Theorem sge0p1 46407

Description: The addition of the next term in a finite sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0p1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
sge0p1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
sge0p1.3	⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sge0p1	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sge0p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0p1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fzsuc 13511	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
4	3	mpteq1d 5192	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴))
5	4	fveq2d 6845	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴)))
6		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		ovex 7403	. . . 4 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ V)
9		snex 5386	. . . 4 ⊢ {(𝑁 + 1)} ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑁 + 1)} ∈ V)
11		fzp1disj 13523	. . . 4 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
13		0xr 11200	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ∈ ℝ*)
15		pnfxr 11207	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → +∞ ∈ ℝ*)
17		iccssxr 13370	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝜑)
19		fzelp1 13516	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
21		sge0p1.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
22	18, 20, 21	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
23	17, 22	sselid 3941	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24		iccgelb 13342	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
25	14, 16, 22, 24	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ 𝐴)
26		iccleub 13341	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ≤ +∞)
27	14, 16, 22, 26	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ≤ +∞)
28	14, 16, 23, 25, 27	eliccxrd 45520	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
29		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝜑)
30		elsni 4602	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} → 𝑘 = (𝑁 + 1))
31	30	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
32		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
33		peano2uz 12839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		eluzfz2 13472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
35	1, 33, 34	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
36	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
37	32, 36	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
38	29, 31, 37	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
39	29, 38, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
40	6, 8, 10, 12, 28, 39	sge0splitmpt 46404	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴))))
41		ovex 7403	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
43		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
44		eleq1 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))))
45	44	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))))
46		sge0p1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
47	46	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
48	45, 47	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
49	48, 21	vtoclg 3517	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
50	41, 49	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
51	43, 35, 50	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
52	42, 51, 46	sge0snmpt 46376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴)) = 𝐵)
53	52	oveq2d 7386	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))
54	5, 40, 53	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∪ cun 3909   ∩ cin 3910  ∅c0 4292  {csn 4585   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6500  (class class class)co 7370  0cc0 11047  1c1 11048   + caddc 11050  +∞cpnf 11184  ℝ^*cxr 11186   ≤ cle 11188  ℤ_≥cuz 12772   +_𝑒 cxad 13049  [,]cicc 13288  ...cfz 13447  Σ^{^}csumge0 46355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7824  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8649  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-fin 8900  df-sup 9370  df-oi 9440  df-card 9871  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11815  df-nn 12166  df-2 12228  df-3 12229  df-n0 12422  df-z 12509  df-uz 12773  df-rp 12931  df-xadd 13052  df-ico 13291  df-icc 13292  df-fz 13448  df-fzo 13595  df-seq 13946  df-exp 14006  df-hash 14275  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15432  df-sum 15631  df-sumge0 46356

This theorem is referenced by:  caratheodorylem1  46519