Theorem iinhoiicclem 47486

Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinhoiicclem.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
iinhoiicclem.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
iinhoiicclem	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iinhoiicclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinhoiicclem.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
2	1	elexd 3476	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
3		1nn 12269	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
5		iinhoiicclem.k	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		iinhoiicclem.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		iinhoiicclem.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		peano2re 11408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
11		icossre 13481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ*) → (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ ℝ)
12	6, 10, 11	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ ℝ)
13	5, 12	ixpssixp 45909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
14		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
15		1div1e1 11930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 / 1) = 1
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 1) = 1)
17	14, 16	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = 1)
18	17	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + 1))
19	18	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
20	19	ixpeq2dv 8923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
21	20	sseq1d 3965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → (X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ ↔ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ))
22	21	rspcev 3579	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
23	4, 13, 22	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
24		iinss 5019	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
25	23, 24	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
26	25, 1	sseldd 3935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
27		elixpconstg 45906	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
28	1, 27	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
29	26, 28	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
30	29	ffnd 6707	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
31	29	ffvelcdmda 7080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
32	6	rexrd 11284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33		ssid 3956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
35	20	sseq1d 3965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ↔ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))))
36	35	rspcev 3579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
37	4, 34, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
38		iinss 5019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
39	37, 38	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
40	39, 1	sseldd 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
41	40	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
42		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑘 ∈ 𝑋)
43		fvixp2 46015	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
44	41, 42, 43	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
45		icogelb 13449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1))) → 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑘))
46	32, 10, 44, 45	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑘))
47	31	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
48	7	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
49		nnrecre 12303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
50	49	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
51	48, 50	readdcld 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
52	32	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
53		ressxr 11278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
54	53, 51	sselid 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
55		eliin 4959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
56	2, 55	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
57	1, 56	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
58	57	r19.21bi 3256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
59		elixp2 8911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
60	58, 59	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
61	60	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
62	61	r19.21bi 3256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
63	62	an32s 665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
64		icoltub 46323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐹‘𝑘) < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
65	52, 54, 63, 64	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
66	47, 51, 65	ltled 11383	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
67	66	ralrimiva 3156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
68		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋)
69	53, 31	sselid 3932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
70	68, 69, 7	xrralrecnnle 46197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
71	67, 70	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵)
72	6, 7, 31, 46, 71	eliccd 46319	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵))
73	72	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
74	5, 73	ralrimi 3262	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵))
75	2, 30, 74	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
76		elixp2 8911	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
77	75, 76	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ∩ ciin 4955   class class class wbr 5107   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Xcixp 8907  ℝcr 11124  1c1 11126   + caddc 11128  ℝ^*cxr 11267   < clt 11268   ≤ cle 11269   / cdiv 11896  ℕcn 12258  [,)cico 13400  [,]cicc 13401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13043  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fl 13853

This theorem is used by:  iinhoiicc  47487