Theorem iinhoiicclem 46702

Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinhoiicclem.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
iinhoiicclem.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
iinhoiicclem	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iinhoiicclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinhoiicclem.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
2	1	elexd 3483	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
3		1nn 12251	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
5		iinhoiicclem.k	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		iinhoiicclem.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		iinhoiicclem.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		peano2re 11408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
11		icossre 13445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ*) → (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ ℝ)
12	6, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ ℝ)
13	5, 12	ixpssixp 45116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
14		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
15		1div1e1 11932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 / 1) = 1
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 1) = 1)
17	14, 16	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = 1)
18	17	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + 1))
19	18	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
20	19	ixpeq2dv 8927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
21	20	sseq1d 3990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → (X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ ↔ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ))
22	21	rspcev 3601	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
23	4, 13, 22	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
24		iinss 5032	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
26	25, 1	sseldd 3959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
27		elixpconstg 45113	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
28	1, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
29	26, 28	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
30	29	ffnd 6707	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
31	29	ffvelcdmda 7074	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
32	6	rexrd 11285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33		ssid 3981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
35	20	sseq1d 3990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ↔ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))))
36	35	rspcev 3601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
37	4, 34, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
38		iinss 5032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
40	39, 1	sseldd 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
41	40	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
42		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑘 ∈ 𝑋)
43		fvixp2 45223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
44	41, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
45		icogelb 13413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1))) → 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑘))
46	32, 10, 44, 45	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑘))
47	31	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
48	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
49		nnrecre 12282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
51	48, 50	readdcld 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
52	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
53		ressxr 11279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
54	53, 51	sselid 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
55		eliin 4972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
56	2, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
57	1, 56	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
58	57	r19.21bi 3234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
59		elixp2 8915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
60	58, 59	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
61	60	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
62	61	r19.21bi 3234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
63	62	an32s 652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
64		icoltub 45537	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐹‘𝑘) < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
65	52, 54, 63, 64	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
66	47, 51, 65	ltled 11383	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
67	66	ralrimiva 3132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
68		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋)
69	53, 31	sselid 3956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
70	68, 69, 7	xrralrecnnle 45410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
71	67, 70	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵)
72	6, 7, 31, 46, 71	eliccd 45533	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵))
73	72	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
74	5, 73	ralrimi 3240	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵))
75	2, 30, 74	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
76		elixp2 8915	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
77	75, 76	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ∩ ciin 4968   class class class wbr 5119   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Xcixp 8911  ℝcr 11128  1c1 11130   + caddc 11132  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270   / cdiv 11894  ℕcn 12240  [,)cico 13364  [,]cicc 13365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fl 13809

This theorem is referenced by:  iinhoiicc  46703