Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elhf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elhf 35146
Description: Membership in the hereditarily finite sets. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
elhf (𝐴 ∈ Hf ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ Ο‰ 𝐴 ∈ (𝑅1β€˜π‘₯))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴

Proof of Theorem elhf
StepHypRef Expression
1 df-hf 35145 . . 3 Hf = βˆͺ (𝑅1 β€œ Ο‰)
21eleq2i 2826 . 2 (𝐴 ∈ Hf ↔ 𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ Ο‰))
3 r111 9770 . . 3 𝑅1:On–1-1β†’V
4 f1fun 6790 . . 3 (𝑅1:On–1-1β†’V β†’ Fun 𝑅1)
5 eluniima 7249 . . 3 (Fun 𝑅1 β†’ (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ Ο‰) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ Ο‰ 𝐴 ∈ (𝑅1β€˜π‘₯)))
63, 4, 5mp2b 10 . 2 (𝐴 ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ Ο‰) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ Ο‰ 𝐴 ∈ (𝑅1β€˜π‘₯))
72, 6bitri 275 1 (𝐴 ∈ Hf ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ Ο‰ 𝐴 ∈ (𝑅1β€˜π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475  βˆͺ cuni 4909   β€œ cima 5680  Oncon0 6365  Fun wfun 6538  β€“1-1β†’wf1 6541  β€˜cfv 6544  Ο‰com 7855  π‘…1cr1 9757   Hf chf 35144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-r1 9759  df-hf 35145
This theorem is referenced by:  elhf2  35147  0hf  35149
  Copyright terms: Public domain W3C validator