Theorem ssdec 45542

Description: Inclusion relation for a monotonic sequence of sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssdec.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
ssdec.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑚))

Assertion

Ref	Expression
ssdec	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ⊆ (𝐹‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁   𝜑,𝑚

Proof of Theorem ssdec

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdec.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 12791	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eluzelz 12796	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 5	jca 516	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7		eluzle 12799	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
9	5	zred 12631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	leidd 11714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑁)
11	5, 8, 10	3jca 1134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁))
12	6, 11	jca 516	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
13		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑀))
14	13	sseq1d 3953	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
15	14	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
16		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
17	16	sseq1d 3953	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀) ↔ (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
18	17	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
19		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
20	19	sseq1d 3953	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀) ↔ (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
21	20	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
22		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))
23	22	sseq1d 3953	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀) ↔ (𝐹‘𝑁) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
24	23	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
25		ssidd 3945	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀))
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
27		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
28		simplll 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ ℤ)
29		simplr1 1222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℤ)
30		simplr2 1223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ≤ 𝑚)
31	28, 29, 30	3jca 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚))
32		eluz2 12792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚))
33	31, 32	sylibr 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		simpllr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑁 ∈ ℤ)
35		simplr3 1224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 < 𝑁)
36	33, 34, 35	3jca 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
37		elfzo2 13614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
38	36, 37	sylibr 235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
39		ssdec.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑚))
40	27, 38, 39	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑚))
41	40	3adant2 1137	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑚))
42		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
43		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
44		pm3.35 808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀))) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀))
45	42, 43, 44	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀))
46	45	3adant1 1136	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀))
47	41, 46	sstrd 3932	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑀))
48	47	3exp 1125	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
49	15, 18, 21, 24, 26, 48	fzind 12625	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
50	12, 49	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ⊆ (𝐹‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  1c1 11037   + caddc 11039   < clt 11177   ≤ cle 11178  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ..^cfzo 13606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607

This theorem is referenced by:  meaiininclem  46936