Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0p1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0p1 43923
Description: The addition of the next term in a finite sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0p1.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
sge0p1.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
sge0p1.3 (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sge0p1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sge0p1
StepHypRef Expression
1 sge0p1.1 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 fzsuc 13302 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
43mpteq1d 5174 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴))
54fveq2d 6775 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴)))
6 nfv 1921 . . 3 𝑘𝜑
7 ovex 7304 . . . 4 (𝑀...𝑁) ∈ V
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ V)
9 snex 5358 . . . 4 {(𝑁 + 1)} ∈ V
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → {(𝑁 + 1)} ∈ V)
11 fzp1disj 13314 . . . 4 ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
13 0xr 11023 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ∈ ℝ*)
15 pnfxr 11030 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → +∞ ∈ ℝ*)
17 iccssxr 13161 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18 simpl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝜑)
19 fzelp1 13307 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
2019adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
21 sge0p1.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
2218, 20, 21syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
2317, 22sselid 3924 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24 iccgelb 13134 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
2514, 16, 22, 24syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ 𝐴)
26 iccleub 13133 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ≤ +∞)
2714, 16, 22, 26syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ≤ +∞)
2814, 16, 23, 25, 27eliccxrd 43036 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
29 simpl 483 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝜑)
30 elsni 4584 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} → 𝑘 = (𝑁 + 1))
3130adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
32 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
33 peano2uz 12640 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
34 eluzfz2 13263 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
351, 33, 343syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
3635adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = (𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
3732, 36eqeltrd 2841 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
3829, 31, 37syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
3929, 38, 21syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
406, 8, 10, 12, 28, 39sge0splitmpt 43920 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴))))
41 ovex 7304 . . . . 5 (𝑁 + 1) ∈ V
4241a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
43 id 22 . . . . 5 (𝜑𝜑)
44 eleq1 2828 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))))
4544anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))))
46 sge0p1.3 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
4746eleq1d 2825 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
4845, 47imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
4948, 21vtoclg 3504 . . . . . 6 ((𝑁 + 1) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
5041, 49ax-mp 5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5143, 35, 50syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5242, 51, 46sge0snmpt 43892 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴)) = 𝐵)
5352oveq2d 7287 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))
545, 40, 533eqtrd 2784 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  Vcvv 3431  cun 3890  cin 3891  c0 4262  {csn 4567   class class class wbr 5079  cmpt 5162  cfv 6432  (class class class)co 7271  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875  +∞cpnf 11007  *cxr 11009  cle 11011  cuz 12581   +𝑒 cxad 12845  [,]cicc 13081  ...cfz 13238  Σ^csumge0 43871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-xadd 12848  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-clim 15195  df-sum 15396  df-sumge0 43872
This theorem is referenced by:  caratheodorylem1  44035
  Copyright terms: Public domain W3C validator