Theorem acsficl2d 17789

Description: In an algebraic closure system, an element is in the closure of a set if and only if it is in the closure of a finite subset. Alternate form of acsficl 17784. Deduction form. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsficld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsficld.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsficld.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
acsficl2d	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑌   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem acsficl2d

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsficld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2		acsficld.2	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3		acsficld.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
4	1, 2, 3	acsficld 17788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)))
5	4	eleq2d 2901	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ 𝑌 ∈ ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))))
6	1	acsmred 16930	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
7		funmpt 6396	. . . 4 ⊢ Fun (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ ∩ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑤})
8	2	mrcfval 16882	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑁 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ ∩ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑤}))
9	8	funeqd 6380	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → (Fun 𝑁 ↔ Fun (𝑧 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ ∩ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑧 ⊆ 𝑤})))
10	7, 9	mpbiri 260	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → Fun 𝑁)
11		eluniima 7012	. . 3 ⊢ (Fun 𝑁 → (𝑌 ∈ ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))
12	6, 10, 11	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ∪ (𝑁 “ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))
13	5, 12	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑌 ∈ (𝑁‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3142  {crab 3145   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4841  ∩ cint 4879   ↦ cmpt 5149   “ cima 5561  Fun wfun 6352  ‘cfv 6358  Fincfn 8512  Moorecmre 16856  mrClscmrc 16857  ACScacs 16859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ocomp 16589  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-proset 17541  df-drs 17542  df-poset 17559  df-ipo 17765

This theorem is referenced by:  acsfiindd  17790  acsmapd  17791