Theorem sge0p1 45429

Description: The addition of the next term in a finite sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0p1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
sge0p1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
sge0p1.3	⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sge0p1	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sge0p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0p1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fzsuc 13552	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
4	3	mpteq1d 5243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴))
5	4	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴)))
6		nfv 1917	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		ovex 7444	. . . 4 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ V)
9		snex 5431	. . . 4 ⊢ {(𝑁 + 1)} ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑁 + 1)} ∈ V)
11		fzp1disj 13564	. . . 4 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
13		0xr 11265	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ∈ ℝ*)
15		pnfxr 11272	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → +∞ ∈ ℝ*)
17		iccssxr 13411	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝜑)
19		fzelp1 13557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
20	19	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
21		sge0p1.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
22	18, 20, 21	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
23	17, 22	sselid 3980	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24		iccgelb 13384	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
25	14, 16, 22, 24	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ 𝐴)
26		iccleub 13383	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ≤ +∞)
27	14, 16, 22, 26	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ≤ +∞)
28	14, 16, 23, 25, 27	eliccxrd 44539	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
29		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝜑)
30		elsni 4645	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} → 𝑘 = (𝑁 + 1))
31	30	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
32		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
33		peano2uz 12889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		eluzfz2 13513	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
35	1, 33, 34	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
36	35	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
37	32, 36	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
38	29, 31, 37	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
39	29, 38, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
40	6, 8, 10, 12, 28, 39	sge0splitmpt 45426	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴))))
41		ovex 7444	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
43		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
44		eleq1 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))))
45	44	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))))
46		sge0p1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
47	46	eleq1d 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
48	45, 47	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
49	48, 21	vtoclg 3556	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
50	41, 49	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
51	43, 35, 50	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
52	42, 51, 46	sge0snmpt 45398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴)) = 𝐵)
53	52	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))
54	5, 40, 53	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947  ∅c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  ℝ^*cxr 11251   ≤ cle 11253  ℤ_≥cuz 12826   +_𝑒 cxad 13094  [,]cicc 13331  ...cfz 13488  Σ^{^}csumge0 45377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-sumge0 45378

This theorem is referenced by:  caratheodorylem1  45541