Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inficc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inficc 43779
Description: The infimum of a nonempty set, included in a closed interval, is a member of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
inficc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
inficc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
inficc.s (𝜑𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
inficc.n0 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
inficc (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem inficc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inficc.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 inficc.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3 inficc.s . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4 iccssxr 13348 . . . . 5 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*)
63, 5sstrd 3955 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ*)
7 infxrcl 13253 . . 3 (𝑆 ⊆ ℝ* → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
91adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ*)
102adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ*)
113sselda 3945 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12 iccgelb 13321 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
139, 10, 11, 12syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴𝑥)
1413ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴𝑥)
15 infxrgelb 13255 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝑆 𝐴𝑥))
166, 1, 15syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝑆 𝐴𝑥))
1714, 16mpbird 257 . 2 (𝜑𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ))
18 inficc.n0 . . . 4 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
19 n0 4307 . . . 4 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
2018, 19sylib 217 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝑆)
218adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
224, 11sselid 3943 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ*)
236adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑆 ⊆ ℝ*)
24 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
25 infxrlb 13254 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ℝ*𝑥𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
2623, 24, 25syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
27 iccleub 13320 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
289, 10, 11, 27syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
2921, 22, 10, 26, 28xrletrd 13082 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
3029ex 414 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑆 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵))
3130exlimdv 1937 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 𝑥𝑆 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵))
3220, 31mpd 15 . 2 (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
331, 2, 8, 17, 32eliccxrd 43772 1 (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wex 1782  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  wss 3911  c0 4283   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  infcinf 9378  *cxr 11189   < clt 11190  cle 11191  [,]cicc 13268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-icc 13272
This theorem is referenced by:  ovnf  44811
  Copyright terms: Public domain W3C validator