Theorem elixpconstg 45519

Description: Membership in an infinite Cartesian product of a constant 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elixpconstg	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem elixpconstg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpfn 8851	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		elixp2 8849	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
3	2	simp3bi 1148	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
4		ffnfv 7071	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
5	1, 3, 4	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6		elex 3450	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 ∈ V)
8		ffn 6668	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
10	4	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
12	7, 9, 11, 2	syl3anbrc 1345	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
13	12	ex 412	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
14	5, 13	impbid2 226	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  Vcvv 3429   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  Xcixp 8845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ixp 8846

This theorem is referenced by:  iinhoiicclem  47101