Theorem ovmpoga 7569

Description: Value of an operation given by a maps-to rule. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpoga.1	⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑅 = 𝑆)
ovmpoga.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ovmpoga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpoga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3488	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐻 → 𝑆 ∈ V)
2		ovmpoga.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅)
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅))
4		ovmpoga.1	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑅 = 𝑆)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) → 𝑅 = 𝑆)
6		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → 𝐴 ∈ 𝐶)
7		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → 𝐵 ∈ 𝐷)
8		simp3 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
9	3, 5, 6, 7, 8	ovmpod 7567	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)
10	1, 9	syl3an3 1163	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝑆 ∈ 𝐻) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419

This theorem is referenced by:  ovmpoa  7570  ovmpog  7574  elovmpo  7660  offval  7688  offval3  7980  mptmpoopabbrdOLDOLD  8082  bropopvvv  8089  reps  14746  hashbcval  16964  setsvalg  17128  ressval  17205  restval  17401  sylow1lem4  19549  sylow3lem2  19576  sylow3lem3  19577  lsmvalx  19587  mvrfval  21916  opsrval  21977  marrepfval  22455  marrepval0  22456  marepvfval  22460  marepvval0  22461  cnmpt12  23564  cnmpt22  23571  qtopval  23592  flimval  23860  fclsval  23905  ucnval  24175  stdbdmetval  24416  erlval  32966  rlocval  32967  rlocaddval  32976  rlocmulval  32977  fldgenval  32993  resvval  33032  irngval  33349  minplyval  33366  ofcfval3  33711  fmulcl  44941