Theorem sge0p1 47098

Description: The addition of the next term in a finite sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0p1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
sge0p1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
sge0p1.3	⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sge0p1	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sge0p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0p1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fzsuc 13598	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
4	3	mpteq1d 5200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴))
5	4	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴)))
6		nfv 1942	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		ovex 7443	. . . 4 ⊢ (𝑀...𝑁) ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ V)
9		snex 5410	. . . 4 ⊢ {(𝑁 + 1)} ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑁 + 1)} ∈ V)
11		fzp1disj 13610	. . . 4 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
13		0xr 11255	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ∈ ℝ*)
15		pnfxr 11262	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → +∞ ∈ ℝ*)
17		iccssxr 13456	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝜑)
19		fzelp1 13603	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
20	19	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
21		sge0p1.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
22	18, 20, 21	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
23	17, 22	sselid 3934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
24		iccgelb 13428	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐴)
25	14, 16, 22, 24	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ≤ 𝐴)
26		iccleub 13427	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐴 ≤ +∞)
27	14, 16, 22, 26	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ≤ +∞)
28	14, 16, 23, 25, 27	eliccxrd 46213	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
29		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝜑)
30		elsni 4605	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} → 𝑘 = (𝑁 + 1))
31	30	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
32		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
33		peano2uz 12924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		eluzfz2 13559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
35	1, 33, 34	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
36	35	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
37	32, 36	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = (𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
38	29, 31, 37	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
39	29, 38, 21	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
40	6, 8, 10, 12, 28, 39	sge0splitmpt 47095	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴))))
41		ovex 7443	. . . . 5 ⊢ (𝑁 + 1) ∈ V
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
43		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
44		eleq1 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))))
45	44	anbi2d 641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))))
46		sge0p1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
47	46	eleq1d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐴 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
48	45, 47	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
49	48, 21	vtoclg 3521	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
50	41, 49	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
51	43, 35, 50	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
52	42, 51, 46	sge0snmpt 47067	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴)) = 𝐵)
53	52	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 (Σ^‘(𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝐴))) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))
54	5, 40, 53	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↦ 𝐴)) = ((Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)) +𝑒 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903  ∅c0 4285  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102  +∞cpnf 11239  ℝ^*cxr 11241   ≤ cle 11243  ℤ_≥cuz 12861   +_𝑒 cxad 13134  [,]cicc 13374  ...cfz 13534  Σ^{^}csumge0 47046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-xadd 13137  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-sum 15737  df-sumge0 47047

This theorem is referenced by:  caratheodorylem1  47210