Theorem sge0p1 43053

Description: The addition of the next term in a finite sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0p1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
sge0p1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
sge0p1.3	⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sge0p1	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sge0p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0p1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fzsuc 12949	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
4	3	mpteq1d 5119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴))
5	4	fveq2d 6649	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴)))
6		nfv 1915	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		ovex 7168	. . . 4 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ V)
9		snex 5297	. . . 4 ⊢ {(𝑁 + 1)} ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑁 + 1)} ∈ V)
11		fzp1disj 12961	. . . 4 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
13		0xr 10677	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ∈ ℝ*)
15		pnfxr 10684	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → +∞ ∈ ℝ*)
17		iccssxr 12808	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝜑)
19		fzelp1 12954	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
20	19	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
21		sge0p1.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
22	18, 20, 21	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
23	17, 22	sseldi 3913	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24		iccgelb 12781	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
25	14, 16, 22, 24	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ 𝐴)
26		iccleub 12780	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ≤ +∞)
27	14, 16, 22, 26	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ≤ +∞)
28	14, 16, 23, 25, 27	eliccxrd 42164	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
29		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝜑)
30		elsni 4542	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} → 𝑘 = (𝑁 + 1))
31	30	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
32		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
33		peano2uz 12289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		eluzfz2 12910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
35	1, 33, 34	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
36	35	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
37	32, 36	eqeltrd 2890	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
38	29, 31, 37	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
39	29, 38, 21	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
40	6, 8, 10, 12, 28, 39	sge0splitmpt 43050	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴))))
41		ovex 7168	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
43		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
44		eleq1 2877	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))))
45	44	anbi2d 631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))))
46		sge0p1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
47	46	eleq1d 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
48	45, 47	imbi12d 348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
49	48, 21	vtoclg 3515	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
50	41, 49	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
51	43, 35, 50	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
52	42, 51, 46	sge0snmpt 43022	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴)) = 𝐵)
53	52	oveq2d 7151	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))
54	5, 40, 53	3eqtrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663   ≤ cle 10665  ℤ_≥cuz 12231   +_𝑒 cxad 12493  [,]cicc 12729  ...cfz 12885  Σ^{^}csumge0 43001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-sumge0 43002

This theorem is referenced by:  caratheodorylem1  43165