Theorem inficc 43072

Description: The infimum of a nonempty set, included in a closed interval, is a member of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
inficc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
inficc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
inficc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
inficc.n0	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
inficc	⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem inficc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inficc.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		inficc.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		inficc.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		iccssxr 13162	. . . . 5 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*)
6	3, 5	sstrd 3931	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ*)
7		infxrcl 13067	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℝ* → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11	3	sselda 3921	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12		iccgelb 13135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ≤ 𝑥)
14	13	ralrimiva 3103	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ≤ 𝑥)
15		infxrgelb 13069	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ≤ 𝑥))
16	6, 1, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ≤ 𝑥))
17	14, 16	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ))
18		inficc.n0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
19		n0 4280	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
20	18, 19	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
21	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
22	4, 11	sselid 3919	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ*)
23	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℝ*)
24		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
25		infxrlb 13068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
26	23, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
27		iccleub 13134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
28	9, 10, 11, 27	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≤ 𝐵)
29	21, 22, 10, 26, 28	xrletrd 12896	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
30	29	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵))
31	30	exlimdv 1936	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵))
32	20, 31	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
33	1, 2, 8, 17, 32	eliccxrd 43065	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  infcinf 9200  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  [,]cicc 13082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-icc 13086

This theorem is referenced by:  ovnf  44101