Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccdificc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccdificc 43784
Description: The difference of two closed intervals with the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iccdificc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
iccdificc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
iccdificc.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
iccdificc.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
iccdificc (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐵(,]𝐶))

Proof of Theorem iccdificc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccdificc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
21adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 iccdificc.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
43adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5 iccssxr 13348 . . . . . . 7 (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ*
6 eldifi 4087 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
75, 6sselid 3943 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
87adantl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9 iccdificc.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
109ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
112adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
128adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
139adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
146adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
15 iccgelb 13321 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐴𝑥)
1613, 4, 14, 15syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴𝑥)
1716adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐴𝑥)
18 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝐵 < 𝑥)
198, 2xrlenltd 11222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
2019adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → (𝑥𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
2118, 20mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥𝐵)
2210, 11, 12, 17, 21eliccxrd 43772 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23 eldifn 4088 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2423ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2522, 24condan 817 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 < 𝑥)
26 iccleub 13320 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
2713, 4, 14, 26syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥𝐶)
282, 4, 8, 25, 27eliocd 43752 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
2928ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
30 dfss3 3933 . . 3 (((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐵(,]𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
3129, 30sylibr 233 . 2 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐵(,]𝐶))
329adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
333adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
34 iocssxr 13349 . . . . . 6 (𝐵(,]𝐶) ⊆ ℝ*
35 id 22 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
3634, 35sselid 3943 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3736adantl 483 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
381adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
39 iccdificc.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
4039adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴𝐵)
41 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
42 iocgtlb 43747 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
4338, 33, 41, 42syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
4432, 38, 37, 40, 43xrlelttrd 13080 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 < 𝑥)
4532, 37, 44xrltled 13070 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴𝑥)
46 iocleub 43748 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
4738, 33, 41, 46syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
4832, 33, 37, 45, 47eliccxrd 43772 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
4932, 38, 37, 43xrgtnelicc 43783 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5048, 49eldifd 3922 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)))
5131, 50eqelssd 3966 1 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐵(,]𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  cdif 3908  wss 3911   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  *cxr 11189   < clt 11190  cle 11191  (,]cioc 13266  [,]cicc 13268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-ioc 13270  df-icc 13272
This theorem is referenced by:  salexct2  44587
  Copyright terms: Public domain W3C validator