MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppglsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppglsm 19509
Description: The subspace sum operation in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 2-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
oppglsm.o 𝑂 = (oppgβ€˜πΊ)
oppglsm.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
oppglsm (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇)

Proof of Theorem oppglsm
Dummy variables 𝑒 𝑑 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppglsm.o . . . . . . 7 𝑂 = (oppgβ€˜πΊ)
21fvexi 6905 . . . . . 6 𝑂 ∈ V
3 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
41, 3oppgbas 19215 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘‚)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘‚) = (+gβ€˜π‘‚)
6 eqid 2732 . . . . . . 7 (LSSumβ€˜π‘‚) = (LSSumβ€˜π‘‚)
74, 5, 6lsmfval 19505 . . . . . 6 (𝑂 ∈ V β†’ (LSSumβ€˜π‘‚) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))))
82, 7ax-mp 5 . . . . 5 (LSSumβ€˜π‘‚) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)))
9 eqid 2732 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
10 oppglsm.p . . . . . . . 8 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
113, 9, 10lsmfval 19505 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ V β†’ βŠ• = (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
1211tposeqd 8213 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V β†’ tpos βŠ• = tpos (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
13 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
1413reldmmpo 7542 . . . . . . . . . . . 12 Rel dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
1513mpofun 7531 . . . . . . . . . . . . 13 Fun (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
16 funforn 6812 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) ↔ (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
1715, 16mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
18 tposfo2 8233 . . . . . . . . . . . 12 (Rel dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β†’ tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):β—‘dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
1914, 17, 18mp2 9 . . . . . . . . . . 11 tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):β—‘dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
20 forn 6808 . . . . . . . . . . 11 (tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):β—‘dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β†’ ran tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ran tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
229, 1, 5oppgplus 19212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)
2322eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝑒 ∧ π‘₯ ∈ 𝑑) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2524mpoeq3ia 7486 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2625tposmpo 8247 . . . . . . . . . . 11 tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2726rneqi 5936 . . . . . . . . . 10 ran tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2821, 27eqtr3i 2762 . . . . . . . . 9 ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)))
3029mpoeq3ia 7486 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))) = (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)))
3130tposmpo 8247 . . . . . 6 tpos (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)))
3212, 31eqtrdi 2788 . . . . 5 (𝐺 ∈ V β†’ tpos βŠ• = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))))
338, 32eqtr4id 2791 . . . 4 (𝐺 ∈ V β†’ (LSSumβ€˜π‘‚) = tpos βŠ• )
3433oveqd 7425 . . 3 (𝐺 ∈ V β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (𝑇tpos βŠ• π‘ˆ))
35 ovtpos 8225 . . 3 (𝑇tpos βŠ• π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇)
3634, 35eqtrdi 2788 . 2 (𝐺 ∈ V β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇))
37 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)
38 0ex 5307 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
39 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((𝑑 = 𝑇 ∧ 𝑒 = π‘ˆ) β†’ βˆ… = βˆ…)
4037, 38, 39elovmpo 7650 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ βˆ…))
4140simp3bi 1147 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ βˆ…)
4241ssriv 3986 . . . 4 (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) βŠ† βˆ…
43 ss0 4398 . . . 4 ((𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) βŠ† βˆ… β†’ (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) = βˆ…)
4442, 43ax-mp 5 . . 3 (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) = βˆ…
45 elpwi 4609 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) β†’ 𝑑 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
46453ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑑 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
47 fvprc 6883 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆ…)
48473ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆ…)
4946, 48sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑑 βŠ† βˆ…)
50 ss0 4398 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 βŠ† βˆ… β†’ 𝑑 = βˆ…)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑑 = βˆ…)
5251orcd 871 . . . . . . . . 9 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑑 = βˆ… ∨ 𝑒 = βˆ…))
53 0mpo0 7491 . . . . . . . . 9 ((𝑑 = βˆ… ∨ 𝑒 = βˆ…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)) = βˆ…)
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)) = βˆ…)
5554rneqd 5937 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)) = ran βˆ…)
56 rn0 5925 . . . . . . 7 ran βˆ… = βˆ…
5755, 56eqtrdi 2788 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)) = βˆ…)
5857mpoeq3dva 7485 . . . . 5 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…))
598, 58eqtrid 2784 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (LSSumβ€˜π‘‚) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…))
6059oveqd 7425 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ))
61 fvprc 6883 . . . . . 6 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (LSSumβ€˜πΊ) = βˆ…)
6210, 61eqtrid 2784 . . . . 5 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ βŠ• = βˆ…)
6362oveqd 7425 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑇) = (π‘ˆβˆ…π‘‡))
64 0ov 7445 . . . 4 (π‘ˆβˆ…π‘‡) = βˆ…
6563, 64eqtrdi 2788 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑇) = βˆ…)
6644, 60, 653eqtr4a 2798 . 2 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇))
6736, 66pm2.61i 182 1 (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677  Rel wrel 5681  Fun wfun 6537  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  tpos ctpos 8209  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  oppgcoppg 19208  LSSumclsm 19501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-oppg 19209  df-lsm 19503
This theorem is referenced by:  lsmmod2  19543  lsmdisj2r  19552  lsmsnorb2  32497
  Copyright terms: Public domain W3C validator