MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modom 8514
Description: Two ways to express "at most one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
modom (∃*𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≼ 1o)

Proof of Theorem modom
StepHypRef Expression
1 moeu 2602 . 2 (∃*𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑))
2 imor 839 . 2 ((∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑) ↔ (¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑))
3 abn0 4223 . . . . . 6 ({𝑥𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)
43necon1bbii 3017 . . . . 5 (¬ ∃𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} = ∅)
5 sdom1 8513 . . . . 5 ({𝑥𝜑} ≺ 1o ↔ {𝑥𝜑} = ∅)
64, 5bitr4i 270 . . . 4 (¬ ∃𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≺ 1o)
7 euen1 8376 . . . 4 (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≈ 1o)
86, 7orbi12i 898 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑) ↔ ({𝑥𝜑} ≺ 1o ∨ {𝑥𝜑} ≈ 1o))
9 brdom2 8336 . . 3 ({𝑥𝜑} ≼ 1o ↔ ({𝑥𝜑} ≺ 1o ∨ {𝑥𝜑} ≈ 1o))
108, 9bitr4i 270 . 2 ((¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑) ↔ {𝑥𝜑} ≼ 1o)
111, 2, 103bitri 289 1 (∃*𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≼ 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wo 833   = wceq 1507  wex 1742  ∃*wmo 2545  ∃!weu 2583  {cab 2759  c0 4179   class class class wbr 4929  1oc1o 7898  cen 8303  cdom 8304  csdm 8305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-om 7397  df-1o 7905  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309
This theorem is referenced by:  modom2  8515
  Copyright terms: Public domain W3C validator