Theorem modom 9278

Description: Two ways to express "at most one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
modom	⊢ (∃*𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≼ 1o)

Proof of Theorem modom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		moeu 2581	. 2 ⊢ (∃*𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑))
2		imor 853	. 2 ⊢ ((∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑) ↔ (¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑))
3		abn0 4391	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)
4	3	necon1bbii 2988	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} = ∅)
5		sdom1 9276	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≺ 1o ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} = ∅)
6	4, 5	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≺ 1o)
7		euen1 9066	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o)
8	6, 7	orbi12i 914	. . 3 ⊢ ((¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑) ↔ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≺ 1o ∨ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o))
9		brdom2 9021	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≼ 1o ↔ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≺ 1o ∨ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o))
10	8, 9	bitr4i 278	. 2 ⊢ ((¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑) ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≼ 1o)
11	1, 2, 10	3bitri 297	1 ⊢ (∃*𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≼ 1o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1537  ∃wex 1776  ∃*wmo 2536  ∃!weu 2566  {cab 2712  ∅c0 4339   class class class wbr 5148  1_oc1o 8498   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982   ≺ csdm 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987

This theorem is referenced by:  modom2  9279