MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modom 9269
Description: Two ways to express "at most one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
modom (∃*𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≼ 1o)

Proof of Theorem modom
StepHypRef Expression
1 moeu 2571 . 2 (∃*𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑))
2 imor 851 . 2 ((∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑) ↔ (¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑))
3 abn0 4382 . . . . . 6 ({𝑥𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)
43necon1bbii 2979 . . . . 5 (¬ ∃𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} = ∅)
5 sdom1 9267 . . . . 5 ({𝑥𝜑} ≺ 1o ↔ {𝑥𝜑} = ∅)
64, 5bitr4i 277 . . . 4 (¬ ∃𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≺ 1o)
7 euen1 9051 . . . 4 (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≈ 1o)
86, 7orbi12i 912 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑) ↔ ({𝑥𝜑} ≺ 1o ∨ {𝑥𝜑} ≈ 1o))
9 brdom2 9003 . . 3 ({𝑥𝜑} ≼ 1o ↔ ({𝑥𝜑} ≺ 1o ∨ {𝑥𝜑} ≈ 1o))
108, 9bitr4i 277 . 2 ((¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑) ↔ {𝑥𝜑} ≼ 1o)
111, 2, 103bitri 296 1 (∃*𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≼ 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wo 845   = wceq 1533  wex 1773  ∃*wmo 2526  ∃!weu 2556  {cab 2702  c0 4322   class class class wbr 5149  1oc1o 8480  cen 8961  cdom 8962  csdm 8963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-1o 8487  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967
This theorem is referenced by:  modom2  9270
  Copyright terms: Public domain W3C validator