Theorem iinhoiicclem 44101

Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinhoiicclem.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
iinhoiicclem.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
iinhoiicclem	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iinhoiicclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinhoiicclem.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
2	1	elexd 3442	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
3		1nn 11914	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
5		iinhoiicclem.k	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		iinhoiicclem.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		iinhoiicclem.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		peano2re 11078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 10956	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
11		icossre 13089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ*) → (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ ℝ)
12	6, 10, 11	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ ℝ)
13	5, 12	ixpssixp 42531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
14		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
15		1div1e1 11595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 / 1) = 1
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 1) = 1)
17	14, 16	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = 1)
18	17	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + 1))
19	18	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
20	19	ixpeq2dv 8659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
21	20	sseq1d 3948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → (X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ ↔ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ))
22	21	rspcev 3552	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
23	4, 13, 22	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
24		iinss 4982	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
26	25, 1	sseldd 3918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
27		elixpconstg 42528	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
28	1, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
29	26, 28	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
30	29	ffnd 6585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
31	29	ffvelrnda 6943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
32	6	rexrd 10956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33		ssid 3939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
35	20	sseq1d 3948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ↔ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))))
36	35	rspcev 3552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
37	4, 34, 36	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
38		iinss 4982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
40	39, 1	sseldd 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
41	40	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
42		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑘 ∈ 𝑋)
43		fvixp2 42627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
44	41, 42, 43	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
45		icogelb 13059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1))) → 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑘))
46	32, 10, 44, 45	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑘))
47	31	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
48	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
49		nnrecre 11945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
51	48, 50	readdcld 10935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
52	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
53		ressxr 10950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
54	53, 51	sselid 3915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
55		eliin 4926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
56	2, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
57	1, 56	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
58	57	r19.21bi 3132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
59		elixp2 8647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
60	58, 59	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
61	60	simp3d 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
62	61	r19.21bi 3132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
63	62	an32s 648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
64		icoltub 42936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐹‘𝑘) < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
65	52, 54, 63, 64	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
66	47, 51, 65	ltled 11053	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
67	66	ralrimiva 3107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
68		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋)
69	53, 31	sselid 3915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
70	68, 69, 7	xrralrecnnle 42812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
71	67, 70	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵)
72	6, 7, 31, 46, 71	eliccd 42932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵))
73	72	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
74	5, 73	ralrimi 3139	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵))
75	2, 30, 74	3jca 1126	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
76		elixp2 8647	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
77	75, 76	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∩ ciin 4922   class class class wbr 5070   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Xcixp 8643  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  ℕcn 11903  [,)cico 13010  [,]cicc 13011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fl 13440

This theorem is referenced by:  iinhoiicc  44102