Theorem acsficl2d 18607

Description: In an algebraic closure system, an element is in the closure of a set if and only if it is in the closure of a finite subset. Alternate form of acsficl 18602. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsficld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsficld.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsficld.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
acsficl2d	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑌   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem acsficl2d

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsficld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2		acsficld.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3		acsficld.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
4	1, 2, 3	acsficld 18606	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
5	4	eleq2d 2847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ 𝑌 ∈ ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))))
6	1	acsmred 17711	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
7		funmpt 6574	. . . 4 ⊢ Fun (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ ∩ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑤})
8	2	mrcfval 17663	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑁 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ ∩ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑤}))
9	8	funeqd 6558	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → (Fun 𝑁 ↔ Fun (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ ∩ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑤})))
10	7, 9	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → Fun 𝑁)
11		eluniima 7248	. . 3 ⊢ (Fun 𝑁 → (𝑌 ∈ ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))
12	6, 10, 11	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))
13	5, 12	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3087  {crab 3414   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4561  ∪ cuni 4871  ∩ cint 4911   ↦ cmpt 5191   “ cima 5664  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536  Fincfn 8942  Moorecmre 17633  mrClscmrc 17634  ACScacs 17636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ocomp 17330  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-proset 18349  df-drs 18350  df-poset 18368  df-ipo 18583

This theorem is referenced by:  acsfiindd  18608  acsmapd  18609