Theorem acsficl2d 18544

Description: In an algebraic closure system, an element is in the closure of a set if and only if it is in the closure of a finite subset. Alternate form of acsficl 18539. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsficld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsficld.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsficld.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
acsficl2d	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑌   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem acsficl2d

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsficld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2		acsficld.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3		acsficld.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
4	1, 2, 3	acsficld 18543	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
5	4	eleq2d 2815	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ 𝑌 ∈ ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))))
6	1	acsmred 17636	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
7		funmpt 6591	. . . 4 ⊢ Fun (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ ∩ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑤})
8	2	mrcfval 17588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑁 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ ∩ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑤}))
9	8	funeqd 6575	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → (Fun 𝑁 ↔ Fun (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ ∩ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑤})))
10	7, 9	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → Fun 𝑁)
11		eluniima 7260	. . 3 ⊢ (Fun 𝑁 → (𝑌 ∈ ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))
12	6, 10, 11	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))
13	5, 12	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3067  {crab 3429   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4603  ∪ cuni 4908  ∩ cint 4949   ↦ cmpt 5231   “ cima 5681  Fun wfun 6542  ‘cfv 6548  Fincfn 8964  Moorecmre 17562  mrClscmrc 17563  ACScacs 17565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ocomp 17254  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-proset 18287  df-drs 18288  df-poset 18305  df-ipo 18520

This theorem is referenced by:  acsfiindd  18545  acsmapd  18546