MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppglsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppglsm 19432
Description: The subspace sum operation in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 2-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
oppglsm.o 𝑂 = (oppgβ€˜πΊ)
oppglsm.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
oppglsm (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇)

Proof of Theorem oppglsm
Dummy variables 𝑒 𝑑 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppglsm.o . . . . . . 7 𝑂 = (oppgβ€˜πΊ)
21fvexi 6860 . . . . . 6 𝑂 ∈ V
3 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
41, 3oppgbas 19138 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘‚)
5 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘‚) = (+gβ€˜π‘‚)
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (LSSumβ€˜π‘‚) = (LSSumβ€˜π‘‚)
74, 5, 6lsmfval 19428 . . . . . 6 (𝑂 ∈ V β†’ (LSSumβ€˜π‘‚) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))))
82, 7ax-mp 5 . . . . 5 (LSSumβ€˜π‘‚) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)))
9 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
10 oppglsm.p . . . . . . . 8 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
113, 9, 10lsmfval 19428 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ V β†’ βŠ• = (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
1211tposeqd 8164 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V β†’ tpos βŠ• = tpos (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
13 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
1413reldmmpo 7494 . . . . . . . . . . . 12 Rel dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
1513mpofun 7484 . . . . . . . . . . . . 13 Fun (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
16 funforn 6767 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) ↔ (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
1715, 16mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
18 tposfo2 8184 . . . . . . . . . . . 12 (Rel dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β†’ tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):β—‘dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
1914, 17, 18mp2 9 . . . . . . . . . . 11 tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):β—‘dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
20 forn 6763 . . . . . . . . . . 11 (tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):β—‘dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β†’ ran tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ran tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
229, 1, 5oppgplus 19135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)
2322eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝑒 ∧ π‘₯ ∈ 𝑑) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2524mpoeq3ia 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2625tposmpo 8198 . . . . . . . . . . 11 tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2726rneqi 5896 . . . . . . . . . 10 ran tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2821, 27eqtr3i 2763 . . . . . . . . 9 ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)))
3029mpoeq3ia 7439 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))) = (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)))
3130tposmpo 8198 . . . . . 6 tpos (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)))
3212, 31eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝐺 ∈ V β†’ tpos βŠ• = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))))
338, 32eqtr4id 2792 . . . 4 (𝐺 ∈ V β†’ (LSSumβ€˜π‘‚) = tpos βŠ• )
3433oveqd 7378 . . 3 (𝐺 ∈ V β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (𝑇tpos βŠ• π‘ˆ))
35 ovtpos 8176 . . 3 (𝑇tpos βŠ• π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇)
3634, 35eqtrdi 2789 . 2 (𝐺 ∈ V β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇))
37 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)
38 0ex 5268 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
39 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((𝑑 = 𝑇 ∧ 𝑒 = π‘ˆ) β†’ βˆ… = βˆ…)
4037, 38, 39elovmpo 7602 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ βˆ…))
4140simp3bi 1148 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ βˆ…)
4241ssriv 3952 . . . 4 (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) βŠ† βˆ…
43 ss0 4362 . . . 4 ((𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) βŠ† βˆ… β†’ (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) = βˆ…)
4442, 43ax-mp 5 . . 3 (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) = βˆ…
45 elpwi 4571 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) β†’ 𝑑 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
46453ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑑 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
47 fvprc 6838 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆ…)
48473ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆ…)
4946, 48sseqtrd 3988 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑑 βŠ† βˆ…)
50 ss0 4362 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 βŠ† βˆ… β†’ 𝑑 = βˆ…)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑑 = βˆ…)
5251orcd 872 . . . . . . . . 9 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑑 = βˆ… ∨ 𝑒 = βˆ…))
53 0mpo0 7444 . . . . . . . . 9 ((𝑑 = βˆ… ∨ 𝑒 = βˆ…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)) = βˆ…)
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)) = βˆ…)
5554rneqd 5897 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)) = ran βˆ…)
56 rn0 5885 . . . . . . 7 ran βˆ… = βˆ…
5755, 56eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)) = βˆ…)
5857mpoeq3dva 7438 . . . . 5 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…))
598, 58eqtrid 2785 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (LSSumβ€˜π‘‚) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…))
6059oveqd 7378 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ))
61 fvprc 6838 . . . . . 6 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (LSSumβ€˜πΊ) = βˆ…)
6210, 61eqtrid 2785 . . . . 5 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ βŠ• = βˆ…)
6362oveqd 7378 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑇) = (π‘ˆβˆ…π‘‡))
64 0ov 7398 . . . 4 (π‘ˆβˆ…π‘‡) = βˆ…
6563, 64eqtrdi 2789 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑇) = βˆ…)
6644, 60, 653eqtr4a 2799 . 2 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇))
6736, 66pm2.61i 182 1 (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637  ran crn 5638  Rel wrel 5642  Fun wfun 6494  β€“ontoβ†’wfo 6498  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  tpos ctpos 8160  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  oppgcoppg 19131  LSSumclsm 19424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-oppg 19132  df-lsm 19426
This theorem is referenced by:  lsmmod2  19466  lsmdisj2r  19475  lsmsnorb2  32228
  Copyright terms: Public domain W3C validator