Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iinhoiicclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinhoiicclem 45000
Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iinhoiicclem.k β„²π‘˜πœ‘
iinhoiicclem.a ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
iinhoiicclem (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   π‘˜,𝐹,𝑛   π‘˜,𝑋,𝑛   πœ‘,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem iinhoiicclem
StepHypRef Expression
1 iinhoiicclem.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
21elexd 3464 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
3 1nn 12169 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
43a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
5 iinhoiicclem.k . . . . . . . . 9 β„²π‘˜πœ‘
6 iinhoiicclem.a . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
7 iinhoiicclem.b . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
8 peano2re 11333 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ ℝ β†’ (𝐡 + 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 + 1) ∈ ℝ)
109rexrd 11210 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 + 1) ∈ ℝ*)
11 icossre 13351 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 + 1) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† ℝ)
126, 10, 11syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† ℝ)
135, 12ixpssixp 43390 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
14 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 β†’ (1 / 𝑛) = (1 / 1))
15 1div1e1 11850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 1) = 1
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 β†’ (1 / 1) = 1)
1714, 16eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 β†’ (1 / 𝑛) = 1)
1817oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ (𝐡 + (1 / 𝑛)) = (𝐡 + 1))
1918oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
2019ixpeq2dv 8854 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
2120sseq1d 3976 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ))
2221rspcev 3580 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„• ∧ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
234, 13, 22syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
24 iinss 5017 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
2625, 1sseldd 3946 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
27 elixpconstg 43387 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) β†’ (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ ↔ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„))
281, 27syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ ↔ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„))
2926, 28mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
3029ffnd 6670 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
3129ffvelcdmda 7036 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
326rexrd 11210 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
33 ssid 3967 . . . . . . . . . . . . 13 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
3520sseq1d 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1))))
3635rspcev 3580 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ β„• ∧ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
374, 34, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
38 iinss 5017 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
4039, 1sseldd 3946 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
4140adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
42 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
43 fvixp2 43507 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
4441, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
45 icogelb 13321 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 + 1) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + 1))) β†’ 𝐴 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
4632, 10, 44, 45syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
4731adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
487adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
49 nnrecre 12200 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5049adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5148, 50readdcld 11189 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
5232adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
53 ressxr 11204 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† ℝ*
5453, 51sselid 3943 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
55 eliin 4960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ V β†’ (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))))
562, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))))
571, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
5857r19.21bi 3233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
59 elixp2 8842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))))
6058, 59sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))))
6160simp3d 1145 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
6261r19.21bi 3233 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
6362an32s 651 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
64 icoltub 43832 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < (𝐡 + (1 / 𝑛)))
6552, 54, 63, 64syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < (𝐡 + (1 / 𝑛)))
6647, 51, 65ltled 11308 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝐡 + (1 / 𝑛)))
6766ralrimiva 3140 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝐡 + (1 / 𝑛)))
68 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋)
6953, 31sselid 3943 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
7068, 69, 7xrralrecnnle 43704 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝐡 + (1 / 𝑛))))
7167, 70mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝐡)
726, 7, 31, 46, 71eliccd 43828 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡))
7372ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡)))
745, 73ralrimi 3239 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡))
752, 30, 743jca 1129 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡)))
76 elixp2 8842 . 2 (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡)))
7775, 76sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  βˆ© ciin 4956   class class class wbr 5106   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Xcixp 8838  β„cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   / cdiv 11817  β„•cn 12158  [,)cico 13272  [,]cicc 13273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fl 13703
This theorem is referenced by:  iinhoiicc  45001
  Copyright terms: Public domain W3C validator