Theorem acsficl2d 18513

Description: In an algebraic closure system, an element is in the closure of a set if and only if it is in the closure of a finite subset. Alternate form of acsficl 18508. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsficld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsficld.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsficld.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
acsficl2d	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑌   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem acsficl2d

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsficld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2		acsficld.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3		acsficld.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
4	1, 2, 3	acsficld 18512	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
5	4	eleq2d 2823	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ 𝑌 ∈ ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))))
6	1	acsmred 17617	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
7		funmpt 6532	. . . 4 ⊢ Fun (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ ∩ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑤})
8	2	mrcfval 17569	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑁 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ ∩ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑤}))
9	8	funeqd 6516	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → (Fun 𝑁 ↔ Fun (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ ∩ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑤})))
10	7, 9	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → Fun 𝑁)
11		eluniima 7200	. . 3 ⊢ (Fun 𝑁 → (𝑌 ∈ ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))
12	6, 10, 11	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))
13	5, 12	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {crab 3390   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4851  ∩ cint 4890   ↦ cmpt 5167   “ cima 5629  Fun wfun 6488  ‘cfv 6494  Fincfn 8888  Moorecmre 17539  mrClscmrc 17540  ACScacs 17542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ocomp 17236  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-proset 18255  df-drs 18256  df-poset 18274  df-ipo 18489

This theorem is referenced by:  acsfiindd  18514  acsmapd  18515