Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iinhoiicclem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iinhoiicclem 45389
Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iinhoiicclem.k β„²π‘˜πœ‘
iinhoiicclem.a ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
iinhoiicclem (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   π‘˜,𝐹,𝑛   π‘˜,𝑋,𝑛   πœ‘,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)
Proof of Theorem iinhoiicclem
StepHypRef Expression
1 iinhoiicclem.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
21elexd 3495 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
3 1nn 12223 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
43a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
5 iinhoiicclem.k . . . . . . . . 9 β„²π‘˜πœ‘
6 iinhoiicclem.a . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
7 iinhoiicclem.b . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
8 peano2re 11387 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ ℝ β†’ (𝐡 + 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 + 1) ∈ ℝ)
109rexrd 11264 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 + 1) ∈ ℝ*)
11 icossre 13405 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 + 1) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† ℝ)
126, 10, 11syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† ℝ)
135, 12ixpssixp 43781 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
14 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 β†’ (1 / 𝑛) = (1 / 1))
15 1div1e1 11904 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 1) = 1
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 β†’ (1 / 1) = 1)
1714, 16eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 β†’ (1 / 𝑛) = 1)
1817oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ (𝐡 + (1 / 𝑛)) = (𝐡 + 1))
1918oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
2019ixpeq2dv 8907 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
2120sseq1d 4014 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ))
2221rspcev 3613 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„• ∧ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
234, 13, 22syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
24 iinss 5060 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
2625, 1sseldd 3984 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
27 elixpconstg 43778 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) β†’ (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ ↔ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„))
281, 27syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ ↔ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„))
2926, 28mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
3029ffnd 6719 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
3129ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
326rexrd 11264 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
33 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . 13 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
3520sseq1d 4014 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1))))
3635rspcev 3613 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ β„• ∧ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
374, 34, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
38 iinss 5060 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
4039, 1sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
4140adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
42 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
43 fvixp2 43898 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
4441, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
45 icogelb 13375 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 + 1) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + 1))) β†’ 𝐴 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
4632, 10, 44, 45syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
4731adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
487adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
49 nnrecre 12254 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5049adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5148, 50readdcld 11243 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
5232adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
53 ressxr 11258 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† ℝ*
5453, 51sselid 3981 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
55 eliin 5003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ V β†’ (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))))
562, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))))
571, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
5857r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
59 elixp2 8895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))))
6058, 59sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))))
6160simp3d 1145 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
6261r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
6362an32s 651 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
64 icoltub 44221 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < (𝐡 + (1 / 𝑛)))
6552, 54, 63, 64syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < (𝐡 + (1 / 𝑛)))
6647, 51, 65ltled 11362 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝐡 + (1 / 𝑛)))
6766ralrimiva 3147 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝐡 + (1 / 𝑛)))
68 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋)
6953, 31sselid 3981 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
7068, 69, 7xrralrecnnle 44093 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝐡 + (1 / 𝑛))))
7167, 70mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝐡)
726, 7, 31, 46, 71eliccd 44217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡))
7372ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡)))
745, 73ralrimi 3255 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡))
752, 30, 743jca 1129 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡)))
76 elixp2 8895 . 2 (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡)))
7775, 76sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ© ciin 4999   class class class wbr 5149   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Xcixp 8891  β„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„•cn 12212  [,)cico 13326  [,]cicc 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fl 13757
This theorem is referenced by:  iinhoiicc  45390
  Copyright terms: Public domain W3C validator