MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluniima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluniima 7198
Description: Membership in the union of an image of a function. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.)
Assertion
Ref Expression
eluniima (Fun 𝐹 → (𝐵 (𝐹𝐴) ↔ ∃𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐹𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem eluniima
StepHypRef Expression
1 funiunfv 7196 . . 3 (Fun 𝐹 𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
21eleq2d 2820 . 2 (Fun 𝐹 → (𝐵 𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ↔ 𝐵 (𝐹𝐴)))
3 eliun 4959 . 2 (𝐵 𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐹𝑥))
42, 3bitr3di 286 1 (Fun 𝐹 → (𝐵 (𝐹𝐴) ↔ ∃𝑥𝐴 𝐵 ∈ (𝐹𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2107  wrex 3070   cuni 4866   ciun 4955  cima 5637  Fun wfun 6491  cfv 6497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-fv 6505
This theorem is referenced by:  elunirnALT  7200  ttrclse  9668  alephfp  10049  acsficl2d  18446  elhf  34805
  Copyright terms: Public domain W3C validator