Theorem elhf 36524

Description: Membership in the hereditarily finite sets. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elhf	⊢ (𝐴 ∈ Hf ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elhf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hf 36523	. . 3 ⊢ Hf = ∪ (𝑅1 “ ω)
2	1	eleq2i 2854	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf ↔ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
3		r111 9733	. . 3 ⊢ 𝑅1:On–1-1→V
4		f1fun 6762	. . 3 ⊢ (𝑅1:On–1-1→V → Fun 𝑅1)
5		eluniima 7234	. . 3 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥)))
6	3, 4, 5	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥))
7	2, 6	bitri 277	1 ⊢ (𝐴 ∈ Hf ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑥))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3086  Vcvv 3454  ∪ cuni 4865   “ cima 5650  Oncon0 6346  Fun wfun 6515  –1-1→wf1 6518  ‘cfv 6521  ωcom 7846  𝑅₁cr1 9720   Hf chf 36522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-r1 9722  df-hf 36523

This theorem is referenced by:  elhf2  36525  0hf  36527