MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppglsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppglsm 19510
Description: The subspace sum operation in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 2-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
oppglsm.o 𝑂 = (oppgβ€˜πΊ)
oppglsm.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
oppglsm (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇)

Proof of Theorem oppglsm
Dummy variables 𝑒 𝑑 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppglsm.o . . . . . . 7 𝑂 = (oppgβ€˜πΊ)
21fvexi 6906 . . . . . 6 𝑂 ∈ V
3 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
41, 3oppgbas 19216 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘‚)
5 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘‚) = (+gβ€˜π‘‚)
6 eqid 2733 . . . . . . 7 (LSSumβ€˜π‘‚) = (LSSumβ€˜π‘‚)
74, 5, 6lsmfval 19506 . . . . . 6 (𝑂 ∈ V β†’ (LSSumβ€˜π‘‚) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))))
82, 7ax-mp 5 . . . . 5 (LSSumβ€˜π‘‚) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)))
9 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
10 oppglsm.p . . . . . . . 8 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
113, 9, 10lsmfval 19506 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ V β†’ βŠ• = (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
1211tposeqd 8214 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V β†’ tpos βŠ• = tpos (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
13 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
1413reldmmpo 7543 . . . . . . . . . . . 12 Rel dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
1513mpofun 7532 . . . . . . . . . . . . 13 Fun (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
16 funforn 6813 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) ↔ (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
1715, 16mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
18 tposfo2 8234 . . . . . . . . . . . 12 (Rel dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β†’ tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):β—‘dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
1914, 17, 18mp2 9 . . . . . . . . . . 11 tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):β—‘dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
20 forn 6809 . . . . . . . . . . 11 (tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):β—‘dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β†’ ran tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ran tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
229, 1, 5oppgplus 19213 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)
2322eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝑒 ∧ π‘₯ ∈ 𝑑) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2524mpoeq3ia 7487 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2625tposmpo 8248 . . . . . . . . . . 11 tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2726rneqi 5937 . . . . . . . . . 10 ran tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2821, 27eqtr3i 2763 . . . . . . . . 9 ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)))
3029mpoeq3ia 7487 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))) = (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)))
3130tposmpo 8248 . . . . . 6 tpos (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)))
3212, 31eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝐺 ∈ V β†’ tpos βŠ• = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))))
338, 32eqtr4id 2792 . . . 4 (𝐺 ∈ V β†’ (LSSumβ€˜π‘‚) = tpos βŠ• )
3433oveqd 7426 . . 3 (𝐺 ∈ V β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (𝑇tpos βŠ• π‘ˆ))
35 ovtpos 8226 . . 3 (𝑇tpos βŠ• π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇)
3634, 35eqtrdi 2789 . 2 (𝐺 ∈ V β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇))
37 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)
38 0ex 5308 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
39 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((𝑑 = 𝑇 ∧ 𝑒 = π‘ˆ) β†’ βˆ… = βˆ…)
4037, 38, 39elovmpo 7651 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ βˆ…))
4140simp3bi 1148 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ βˆ…)
4241ssriv 3987 . . . 4 (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) βŠ† βˆ…
43 ss0 4399 . . . 4 ((𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) βŠ† βˆ… β†’ (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) = βˆ…)
4442, 43ax-mp 5 . . 3 (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) = βˆ…
45 elpwi 4610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) β†’ 𝑑 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
46453ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑑 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
47 fvprc 6884 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆ…)
48473ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆ…)
4946, 48sseqtrd 4023 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑑 βŠ† βˆ…)
50 ss0 4399 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 βŠ† βˆ… β†’ 𝑑 = βˆ…)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑑 = βˆ…)
5251orcd 872 . . . . . . . . 9 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑑 = βˆ… ∨ 𝑒 = βˆ…))
53 0mpo0 7492 . . . . . . . . 9 ((𝑑 = βˆ… ∨ 𝑒 = βˆ…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)) = βˆ…)
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)) = βˆ…)
5554rneqd 5938 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)) = ran βˆ…)
56 rn0 5926 . . . . . . 7 ran βˆ… = βˆ…
5755, 56eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)) = βˆ…)
5857mpoeq3dva 7486 . . . . 5 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…))
598, 58eqtrid 2785 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (LSSumβ€˜π‘‚) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…))
6059oveqd 7426 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ))
61 fvprc 6884 . . . . . 6 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (LSSumβ€˜πΊ) = βˆ…)
6210, 61eqtrid 2785 . . . . 5 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ βŠ• = βˆ…)
6362oveqd 7426 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑇) = (π‘ˆβˆ…π‘‡))
64 0ov 7446 . . . 4 (π‘ˆβˆ…π‘‡) = βˆ…
6563, 64eqtrdi 2789 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑇) = βˆ…)
6644, 60, 653eqtr4a 2799 . 2 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇))
6736, 66pm2.61i 182 1 (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678  Rel wrel 5682  Fun wfun 6538  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  tpos ctpos 8210  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  oppgcoppg 19209  LSSumclsm 19502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-oppg 19210  df-lsm 19504
This theorem is referenced by:  lsmmod2  19544  lsmdisj2r  19553  lsmsnorb2  32502
  Copyright terms: Public domain W3C validator