Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iinhoiicclem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iinhoiicclem 45375
Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iinhoiicclem.k β„²π‘˜πœ‘
iinhoiicclem.a ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
iinhoiicclem (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   π‘˜,𝐹,𝑛   π‘˜,𝑋,𝑛   πœ‘,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)
Proof of Theorem iinhoiicclem
StepHypRef Expression
1 iinhoiicclem.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
21elexd 3494 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
3 1nn 12219 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
43a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
5 iinhoiicclem.k . . . . . . . . 9 β„²π‘˜πœ‘
6 iinhoiicclem.a . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
7 iinhoiicclem.b . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
8 peano2re 11383 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ ℝ β†’ (𝐡 + 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 + 1) ∈ ℝ)
109rexrd 11260 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 + 1) ∈ ℝ*)
11 icossre 13401 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 + 1) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† ℝ)
126, 10, 11syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† ℝ)
135, 12ixpssixp 43766 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
14 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 β†’ (1 / 𝑛) = (1 / 1))
15 1div1e1 11900 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 1) = 1
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 β†’ (1 / 1) = 1)
1714, 16eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 β†’ (1 / 𝑛) = 1)
1817oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ (𝐡 + (1 / 𝑛)) = (𝐡 + 1))
1918oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
2019ixpeq2dv 8903 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
2120sseq1d 4012 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ))
2221rspcev 3612 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„• ∧ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
234, 13, 22syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
24 iinss 5058 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
2625, 1sseldd 3982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
27 elixpconstg 43763 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) β†’ (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ ↔ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„))
281, 27syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ ↔ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„))
2926, 28mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
3029ffnd 6715 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
3129ffvelcdmda 7083 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
326rexrd 11260 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
33 ssid 4003 . . . . . . . . . . . . 13 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
3520sseq1d 4012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1))))
3635rspcev 3612 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ β„• ∧ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
374, 34, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
38 iinss 5058 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
4039, 1sseldd 3982 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
4140adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
42 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
43 fvixp2 43883 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
4441, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
45 icogelb 13371 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 + 1) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + 1))) β†’ 𝐴 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
4632, 10, 44, 45syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
4731adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
487adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
49 nnrecre 12250 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5049adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5148, 50readdcld 11239 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
5232adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
53 ressxr 11254 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† ℝ*
5453, 51sselid 3979 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
55 eliin 5001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ V β†’ (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))))
562, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))))
571, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
5857r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
59 elixp2 8891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))))
6058, 59sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))))
6160simp3d 1144 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
6261r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
6362an32s 650 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
64 icoltub 44207 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < (𝐡 + (1 / 𝑛)))
6552, 54, 63, 64syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < (𝐡 + (1 / 𝑛)))
6647, 51, 65ltled 11358 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝐡 + (1 / 𝑛)))
6766ralrimiva 3146 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝐡 + (1 / 𝑛)))
68 nfv 1917 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋)
6953, 31sselid 3979 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
7068, 69, 7xrralrecnnle 44079 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝐡 + (1 / 𝑛))))
7167, 70mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝐡)
726, 7, 31, 46, 71eliccd 44203 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡))
7372ex 413 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡)))
745, 73ralrimi 3254 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡))
752, 30, 743jca 1128 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡)))
76 elixp2 8891 . 2 (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡)))
7775, 76sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆ© ciin 4997   class class class wbr 5147   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Xcixp 8887  β„cr 11105  1c1 11107   + caddc 11109  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  β„•cn 12208  [,)cico 13322  [,]cicc 13323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fl 13753
This theorem is referenced by:  iinhoiicc  45376
  Copyright terms: Public domain W3C validator