Theorem modom 8713

Description: Two ways to express "at most one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
modom	⊢ (∃*𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≼ 1o)

Proof of Theorem modom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		moeu 2664	. 2 ⊢ (∃*𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑))
2		imor 849	. 2 ⊢ ((∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑) ↔ (¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑))
3		abn0 4336	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)
4	3	necon1bbii 3065	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} = ∅)
5		sdom1 8712	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≺ 1o ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} = ∅)
6	4, 5	bitr4i 280	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≺ 1o)
7		euen1 8573	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o)
8	6, 7	orbi12i 911	. . 3 ⊢ ((¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑) ↔ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≺ 1o ∨ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o))
9		brdom2 8533	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≼ 1o ↔ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≺ 1o ∨ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o))
10	8, 9	bitr4i 280	. 2 ⊢ ((¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑) ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≼ 1o)
11	1, 2, 10	3bitri 299	1 ⊢ (∃*𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≼ 1o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∨ wo 843   = wceq 1533  ∃wex 1776  ∃*wmo 2616  ∃!weu 2649  {cab 2799  ∅c0 4291   class class class wbr 5059  1_oc1o 8089   ≈ cen 8500   ≼ cdom 8501   ≺ csdm 8502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-om 7575  df-1o 8096  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506

This theorem is referenced by:  modom2  8714