Theorem inficc 42688

Description: The infimum of a nonempty set, included in a closed interval, is a member of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
inficc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
inficc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
inficc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
inficc.n0	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
inficc	⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem inficc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inficc.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		inficc.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		inficc.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4		iccssxr 12983	. . . . 5 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*)
6	3, 5	sstrd 3897	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ*)
7		infxrcl 12888	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ℝ* → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10	2	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11	3	sselda 3887	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12		iccgelb 12956	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ≤ 𝑥)
14	13	ralrimiva 3095	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ≤ 𝑥)
15		infxrgelb 12890	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ≤ 𝑥))
16	6, 1, 15	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐴 ≤ 𝑥))
17	14, 16	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ))
18		inficc.n0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
19		n0 4247	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
20	18, 19	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
21	8	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
22	4, 11	sseldi 3885	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ*)
23	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℝ*)
24		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
25		infxrlb 12889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
26	23, 24, 25	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
27		iccleub 12955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
28	9, 10, 11, 27	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ≤ 𝐵)
29	21, 22, 10, 26, 28	xrletrd 12717	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
30	29	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵))
31	30	exlimdv 1941	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵))
32	20, 31	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
33	1, 2, 8, 17, 32	eliccxrd 42681	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∃wex 1787   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ⊆ wss 3853  ∅c0 4223   class class class wbr 5039  (class class class)co 7191  infcinf 9035  ℝ^*cxr 10831   < clt 10832   ≤ cle 10833  [,]cicc 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-sup 9036  df-inf 9037  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-icc 12907

This theorem is referenced by:  ovnf  43719