Theorem elovmpo 7666

Description: Utility lemma for two-parameter classes.

EDITORIAL: can simplify islmhm 21302. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elovmpo.d	⊢ 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
elovmpo.c	⊢ 𝐶 ∈ V
elovmpo.e	⊢ ((𝑎 = 𝑋 ∧ 𝑏 = 𝑌) → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
elovmpo	⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑎, 𝑏)   𝐷(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem elovmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmpo.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	elmpocl 7662	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
3		elovmpo.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ V
4	3	gen2 1828	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑎∀𝑏 𝐶 ∈ V
5		elovmpo.e	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑋 ∧ 𝑏 = 𝑌) → 𝐶 = 𝐸)
6	5	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑋 ∧ 𝑏 = 𝑌) → (𝐶 ∈ V ↔ 𝐸 ∈ V))
7	6	spc2gv 3554	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑎∀𝑏 𝐶 ∈ V → 𝐸 ∈ V))
8	4, 7	mpi 21	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ V)
9	5, 1	ovmpoga 7574	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑋𝐷𝑌) = 𝐸)
10	8, 9	mpd3an3 1491	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐷𝑌) = 𝐸)
11	10	eleq2d 2846	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) ↔ 𝐹 ∈ 𝐸))
12	2, 11	biadanii 834	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ 𝐸))
13		df-3an 1105	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐹 ∈ 𝐸))
14	12, 13	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐷𝑌) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ∈ 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425

This theorem is used by:  isgim  19476  oppglsm  19856  islmim  21337  sn-isghm  43685