Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iinhoiicclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinhoiicclem 41366
Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iinhoiicclem.k 𝑘𝜑
iinhoiicclem.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
iinhoiicclem.f (𝜑𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
iinhoiicclem (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iinhoiicclem
StepHypRef Expression
1 iinhoiicclem.f . . . 4 (𝜑𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
21elexd 3407 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
3 1nn 11313 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
5 iinhoiicclem.k . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
6 iinhoiicclem.a . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 iinhoiicclem.b . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 peano2re 10491 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
109rexrd 10371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
11 icossre 12468 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ*) → (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ ℝ)
126, 10, 11syl2anc 575 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ ℝ)
135, 12ixpssixp 39759 . . . . . . . 8 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
14 oveq2 6879 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
15 1div1e1 10999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 1) = 1
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (1 / 1) = 1)
1714, 16eqtrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = 1)
1817oveq2d 6887 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + 1))
1918oveq2d 6887 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
2019ixpeq2dv 8158 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
2120sseq1d 3826 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ ↔ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ))
2221rspcev 3501 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
234, 13, 22syl2anc 575 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
24 iinss 4759 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 ℝ)
2625, 1sseldd 3796 . . . . 5 (𝜑𝐹X𝑘𝑋 ℝ)
27 elixpconstg 39756 . . . . . 6 (𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → (𝐹X𝑘𝑋 ℝ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
281, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹X𝑘𝑋 ℝ ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
2926, 28mpbid 223 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
3029ffnd 6254 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
3129ffvelrnda 6578 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
326rexrd 10371 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33 ssid 3817 . . . . . . . . . . . . 13 X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
3520sseq1d 3826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ↔ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))))
3635rspcev 3501 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℕ ∧ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
374, 34, 36syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
38 iinss 4759 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
4039, 1sseldd 3796 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
4140adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
42 simpr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
43 fvixp2 39874 . . . . . . . 8 ((𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + 1)) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
4441, 42, 43syl2anc 575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1)))
45 icogelb 12439 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + 1))) → 𝐴 ≤ (𝐹𝑘))
4632, 10, 44, 45syl3anc 1483 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ≤ (𝐹𝑘))
4731adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
487adantr 468 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
49 nnrecre 11339 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5049adantl 469 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5148, 50readdcld 10351 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
5232adantr 468 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
53 ressxr 10365 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ*
5453, 51sseldi 3793 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
55 eliin 4713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ V → (𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
562, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
571, 56mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
5857r19.21bi 3119 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
59 elixp2 8146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
6058, 59sylib 209 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))))
6160simp3d 1167 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
6261r19.21bi 3119 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
6362an32s 634 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
64 icoltub 40212 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐹𝑘) < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6552, 54, 63, 64syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6647, 51, 65ltled 10467 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6766ralrimiva 3153 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
68 nfv 2008 . . . . . . . 8 𝑛(𝜑𝑘𝑋)
6953, 31sseldi 3793 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
7068, 69, 7xrralrecnnle 40079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑘) ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
7167, 70mpbird 248 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ≤ 𝐵)
726, 7, 31, 46, 71eliccd 40207 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7372ex 399 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑋 → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
745, 73ralrimi 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵))
752, 30, 743jca 1151 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
76 elixp2 8146 . 2 (𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ (𝐴[,]𝐵)))
7775, 76sylibr 225 1 (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wnf 1863  wcel 2158  wral 3095  wrex 3096  Vcvv 3390  wss 3766   ciin 4709   class class class wbr 4840   Fn wfn 6093  wf 6094  cfv 6098  (class class class)co 6871  Xcixp 8142  cr 10217  1c1 10219   + caddc 10221  *cxr 10355   < clt 10356  cle 10357   / cdiv 10966  cn 11302  [,)cico 12391  [,]cicc 12392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-cnex 10274  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294  ax-pre-mulgt0 10295  ax-pre-sup 10296
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-iun 4710  df-iin 4711  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-om 7293  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-er 7976  df-ixp 8143  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-sup 8584  df-inf 8585  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-le 10362  df-sub 10550  df-neg 10551  df-div 10967  df-nn 11303  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-q 12004  df-rp 12043  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fl 12813
This theorem is referenced by:  iinhoiicc  41367
  Copyright terms: Public domain W3C validator