Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccdificc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccdificc 42219
 Description: The difference of two closed intervals with the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iccdificc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
iccdificc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
iccdificc.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
iccdificc.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
iccdificc (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐵(,]𝐶))

Proof of Theorem iccdificc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccdificc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
21adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 iccdificc.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
43adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5 iccssxr 12811 . . . . . . 7 (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ*
6 eldifi 4054 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
75, 6sseldi 3913 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
87adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9 iccdificc.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
109ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
112adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
128adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
139adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
146adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
15 iccgelb 12784 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐴𝑥)
1613, 4, 14, 15syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴𝑥)
1716adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐴𝑥)
18 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝐵 < 𝑥)
198, 2xrlenltd 10699 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
2019adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → (𝑥𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
2118, 20mpbird 260 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥𝐵)
2210, 11, 12, 17, 21eliccxrd 42207 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23 eldifn 4055 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2423ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2522, 24condan 817 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 < 𝑥)
26 iccleub 12783 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
2713, 4, 14, 26syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥𝐶)
282, 4, 8, 25, 27eliocd 42187 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
2928ralrimiva 3149 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
30 dfss3 3903 . . 3 (((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐵(,]𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
3129, 30sylibr 237 . 2 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐵(,]𝐶))
329adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
333adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
34 iocssxr 12812 . . . . . 6 (𝐵(,]𝐶) ⊆ ℝ*
35 id 22 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
3634, 35sseldi 3913 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3736adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
381adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
39 iccdificc.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
4039adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴𝐵)
41 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
42 iocgtlb 42182 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
4338, 33, 41, 42syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
4432, 38, 37, 40, 43xrlelttrd 12544 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 < 𝑥)
4532, 37, 44xrltled 12534 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴𝑥)
46 iocleub 42183 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
4738, 33, 41, 46syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
4832, 33, 37, 45, 47eliccxrd 42207 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
4932, 38, 37, 43xrgtnelicc 42218 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5048, 49eldifd 3892 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)))
5131, 50eqelssd 3936 1 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐵(,]𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5031  (class class class)co 7136  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668  (,]cioc 12730  [,]cicc 12732 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-po 5439  df-so 5440  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-ioc 12734  df-icc 12736 This theorem is referenced by:  salexct2  43022
 Copyright terms: Public domain W3C validator