Theorem iccdificc 42752

Description: The difference of two closed intervals with the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccdificc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iccdificc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
iccdificc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
iccdificc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iccdificc	⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐵(,]𝐶))

Proof of Theorem iccdificc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccdificc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
2	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		iccdificc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
4	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5		iccssxr 13018	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ*
6		eldifi 4041	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
7	5, 6	sseldi 3899	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8	7	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9		iccdificc.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	8	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13	9	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
14	6	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
15		iccgelb 12991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
16	13, 4, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
17	16	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑥)
18		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝐵 < 𝑥)
19	8, 2	xrlenltd 10899	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
20	19	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
21	18, 20	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝐵)
22	10, 11, 12, 17, 21	eliccxrd 42740	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23		eldifn 4042	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	23	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	22, 24	condan 818	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 < 𝑥)
26		iccleub 12990	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
27	13, 4, 14, 26	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ≤ 𝐶)
28	2, 4, 8, 25, 27	eliocd 42720	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
29	28	ralrimiva 3105	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
30		dfss3 3888	. . 3 ⊢ (((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐵(,]𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
31	29, 30	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐵(,]𝐶))
32	9	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
34		iocssxr 13019	. . . . . 6 ⊢ (𝐵(,]𝐶) ⊆ ℝ*
35		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
36	34, 35	sseldi 3899	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ*)
37	36	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
38	1	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
39		iccdificc.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
40	39	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
41		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
42		iocgtlb 42715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
43	38, 33, 41, 42	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
44	32, 38, 37, 40, 43	xrlelttrd 12750	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 < 𝑥)
45	32, 37, 44	xrltled 12740	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
46		iocleub 42716	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
47	38, 33, 41, 46	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
48	32, 33, 37, 45, 47	eliccxrd 42740	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
49	32, 38, 37, 43	xrgtnelicc 42751	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
50	48, 49	eldifd 3877	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)))
51	31, 50	eqelssd 3922	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐵(,]𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061   ∖ cdif 3863   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867   ≤ cle 10868  (,]cioc 12936  [,]cicc 12938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-ioc 12940  df-icc 12942

This theorem is referenced by:  salexct2  43553