Theorem inficc 44757

Description: The infimum of a nonempty set, included in a closed interval, is a member of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
inficc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
inficc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
inficc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
inficc.n0	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
inficc	⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem inficc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inficc.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		inficc.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		inficc.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		iccssxr 13405	. . . . 5 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*)
6	3, 5	sstrd 3985	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ*)
7		infxrcl 13310	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℝ* → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11	3	sselda 3975	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12		iccgelb 13378	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ≤ 𝑥)
14	13	ralrimiva 3138	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ≤ 𝑥)
15		infxrgelb 13312	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ≤ 𝑥))
16	6, 1, 15	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ≤ 𝑥))
17	14, 16	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ))
18		inficc.n0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
19		n0 4339	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
20	18, 19	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
21	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
22	4, 11	sselid 3973	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ*)
23	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℝ*)
24		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
25		infxrlb 13311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
26	23, 24, 25	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
27		iccleub 13377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
28	9, 10, 11, 27	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≤ 𝐵)
29	21, 22, 10, 26, 28	xrletrd 13139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
30	29	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵))
31	30	exlimdv 1928	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵))
32	20, 31	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
33	1, 2, 8, 17, 32	eliccxrd 44750	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∀wral 3053   ⊆ wss 3941  ∅c0 4315   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  infcinf 9433  ℝ^*cxr 11245   < clt 11246   ≤ cle 11247  [,]cicc 13325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-icc 13329

This theorem is referenced by:  ovnf  45789