Theorem inficc 45696

Description: The infimum of a nonempty set, included in a closed interval, is a member of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
inficc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
inficc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
inficc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
inficc.n0	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
inficc	⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem inficc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inficc.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		inficc.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		inficc.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		iccssxr 13337	. . . . 5 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*)
6	3, 5	sstrd 3941	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ*)
7		infxrcl 13240	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℝ* → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11	3	sselda 3930	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12		iccgelb 13309	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ≤ 𝑥)
14	13	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ≤ 𝑥)
15		infxrgelb 13242	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ≤ 𝑥))
16	6, 1, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ≤ 𝑥))
17	14, 16	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ))
18		inficc.n0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
19		n0 4302	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
20	18, 19	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
21	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
22	4, 11	sselid 3928	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ*)
23	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℝ*)
24		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
25		infxrlb 13241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
26	23, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
27		iccleub 13308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
28	9, 10, 11, 27	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≤ 𝐵)
29	21, 22, 10, 26, 28	xrletrd 13067	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
30	29	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵))
31	30	exlimdv 1934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵))
32	20, 31	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
33	1, 2, 8, 17, 32	eliccxrd 45689	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  infcinf 9336  ℝ^*cxr 11156   < clt 11157   ≤ cle 11158  [,]cicc 13255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-icc 13259

This theorem is referenced by:  ovnf  46723