Theorem iccdificc 45664

Description: The difference of two closed intervals with the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccdificc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iccdificc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
iccdificc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
iccdificc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iccdificc	⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐵(,]𝐶))

Proof of Theorem iccdificc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccdificc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		iccdificc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5		iccssxr 13332	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ*
6		eldifi 4080	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
7	5, 6	sselid 3928	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9		iccdificc.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
14	6	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
15		iccgelb 13304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
16	13, 4, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑥)
18		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝐵 < 𝑥)
19	8, 2	xrlenltd 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
21	18, 20	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝐵)
22	10, 11, 12, 17, 21	eliccxrd 45652	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23		eldifn 4081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	23	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	22, 24	condan 817	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 < 𝑥)
26		iccleub 13303	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
27	13, 4, 14, 26	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ≤ 𝐶)
28	2, 4, 8, 25, 27	eliocd 45632	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
29	28	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
30		dfss3 3919	. . 3 ⊢ (((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐵(,]𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
31	29, 30	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐵(,]𝐶))
32	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
34		iocssxr 13333	. . . . . 6 ⊢ (𝐵(,]𝐶) ⊆ ℝ*
35		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
36	34, 35	sselid 3928	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ*)
37	36	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
38	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
39		iccdificc.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
40	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
41		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
42		iocgtlb 45627	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
43	38, 33, 41, 42	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
44	32, 38, 37, 40, 43	xrlelttrd 13061	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 < 𝑥)
45	32, 37, 44	xrltled 13051	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
46		iocleub 45628	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
47	38, 33, 41, 46	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
48	32, 33, 37, 45, 47	eliccxrd 45652	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
49	32, 38, 37, 43	xrgtnelicc 45663	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
50	48, 49	eldifd 3909	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)))
51	31, 50	eqelssd 3952	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐵(,]𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153   ≤ cle 11154  (,]cioc 13248  [,]cicc 13250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-ioc 13252  df-icc 13254

This theorem is referenced by:  salexct2  46462