Theorem acsficl2d 18594

Description: In an algebraic closure system, an element is in the closure of a set if and only if it is in the closure of a finite subset. Alternate form of acsficl 18589. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsficld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsficld.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsficld.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
acsficl2d	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑌   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem acsficl2d

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsficld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2		acsficld.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3		acsficld.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
4	1, 2, 3	acsficld 18593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
5	4	eleq2d 2849	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ 𝑌 ∈ ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))))
6	1	acsmred 17698	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
7		funmpt 6559	. . . 4 ⊢ Fun (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ ∩ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑤})
8	2	mrcfval 17650	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑁 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ ∩ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑤}))
9	8	funeqd 6543	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → (Fun 𝑁 ↔ Fun (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ ∩ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑤})))
10	7, 9	mpbiri 260	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → Fun 𝑁)
11		eluniima 7234	. . 3 ⊢ (Fun 𝑁 → (𝑌 ∈ ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))
12	6, 10, 11	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))
13	5, 12	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3087  {crab 3415   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  ∩ cint 4906   ↦ cmpt 5182   “ cima 5651  Fun wfun 6515  ‘cfv 6521  Fincfn 8927  Moorecmre 17620  mrClscmrc 17621  ACScacs 17623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-fz 13523  df-struct 17193  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ocomp 17317  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-proset 18336  df-drs 18337  df-poset 18355  df-ipo 18570

This theorem is referenced by:  acsfiindd  18595  acsmapd  18596