Theorem iccdificc 44331

Description: The difference of two closed intervals with the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccdificc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iccdificc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
iccdificc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
iccdificc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iccdificc	⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐵(,]𝐶))

Proof of Theorem iccdificc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccdificc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		iccdificc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
4	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5		iccssxr 13409	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ*
6		eldifi 4126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
7	5, 6	sselid 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8	7	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9		iccdificc.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
10	9	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	8	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13	9	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
14	6	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
15		iccgelb 13382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
16	13, 4, 14, 15	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑥)
18		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝐵 < 𝑥)
19	8, 2	xrlenltd 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
20	19	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
21	18, 20	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝐵)
22	10, 11, 12, 17, 21	eliccxrd 44319	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23		eldifn 4127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	23	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	22, 24	condan 816	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 < 𝑥)
26		iccleub 13381	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
27	13, 4, 14, 26	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ≤ 𝐶)
28	2, 4, 8, 25, 27	eliocd 44299	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
29	28	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
30		dfss3 3970	. . 3 ⊢ (((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐵(,]𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
31	29, 30	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐵(,]𝐶))
32	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
34		iocssxr 13410	. . . . . 6 ⊢ (𝐵(,]𝐶) ⊆ ℝ*
35		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
36	34, 35	sselid 3980	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ*)
37	36	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
38	1	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
39		iccdificc.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
40	39	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
41		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
42		iocgtlb 44294	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
43	38, 33, 41, 42	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
44	32, 38, 37, 40, 43	xrlelttrd 13141	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 < 𝑥)
45	32, 37, 44	xrltled 13131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
46		iocleub 44295	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
47	38, 33, 41, 46	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
48	32, 33, 37, 45, 47	eliccxrd 44319	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
49	32, 38, 37, 43	xrgtnelicc 44330	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
50	48, 49	eldifd 3959	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)))
51	31, 50	eqelssd 4003	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐵(,]𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℝ^*cxr 11249   < clt 11250   ≤ cle 11251  (,]cioc 13327  [,]cicc 13329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-ioc 13331  df-icc 13333

This theorem is referenced by:  salexct2  45134