselda 3938	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12		iccgelb 13430	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ≤ 𝑥)
14	13	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ≤ 𝑥)
15		infxrgelb 13363	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ≤ 𝑥))
16	6, 1, 15	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ≤ 𝑥))
17	14, 16	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ))
18		inficc.n0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
19		n0 4308	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
20	18, 19	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
21	8	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
22	4, 11	sselid 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ*)
23	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℝ*)
24		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
25		infxrlb 13362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
26	23, 24, 25	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
27		iccleub 13429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
28	9, 10, 11, 27	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≤ 𝐵)
29	21, 22, 10, 26, 28	xrletrd 13188	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
30	29	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵))
31	30	exlimdv 1963	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵))
32	20, 31	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
33	1, 2, 8, 17, 32	eliccxrd 46226	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  infcinf 9402  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  [,]cicc 13376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-icc 13380

This theorem is referenced by:  ovnf  47260