Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccdificc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccdificc 44242
Description: The difference of two closed intervals with the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iccdificc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
iccdificc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
iccdificc.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
iccdificc.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
iccdificc (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐵(,]𝐶))

Proof of Theorem iccdificc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccdificc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 iccdificc.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
43adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5 iccssxr 13406 . . . . . . 7 (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ*
6 eldifi 4126 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
75, 6sselid 3980 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
87adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9 iccdificc.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
109ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
112adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
128adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
139adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
146adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
15 iccgelb 13379 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐴𝑥)
1613, 4, 14, 15syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴𝑥)
1716adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐴𝑥)
18 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝐵 < 𝑥)
198, 2xrlenltd 11279 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
2019adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → (𝑥𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
2118, 20mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥𝐵)
2210, 11, 12, 17, 21eliccxrd 44230 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23 eldifn 4127 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2423ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2522, 24condan 816 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 < 𝑥)
26 iccleub 13378 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
2713, 4, 14, 26syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥𝐶)
282, 4, 8, 25, 27eliocd 44210 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
2928ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
30 dfss3 3970 . . 3 (((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐵(,]𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
3129, 30sylibr 233 . 2 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐵(,]𝐶))
329adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
333adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
34 iocssxr 13407 . . . . . 6 (𝐵(,]𝐶) ⊆ ℝ*
35 id 22 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
3634, 35sselid 3980 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3736adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
381adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
39 iccdificc.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
4039adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴𝐵)
41 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
42 iocgtlb 44205 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
4338, 33, 41, 42syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
4432, 38, 37, 40, 43xrlelttrd 13138 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 < 𝑥)
4532, 37, 44xrltled 13128 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴𝑥)
46 iocleub 44206 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
4738, 33, 41, 46syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
4832, 33, 37, 45, 47eliccxrd 44230 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
4932, 38, 37, 43xrgtnelicc 44241 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5048, 49eldifd 3959 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)))
5131, 50eqelssd 4003 1 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐵(,]𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  cdif 3945  wss 3948   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  *cxr 11246   < clt 11247  cle 11248  (,]cioc 13324  [,]cicc 13326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-ioc 13328  df-icc 13330
This theorem is referenced by:  salexct2  45045
  Copyright terms: Public domain W3C validator