Theorem ovmpoga 7512

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpoga.1	⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑅 = 𝑆)
ovmpoga.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ovmpoga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpoga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3460	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐻 → 𝑆 ∈ V)
2		ovmpoga.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅))
4		ovmpoga.1	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑅 = 𝑆)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) → 𝑅 = 𝑆)
6		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → 𝐴 ∈ 𝐶)
7		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → 𝐵 ∈ 𝐷)
8		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
9	3, 5, 6, 7, 8	ovmpod 7510	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)
10	1, 9	syl3an3 1166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-dif 3903  df-un 3905  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363

This theorem is referenced by:  ovmpoa  7513  ovmpog  7517  elovmpo  7603  offval  7631  offval3  7926  bropopvvv  8032  reps  14695  hashbcval  16932  setsvalg  17095  ressval  17162  restval  17348  sylow1lem4  19532  sylow3lem2  19559  sylow3lem3  19560  lsmvalx  19570  mvrfval  21938  opsrval  22003  marrepfval  22506  marrepval0  22507  marepvfval  22511  marepvval0  22512  cnmpt12  23613  cnmpt22  23620  qtopval  23641  flimval  23909  fclsval  23954  ucnval  24222  stdbdmetval  24460  erlval  33319  rlocval  33320  rlocaddval  33329  rlocmulval  33330  fldgenval  33373  resvval  33389  irngval  33821  minplyval  33841  ofcfval3  34238  fmulcl  45864  imasubclem3  49388