Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsficl2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsficl2d 17764
 Description: In an algebraic closure system, an element is in the closure of a set if and only if it is in the closure of a finite subset. Alternate form of acsficl 17759. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsficld.1 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsficld.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsficld.3 (𝜑𝑆𝑋)
Assertion
Ref Expression
acsficl2d (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑌   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem acsficl2d
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsficld.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2 acsficld.2 . . . 4 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3 acsficld.3 . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
41, 2, 3acsficld 17763 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑆) = (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
54eleq2d 2897 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁𝑆) ↔ 𝑌 (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))))
61acsmred 16905 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
7 funmpt 6366 . . . 4 Fun (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 {𝑤𝐴𝑧𝑤})
82mrcfval 16857 . . . . 5 (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑁 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 {𝑤𝐴𝑧𝑤}))
98funeqd 6350 . . . 4 (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → (Fun 𝑁 ↔ Fun (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 {𝑤𝐴𝑧𝑤})))
107, 9mpbiri 261 . . 3 (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → Fun 𝑁)
11 eluniima 6983 . . 3 (Fun 𝑁 → (𝑌 (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁𝑥)))
126, 10, 113syl 18 . 2 (𝜑 → (𝑌 (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁𝑥)))
135, 12bitrd 282 1 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁𝑥)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3127  {crab 3130   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  𝒫 cpw 4512  ∪ cuni 4811  ∩ cint 4849   ↦ cmpt 5119   “ cima 5531  Fun wfun 6322  ‘cfv 6328  Fincfn 8484  Moorecmre 16831  mrClscmrc 16832  ACScacs 16834 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ocomp 16564  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-proset 17516  df-drs 17517  df-poset 17534  df-ipo 17740 This theorem is referenced by:  acsfiindd  17765  acsmapd  17766
 Copyright terms: Public domain W3C validator