Theorem elixpconstg 45083

Description: Membership in an infinite Cartesian product of a constant 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elixpconstg	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem elixpconstg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpfn 8876	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		elixp2 8874	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
3	2	simp3bi 1147	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
4		ffnfv 7091	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
5	1, 3, 4	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6		elex 3468	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 ∈ V)
8		ffn 6688	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
10	4	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
12	7, 9, 11, 2	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
13	12	ex 412	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
14	5, 13	impbid2 226	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  Xcixp 8870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ixp 8871

This theorem is referenced by:  iinhoiicclem  46671