Theorem sge0p1 46370

Description: The addition of the next term in a finite sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0p1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
sge0p1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
sge0p1.3	⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sge0p1	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sge0p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0p1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fzsuc 13608	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
4	3	mpteq1d 5243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴))
5	4	fveq2d 6911	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴)))
6		nfv 1912	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		ovex 7464	. . . 4 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ V)
9		snex 5442	. . . 4 ⊢ {(𝑁 + 1)} ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑁 + 1)} ∈ V)
11		fzp1disj 13620	. . . 4 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
13		0xr 11306	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ∈ ℝ*)
15		pnfxr 11313	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → +∞ ∈ ℝ*)
17		iccssxr 13467	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝜑)
19		fzelp1 13613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
21		sge0p1.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
22	18, 20, 21	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
23	17, 22	sselid 3993	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24		iccgelb 13440	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
25	14, 16, 22, 24	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ 𝐴)
26		iccleub 13439	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ≤ +∞)
27	14, 16, 22, 26	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ≤ +∞)
28	14, 16, 23, 25, 27	eliccxrd 45480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
29		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝜑)
30		elsni 4648	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} → 𝑘 = (𝑁 + 1))
31	30	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
32		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
33		peano2uz 12941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		eluzfz2 13569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
35	1, 33, 34	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
36	35	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
37	32, 36	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
38	29, 31, 37	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
39	29, 38, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
40	6, 8, 10, 12, 28, 39	sge0splitmpt 46367	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴))))
41		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
43		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
44		eleq1 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))))
45	44	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))))
46		sge0p1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
47	46	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
48	45, 47	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
49	48, 21	vtoclg 3554	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
50	41, 49	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
51	43, 35, 50	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
52	42, 51, 46	sge0snmpt 46339	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴)) = 𝐵)
53	52	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))
54	5, 40, 53	3eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962  ∅c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  +∞cpnf 11290  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294  ℤ_≥cuz 12876   +_𝑒 cxad 13150  [,]cicc 13387  ...cfz 13544  Σ^{^}csumge0 46318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-sumge0 46319

This theorem is referenced by:  caratheodorylem1  46482