Theorem iccdificc 45557

Description: The difference of two closed intervals with the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccdificc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iccdificc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
iccdificc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
iccdificc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iccdificc	⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐵(,]𝐶))

Proof of Theorem iccdificc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccdificc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		iccdificc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5		iccssxr 13471	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ*
6		eldifi 4130	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
7	5, 6	sselid 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9		iccdificc.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
10	9	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
14	6	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
15		iccgelb 13444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
16	13, 4, 14, 15	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑥)
18		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝐵 < 𝑥)
19	8, 2	xrlenltd 11328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
21	18, 20	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝐵)
22	10, 11, 12, 17, 21	eliccxrd 45545	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23		eldifn 4131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	23	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	22, 24	condan 817	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 < 𝑥)
26		iccleub 13443	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
27	13, 4, 14, 26	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ≤ 𝐶)
28	2, 4, 8, 25, 27	eliocd 45525	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
29	28	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
30		dfss3 3971	. . 3 ⊢ (((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐵(,]𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
31	29, 30	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐵(,]𝐶))
32	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
34		iocssxr 13472	. . . . . 6 ⊢ (𝐵(,]𝐶) ⊆ ℝ*
35		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
36	34, 35	sselid 3980	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ*)
37	36	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
38	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
39		iccdificc.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
40	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
41		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
42		iocgtlb 45520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
43	38, 33, 41, 42	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
44	32, 38, 37, 40, 43	xrlelttrd 13203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 < 𝑥)
45	32, 37, 44	xrltled 13193	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
46		iocleub 45521	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
47	38, 33, 41, 46	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
48	32, 33, 37, 45, 47	eliccxrd 45545	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
49	32, 38, 37, 43	xrgtnelicc 45556	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
50	48, 49	eldifd 3961	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)))
51	31, 50	eqelssd 4004	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐵(,]𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℝ^*cxr 11295   < clt 11296   ≤ cle 11297  (,]cioc 13389  [,]cicc 13391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-ioc 13393  df-icc 13395

This theorem is referenced by:  salexct2  46359