Theorem elixpconstg 45543

Description: Membership in an infinite Cartesian product of a constant 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elixpconstg	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem elixpconstg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpfn 8848	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		elixp2 8846	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
3	2	simp3bi 1153	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
4		ffnfv 7067	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
5	1, 3, 4	sylanbrc 589	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6		elex 3453	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 ∈ V)
8		ffn 6662	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
9	8	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
10	4	simprbi 498	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
11	10	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
12	7, 9, 11, 2	syl3anbrc 1350	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
13	12	ex 413	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
14	5, 13	impbid2 227	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  Vcvv 3432   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  Xcixp 8842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ixp 8843

This theorem is referenced by:  iinhoiicclem  47123