Theorem ssdec 46046

Description: Inclusion relation for a monotonic sequence of sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssdec.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
ssdec.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑚))

Assertion

Ref	Expression
ssdec	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ⊆ (𝐹‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐹   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁   𝜑,𝑚

Proof of Theorem ssdec

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdec.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 12951	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eluzelz 12956	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	1, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 5	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7		eluzle 12959	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
8	1, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
9	5	zred 12784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	leidd 11863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑁)
11	5, 8, 10	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁))
12	6, 11	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
13		fveq2 6877	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑀))
14	13	sseq1d 3962	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀) ↔ (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
15	14	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
16		fveq2 6877	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
17	16	sseq1d 3962	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀) ↔ (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
18	17	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
19		fveq2 6877	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
20	19	sseq1d 3962	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀) ↔ (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
21	20	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
22		fveq2 6877	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑁))
23	22	sseq1d 3962	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀) ↔ (𝐹‘𝑁) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
24	23	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
25		ssidd 3954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀))
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
27		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
28		simplll 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ ℤ)
29		simplr1 1234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℤ)
30		simplr2 1235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ≤ 𝑚)
31	28, 29, 30	3jca 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚))
32		eluz2 12952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚))
33	31, 32	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑁 ∈ ℤ)
35		simplr3 1236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 < 𝑁)
36	33, 34, 35	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
37		elfzo2 13776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
38	36, 37	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
39		ssdec.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑚))
40	27, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑚))
41	40	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑚))
42		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
43		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
44		pm3.35 815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀))) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀))
45	42, 43, 44	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀))
46	45	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀))
47	41, 46	sstrd 3941	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑀))
48	47	3exp 1137	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚 < 𝑁)) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ⊆ (𝐹‘𝑀)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹‘𝑀))))
49	15, 18, 21, 24, 26, 48	fzind 12778	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)) → (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ⊆ (𝐹‘𝑀)))
50	12, 49	mpcom 39	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ⊆ (𝐹‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  1c1 11182   + caddc 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ..^cfzo 13768

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769

This theorem is used by:  meaiininclem  47440