Theorem iinhoiicclem 47124

Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinhoiicclem.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
iinhoiicclem.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
iinhoiicclem	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iinhoiicclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinhoiicclem.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
2	1	elexd 3454	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
3		1nn 12177	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
5		iinhoiicclem.k	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		iinhoiicclem.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
7		iinhoiicclem.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		peano2re 11311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
11		icossre 13373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ*) → (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ ℝ)
12	6, 10, 11	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ ℝ)
13	5, 12	ixpssixp 45547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
14		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
15		1div1e1 11837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 / 1) = 1
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 1) = 1)
17	14, 16	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = 1)
18	17	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + 1))
19	18	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
20	19	ixpeq2dv 8852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
21	20	sseq1d 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → (X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ ↔ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ))
22	21	rspcev 3560	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
23	4, 13, 22	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
24		iinss 4987	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
26	25, 1	sseldd 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ)
27		elixpconstg 45544	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
28	1, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 ℝ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
29	26, 28	mpbid 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
30	29	ffnd 6657	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
31	29	ffvelcdmda 7026	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
32	6	rexrd 11187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33		ssid 3937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
35	20	sseq1d 3946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ↔ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))))
36	35	rspcev 3560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
37	4, 34, 36	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
38		iinss 4987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
40	39, 1	sseldd 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
41	40	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
42		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑘 ∈ 𝑋)
43		fvixp2 45653	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
44	41, 42, 43	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
45		icogelb 13341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1))) → 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑘))
46	32, 10, 44, 45	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≤ (𝐹‘𝑘))
47	31	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
48	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
49		nnrecre 12211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
51	48, 50	readdcld 11166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
52	32	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
53		ressxr 11181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
54	53, 51	sselid 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
55		eliin 4927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
56	2, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
57	1, 56	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
58	57	r19.21bi 3231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
59		elixp2 8840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
60	58, 59	sylib 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
61	60	simp3d 1150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
62	61	r19.21bi 3231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
63	62	an32s 658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
64		icoltub 45961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐹‘𝑘) < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
65	52, 54, 63, 64	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
66	47, 51, 65	ltled 11286	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
67	66	ralrimiva 3131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
68		nfv 1921	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋)
69	53, 31	sselid 3913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
70	68, 69, 7	xrralrecnnle 45835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
71	67, 70	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ≤ 𝐵)
72	6, 7, 31, 46, 71	eliccd 45957	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵))
73	72	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
74	5, 73	ralrimi 3237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵))
75	2, 30, 74	3jca 1134	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
76		elixp2 8840	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
77	75, 76	sylibr 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∩ ciin 4923   class class class wbr 5073   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Xcixp 8836  ℝcr 11029  1c1 11031   + caddc 11033  ℝ^*cxr 11170   < clt 11171   ≤ cle 11172   / cdiv 11799  ℕcn 12166  [,)cico 13292  [,]cicc 13293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-ico 13296  df-icc 13297  df-fl 13743

This theorem is referenced by:  iinhoiicc  47125