Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssdec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssdec 44454
Description: Inclusion relation for a monotonic sequence of sets. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ssdec.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
ssdec.2 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹𝑚))
Assertion
Ref Expression
ssdec (𝜑 → (𝐹𝑁) ⊆ (𝐹𝑀))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁   𝜑,𝑚

Proof of Theorem ssdec
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssdec.1 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 12858 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 eluzelz 12863 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
63, 5jca 511 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7 eluzle 12866 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀𝑁)
95zred 12697 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
109leidd 11811 . . . 4 (𝜑𝑁𝑁)
115, 8, 103jca 1126 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁𝑁𝑁))
126, 11jca 511 . 2 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁𝑁𝑁)))
13 fveq2 6897 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑀))
1413sseq1d 4011 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → ((𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑀) ↔ (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑀)))
1514imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑀))))
16 fveq2 6897 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
1716sseq1d 4011 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑀) ↔ (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀)))
1817imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 𝑚 → ((𝜑 → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀))))
19 fveq2 6897 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
2019sseq1d 4011 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑀) ↔ (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹𝑀)))
2120imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹𝑀))))
22 fveq2 6897 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑁))
2322sseq1d 4011 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑀) ↔ (𝐹𝑁) ⊆ (𝐹𝑀)))
2423imbi2d 340 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐹𝑀)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑁) ⊆ (𝐹𝑀))))
25 ssidd 4003 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑀))
2625a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ (𝐹𝑀)))
27 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
28 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ ℤ)
29 simplr1 1213 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ ℤ)
30 simplr2 1214 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑀𝑚)
3128, 29, 303jca 1126 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚))
32 eluz2 12859 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚))
3331, 32sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
34 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑁 ∈ ℤ)
35 simplr3 1215 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 < 𝑁)
3633, 34, 353jca 1126 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
37 elfzo2 13668 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 < 𝑁))
3836, 37sylibr 233 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → 𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁))
39 ssdec.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹𝑚))
4027, 38, 39syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹𝑚))
41403adant2 1129 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹𝑚))
42 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀)) ∧ 𝜑) → 𝜑)
43 simpl 482 . . . . . . 7 (((𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀)))
44 pm3.35 802 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀))) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀))
4542, 43, 44syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀))
46453adant1 1128 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀))
4741, 46sstrd 3990 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀)) ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹𝑀))
48473exp 1117 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑚𝑚 < 𝑁)) → ((𝜑 → (𝐹𝑚) ⊆ (𝐹𝑀)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑚 + 1)) ⊆ (𝐹𝑀))))
4915, 18, 21, 24, 26, 48fzind 12691 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁𝑁𝑁)) → (𝜑 → (𝐹𝑁) ⊆ (𝐹𝑀)))
5012, 49mpcom 38 1 (𝜑 → (𝐹𝑁) ⊆ (𝐹𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3947   class class class wbr 5148  cfv 6548  (class class class)co 7420  1c1 11140   + caddc 11142   < clt 11279  cle 11280  cz 12589  cuz 12853  ..^cfzo 13660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661
This theorem is referenced by:  meaiininclem  45874
  Copyright terms: Public domain W3C validator