Theorem iccdificc 45457

Description: The difference of two closed intervals with the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccdificc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
iccdificc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
iccdificc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
iccdificc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
iccdificc	⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐵(,]𝐶))

Proof of Theorem iccdificc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccdificc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		iccdificc.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5		iccssxr 13490	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ*
6		eldifi 4154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
7	5, 6	sselid 4006	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9		iccdificc.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
10	9	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
14	6	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
15		iccgelb 13463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
16	13, 4, 14, 15	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ≤ 𝑥)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐴 ≤ 𝑥)
18		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝐵 < 𝑥)
19	8, 2	xrlenltd 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → (𝑥 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
21	18, 20	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ≤ 𝐵)
22	10, 11, 12, 17, 21	eliccxrd 45445	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23		eldifn 4155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	23	ad2antlr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	22, 24	condan 817	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 < 𝑥)
26		iccleub 13462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
27	13, 4, 14, 26	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ≤ 𝐶)
28	2, 4, 8, 25, 27	eliocd 45425	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
29	28	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
30		dfss3 3997	. . 3 ⊢ (((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐵(,]𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
31	29, 30	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐵(,]𝐶))
32	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
34		iocssxr 13491	. . . . . 6 ⊢ (𝐵(,]𝐶) ⊆ ℝ*
35		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
36	34, 35	sselid 4006	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ*)
37	36	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
38	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
39		iccdificc.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
40	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
41		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
42		iocgtlb 45420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
43	38, 33, 41, 42	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
44	32, 38, 37, 40, 43	xrlelttrd 13222	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 < 𝑥)
45	32, 37, 44	xrltled 13212	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
46		iocleub 45421	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
47	38, 33, 41, 46	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
48	32, 33, 37, 45, 47	eliccxrd 45445	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
49	32, 38, 37, 43	xrgtnelicc 45456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
50	48, 49	eldifd 3987	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)))
51	31, 50	eqelssd 4030	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐵(,]𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  (,]cioc 13408  [,]cicc 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ioc 13412  df-icc 13414

This theorem is referenced by:  salexct2  46260