MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppglsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppglsm 19551
Description: The subspace sum operation in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 2-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
oppglsm.o 𝑂 = (oppgβ€˜πΊ)
oppglsm.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
oppglsm (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇)

Proof of Theorem oppglsm
Dummy variables 𝑒 𝑑 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppglsm.o . . . . . . 7 𝑂 = (oppgβ€˜πΊ)
21fvexi 6904 . . . . . 6 𝑂 ∈ V
3 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
41, 3oppgbas 19257 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘‚)
5 eqid 2730 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘‚) = (+gβ€˜π‘‚)
6 eqid 2730 . . . . . . 7 (LSSumβ€˜π‘‚) = (LSSumβ€˜π‘‚)
74, 5, 6lsmfval 19547 . . . . . 6 (𝑂 ∈ V β†’ (LSSumβ€˜π‘‚) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))))
82, 7ax-mp 5 . . . . 5 (LSSumβ€˜π‘‚) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)))
9 eqid 2730 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
10 oppglsm.p . . . . . . . 8 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
113, 9, 10lsmfval 19547 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ V β†’ βŠ• = (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
1211tposeqd 8216 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V β†’ tpos βŠ• = tpos (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
13 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
1413reldmmpo 7545 . . . . . . . . . . . 12 Rel dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
1513mpofun 7534 . . . . . . . . . . . . 13 Fun (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
16 funforn 6811 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) ↔ (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
1715, 16mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
18 tposfo2 8236 . . . . . . . . . . . 12 (Rel dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β†’ tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):β—‘dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))))
1914, 17, 18mp2 9 . . . . . . . . . . 11 tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):β—‘dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
20 forn 6807 . . . . . . . . . . 11 (tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)):β—‘dom (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β†’ ran tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ran tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
229, 1, 5oppgplus 19254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)
2322eqcomi 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝑒 ∧ π‘₯ ∈ 𝑑) β†’ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2524mpoeq3ia 7489 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2625tposmpo 8250 . . . . . . . . . . 11 tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2726rneqi 5935 . . . . . . . . . 10 ran tpos (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2821, 27eqtr3i 2760 . . . . . . . . 9 ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)))
3029mpoeq3ia 7489 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))) = (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)))
3130tposmpo 8250 . . . . . 6 tpos (𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (𝑦 ∈ 𝑒, π‘₯ ∈ 𝑑 ↦ (𝑦(+gβ€˜πΊ)π‘₯))) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)))
3212, 31eqtrdi 2786 . . . . 5 (𝐺 ∈ V β†’ tpos βŠ• = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))))
338, 32eqtr4id 2789 . . . 4 (𝐺 ∈ V β†’ (LSSumβ€˜π‘‚) = tpos βŠ• )
3433oveqd 7428 . . 3 (𝐺 ∈ V β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (𝑇tpos βŠ• π‘ˆ))
35 ovtpos 8228 . . 3 (𝑇tpos βŠ• π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇)
3634, 35eqtrdi 2786 . 2 (𝐺 ∈ V β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇))
37 eqid 2730 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)
38 0ex 5306 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
39 eqidd 2731 . . . . . . 7 ((𝑑 = 𝑇 ∧ 𝑒 = π‘ˆ) β†’ βˆ… = βˆ…)
4037, 38, 39elovmpo 7653 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ βˆ…))
4140simp3bi 1145 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ βˆ…)
4241ssriv 3985 . . . 4 (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) βŠ† βˆ…
43 ss0 4397 . . . 4 ((𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) βŠ† βˆ… β†’ (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) = βˆ…)
4442, 43ax-mp 5 . . 3 (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ) = βˆ…
45 elpwi 4608 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) β†’ 𝑑 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
46453ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑑 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
47 fvprc 6882 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆ…)
48473ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) = βˆ…)
4946, 48sseqtrd 4021 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑑 βŠ† βˆ…)
50 ss0 4397 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 βŠ† βˆ… β†’ 𝑑 = βˆ…)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑑 = βˆ…)
5251orcd 869 . . . . . . . . 9 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑑 = βˆ… ∨ 𝑒 = βˆ…))
53 0mpo0 7494 . . . . . . . . 9 ((𝑑 = βˆ… ∨ 𝑒 = βˆ…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)) = βˆ…)
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)) = βˆ…)
5554rneqd 5936 . . . . . . 7 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)) = ran βˆ…)
56 rn0 5924 . . . . . . 7 ran βˆ… = βˆ…
5755, 56eqtrdi 2786 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦)) = βˆ…)
5857mpoeq3dva 7488 . . . . 5 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ ran (π‘₯ ∈ 𝑑, 𝑦 ∈ 𝑒 ↦ (π‘₯(+gβ€˜π‘‚)𝑦))) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…))
598, 58eqtrid 2782 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (LSSumβ€˜π‘‚) = (𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…))
6059oveqd 7428 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (𝑇(𝑑 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ), 𝑒 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↦ βˆ…)π‘ˆ))
61 fvprc 6882 . . . . . 6 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (LSSumβ€˜πΊ) = βˆ…)
6210, 61eqtrid 2782 . . . . 5 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ βŠ• = βˆ…)
6362oveqd 7428 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑇) = (π‘ˆβˆ…π‘‡))
64 0ov 7448 . . . 4 (π‘ˆβˆ…π‘‡) = βˆ…
6563, 64eqtrdi 2786 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑇) = βˆ…)
6644, 60, 653eqtr4a 2796 . 2 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇))
6736, 66pm2.61i 182 1 (𝑇(LSSumβ€˜π‘‚)π‘ˆ) = (π‘ˆ βŠ• 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676  Rel wrel 5680  Fun wfun 6536  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  tpos ctpos 8212  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  oppgcoppg 19250  LSSumclsm 19543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-oppg 19251  df-lsm 19545
This theorem is referenced by:  lsmmod2  19585  lsmdisj2r  19594  lsmsnorb2  32776
  Copyright terms: Public domain W3C validator