Theorem ssdec 45928

Description: Inclusion relation for a monotonic sequence of sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssdec.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
ssdec.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑚))

Assertion

Ref	Expression
ssdec	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ⊆ (𝐹‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁   𝜑,𝑚

Proof of Theorem ssdec

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdec.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 12896	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eluzelz 12901	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	1, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 5	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7		eluzle 12904	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
8	1, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
9	5	zred 12729	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	leidd 11808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑁)
11	5, 8, 10	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁))
12	6, 11	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
13		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑀))
14	13	sseq1d 3965	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
15	14	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
16		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
17	16	sseq1d 3965	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀) ↔ (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
18	17	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
19		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
20	19	sseq1d 3965	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀) ↔ (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
21	20	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
22		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))
23	22	sseq1d 3965	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀) ↔ (𝐹‘𝑁) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
24	23	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
25		ssidd 3957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀))
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
27		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
28		simplll 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ ℤ)
29		simplr1 1234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℤ)
30		simplr2 1235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ≤ 𝑚)
31	28, 29, 30	3jca 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚))
32		eluz2 12897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚))
33	31, 32	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑁 ∈ ℤ)
35		simplr3 1236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 < 𝑁)
36	33, 34, 35	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
37		elfzo2 13721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
38	36, 37	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
39		ssdec.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑚))
40	27, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑚))
41	40	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑚))
42		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
43		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
44		pm3.35 815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀))) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀))
45	42, 43, 44	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀))
46	45	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀))
47	41, 46	sstrd 3944	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑀))
48	47	3exp 1137	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
49	15, 18, 21, 24, 26, 48	fzind 12723	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
50	12, 49	mpcom 39	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ⊆ (𝐹‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  1c1 11129   + caddc 11131   < clt 11271   ≤ cle 11272  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  ..^cfzo 13713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714

This theorem is used by:  meaiininclem  47322