Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iinhoiicclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinhoiicclem 43309
Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iinhoiicclem.k 𝑘𝜑
iinhoiicclem.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.f (𝜑𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
iinhoiicclem (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iinhoiicclem
StepHypRef Expression
1 iinhoiicclem.f . . . 4 (𝜑𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
21elexd 3464 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
3 1nn 11640 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
5 iinhoiicclem.k . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
6 iinhoiicclem.a . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 iinhoiicclem.b . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 peano2re 10806 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
109rexrd 10684 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
11 icossre 12810 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ*) → (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ ℝ)
126, 10, 11syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ ℝ)
135, 12ixpssixp 41725 . . . . . . . 8 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
14 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
15 1div1e1 11323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 1) = 1
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (1 / 1) = 1)
1714, 16eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = 1)
1817oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + 1))
1918oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
2019ixpeq2dv 8464 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
2120sseq1d 3949 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ ↔ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ))
2221rspcev 3574 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
234, 13, 22syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
24 iinss 4946 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
2625, 1sseldd 3919 . . . . 5 (𝜑𝐹X𝑘𝑋 ℝ)
27 elixpconstg 41722 . . . . . 6 (𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → (𝐹X𝑘𝑋 ℝ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
281, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹X𝑘𝑋 ℝ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
2926, 28mpbid 235 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
3029ffnd 6492 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
3129ffvelrnda 6832 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
326rexrd 10684 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33 ssid 3940 . . . . . . . . . . . . 13 X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
3520sseq1d 3949 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ↔ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))))
3635rspcev 3574 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℕ ∧ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
374, 34, 36syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
38 iinss 4946 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
4039, 1sseldd 3919 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
4140adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
42 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
43 fvixp2 41824 . . . . . . . 8 ((𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
4441, 42, 43syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
45 icogelb 12780 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1))) → 𝐴 ≤ (𝐹𝑘))
4632, 10, 44, 45syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ≤ (𝐹𝑘))
4731adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
487adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
49 nnrecre 11671 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5049adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5148, 50readdcld 10663 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
5232adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
53 ressxr 10678 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ*
5453, 51sseldi 3916 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
55 eliin 4889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ V → (𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
562, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
571, 56mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
5857r19.21bi 3176 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
59 elixp2 8452 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
6058, 59sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
6160simp3d 1141 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
6261r19.21bi 3176 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
6362an32s 651 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
64 icoltub 42142 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐹𝑘) < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6552, 54, 63, 64syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6647, 51, 65ltled 10781 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6766ralrimiva 3152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
68 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑛(𝜑𝑘𝑋)
6953, 31sseldi 3916 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
7068, 69, 7xrralrecnnle 42014 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
7167, 70mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ≤ 𝐵)
726, 7, 31, 46, 71eliccd 42138 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7372ex 416 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑋 → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
745, 73ralrimi 3183 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵))
752, 30, 743jca 1125 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
76 elixp2 8452 . 2 (𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
7775, 76sylibr 237 1 (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wnf 1785  wcel 2112  wral 3109  wrex 3110  Vcvv 3444  wss 3884   ciin 4885   class class class wbr 5033   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  Xcixp 8448  cr 10529  1c1 10531   + caddc 10533  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669   / cdiv 11290  cn 11629  [,)cico 12732  [,]cicc 12733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fl 13161
This theorem is referenced by:  iinhoiicc  43310
  Copyright terms: Public domain W3C validator