Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iinhoiicclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinhoiicclem 45376
Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iinhoiicclem.k 𝑘𝜑
iinhoiicclem.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.f (𝜑𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
iinhoiicclem (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iinhoiicclem
StepHypRef Expression
1 iinhoiicclem.f . . . 4 (𝜑𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
21elexd 3495 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
3 1nn 12220 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
5 iinhoiicclem.k . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
6 iinhoiicclem.a . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 iinhoiicclem.b . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 peano2re 11384 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
109rexrd 11261 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
11 icossre 13402 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ*) → (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ ℝ)
126, 10, 11syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ ℝ)
135, 12ixpssixp 43767 . . . . . . . 8 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
14 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
15 1div1e1 11901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 1) = 1
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (1 / 1) = 1)
1714, 16eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = 1)
1817oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + 1))
1918oveq2d 7422 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
2019ixpeq2dv 8904 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
2120sseq1d 4013 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ ↔ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ))
2221rspcev 3613 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
234, 13, 22syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
24 iinss 5059 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
2625, 1sseldd 3983 . . . . 5 (𝜑𝐹X𝑘𝑋 ℝ)
27 elixpconstg 43764 . . . . . 6 (𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → (𝐹X𝑘𝑋 ℝ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
281, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹X𝑘𝑋 ℝ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
2926, 28mpbid 231 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
3029ffnd 6716 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
3129ffvelcdmda 7084 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
326rexrd 11261 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33 ssid 4004 . . . . . . . . . . . . 13 X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
3520sseq1d 4013 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ↔ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))))
3635rspcev 3613 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℕ ∧ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
374, 34, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
38 iinss 5059 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
4039, 1sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
4140adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
42 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
43 fvixp2 43884 . . . . . . . 8 ((𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
4441, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
45 icogelb 13372 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1))) → 𝐴 ≤ (𝐹𝑘))
4632, 10, 44, 45syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ≤ (𝐹𝑘))
4731adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
487adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
49 nnrecre 12251 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5049adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5148, 50readdcld 11240 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
5232adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
53 ressxr 11255 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ*
5453, 51sselid 3980 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
55 eliin 5002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ V → (𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
562, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
571, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
5857r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
59 elixp2 8892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
6058, 59sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
6160simp3d 1145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
6261r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
6362an32s 651 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
64 icoltub 44208 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐹𝑘) < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6552, 54, 63, 64syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6647, 51, 65ltled 11359 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6766ralrimiva 3147 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
68 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑛(𝜑𝑘𝑋)
6953, 31sselid 3980 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
7068, 69, 7xrralrecnnle 44080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
7167, 70mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ≤ 𝐵)
726, 7, 31, 46, 71eliccd 44204 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7372ex 414 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑋 → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
745, 73ralrimi 3255 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵))
752, 30, 743jca 1129 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
76 elixp2 8892 . 2 (𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
7775, 76sylibr 233 1 (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  wss 3948   ciin 4998   class class class wbr 5148   Fn wfn 6536  wf 6537  cfv 6541  (class class class)co 7406  Xcixp 8888  cr 11106  1c1 11108   + caddc 11110  *cxr 11244   < clt 11245  cle 11246   / cdiv 11868  cn 12209  [,)cico 13323  [,]cicc 13324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fl 13754
This theorem is referenced by:  iinhoiicc  45377
  Copyright terms: Public domain W3C validator