Theorem elhf 36666

Description: Membership in the hereditarily finite sets. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elhf	⊢ (𝐴 ∈ Hf ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elhf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hf 36665	. . 3 ⊢ Hf = ∪ (𝑅1 “ ω)
2	1	eleq2i 2855	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf ↔ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
3		r111 9743	. . 3 ⊢ 𝑅1:On–1-1→V
4		f1fun 6776	. . 3 ⊢ (𝑅1:On–1-1→V → Fun 𝑅1)
5		eluniima 7248	. . 3 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥)))
6	3, 4, 5	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥))
7	2, 6	bitri 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ Hf ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  Vcvv 3455  ∪ cuni 4872   “ cima 5664  Oncon0 6360  Fun wfun 6530  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  ωcom 7858  𝑅₁cr1 9730   Hf chf 36664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-r1 9732  df-hf 36665

This theorem is referenced by:  elhf2  36667  0hf  36669