Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iinhoiicclem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iinhoiicclem 45687
Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iinhoiicclem.k β„²π‘˜πœ‘
iinhoiicclem.a ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.b ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
iinhoiicclem (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐡,𝑛   π‘˜,𝐹,𝑛   π‘˜,𝑋,𝑛   πœ‘,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)
Proof of Theorem iinhoiicclem
StepHypRef Expression
1 iinhoiicclem.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
21elexd 3493 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
3 1nn 12227 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
43a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
5 iinhoiicclem.k . . . . . . . . 9 β„²π‘˜πœ‘
6 iinhoiicclem.a . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
7 iinhoiicclem.b . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
8 peano2re 11391 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ ℝ β†’ (𝐡 + 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 + 1) ∈ ℝ)
109rexrd 11268 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐡 + 1) ∈ ℝ*)
11 icossre 13409 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 + 1) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† ℝ)
126, 10, 11syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† ℝ)
135, 12ixpssixp 44082 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
14 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 β†’ (1 / 𝑛) = (1 / 1))
15 1div1e1 11908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 1) = 1
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 β†’ (1 / 1) = 1)
1714, 16eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 β†’ (1 / 𝑛) = 1)
1817oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 β†’ (𝐡 + (1 / 𝑛)) = (𝐡 + 1))
1918oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 β†’ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
2019ixpeq2dv 8909 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
2120sseq1d 4012 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ))
2221rspcev 3611 . . . . . . . 8 ((1 ∈ β„• ∧ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
234, 13, 22syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
24 iinss 5058 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
2625, 1sseldd 3982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
27 elixpconstg 44079 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) β†’ (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ ↔ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„))
281, 27syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ ↔ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„))
2926, 28mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
3029ffnd 6717 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
3129ffvelcdmda 7085 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
326rexrd 11268 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
33 ssid 4003 . . . . . . . . . . . . 13 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
3520sseq1d 4012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1))))
3635rspcev 3611 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ β„• ∧ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
374, 34, 36syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
38 iinss 5058 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘› ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
4039, 1sseldd 3982 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
4140adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
42 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
43 fvixp2 44196 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + 1)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
4441, 42, 43syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + 1)))
45 icogelb 13379 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 + 1) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + 1))) β†’ 𝐴 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
4632, 10, 44, 45syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
4731adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
487adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
49 nnrecre 12258 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5049adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5148, 50readdcld 11247 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
5232adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
53 ressxr 11262 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† ℝ*
5453, 51sselid 3979 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
55 eliin 5001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ V β†’ (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))))
562, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ ∩ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))))
571, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
5857r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
59 elixp2 8897 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))))
6058, 59sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))))
6160simp3d 1142 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
6261r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
6362an32s 648 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛))))
64 icoltub 44519 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,)(𝐡 + (1 / 𝑛)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < (𝐡 + (1 / 𝑛)))
6552, 54, 63, 64syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < (𝐡 + (1 / 𝑛)))
6647, 51, 65ltled 11366 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝐡 + (1 / 𝑛)))
6766ralrimiva 3144 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝐡 + (1 / 𝑛)))
68 nfv 1915 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋)
6953, 31sselid 3979 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
7068, 69, 7xrralrecnnle 44391 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝐡 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝐡 + (1 / 𝑛))))
7167, 70mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ 𝐡)
726, 7, 31, 46, 71eliccd 44515 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡))
7372ex 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡)))
745, 73ralrimi 3252 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡))
752, 30, 743jca 1126 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡)))
76 elixp2 8897 . 2 (𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝐴[,]𝐡)))
7775, 76sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  β„²wnf 1783   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βˆ© ciin 4997   class class class wbr 5147   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Xcixp 8893  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  β„•cn 12216  [,)cico 13330  [,]cicc 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fl 13761
This theorem is referenced by:  iinhoiicc  45688
  Copyright terms: Public domain W3C validator