Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inficc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inficc 44921
Description: The infimum of a nonempty set, included in a closed interval, is a member of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
inficc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
inficc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
inficc.s (𝜑𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
inficc.n0 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
inficc (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem inficc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inficc.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 inficc.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3 inficc.s . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4 iccssxr 13445 . . . . 5 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*)
63, 5sstrd 3990 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ*)
7 infxrcl 13350 . . 3 (𝑆 ⊆ ℝ* → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
91adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ*)
102adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ*)
113sselda 3980 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12 iccgelb 13418 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
139, 10, 11, 12syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴𝑥)
1413ralrimiva 3142 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴𝑥)
15 infxrgelb 13352 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝑆 𝐴𝑥))
166, 1, 15syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝑆 𝐴𝑥))
1714, 16mpbird 256 . 2 (𝜑𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ))
18 inficc.n0 . . . 4 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
19 n0 4348 . . . 4 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
2018, 19sylib 217 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝑆)
218adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
224, 11sselid 3978 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ*)
236adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑆 ⊆ ℝ*)
24 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
25 infxrlb 13351 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ℝ*𝑥𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
2623, 24, 25syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
27 iccleub 13417 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
289, 10, 11, 27syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
2921, 22, 10, 26, 28xrletrd 13179 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
3029ex 411 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑆 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵))
3130exlimdv 1928 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 𝑥𝑆 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵))
3220, 31mpd 15 . 2 (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
331, 2, 8, 17, 32eliccxrd 44914 1 (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wex 1773  wcel 2098  wne 2936  wral 3057  wss 3947  c0 4324   class class class wbr 5150  (class class class)co 7424  infcinf 9470  *cxr 11283   < clt 11284  cle 11285  [,]cicc 13365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-icc 13369
This theorem is referenced by:  ovnf  45953
  Copyright terms: Public domain W3C validator