MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modom 9269
Description: Two ways to express "at most one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
modom (∃*𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≼ 1o)

Proof of Theorem modom
StepHypRef Expression
1 moeu 2573 . 2 (∃*𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑))
2 imor 852 . 2 ((∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑) ↔ (¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑))
3 abn0 4381 . . . . . 6 ({𝑥𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)
43necon1bbii 2987 . . . . 5 (¬ ∃𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} = ∅)
5 sdom1 9267 . . . . 5 ({𝑥𝜑} ≺ 1o ↔ {𝑥𝜑} = ∅)
64, 5bitr4i 278 . . . 4 (¬ ∃𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≺ 1o)
7 euen1 9051 . . . 4 (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≈ 1o)
86, 7orbi12i 913 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑) ↔ ({𝑥𝜑} ≺ 1o ∨ {𝑥𝜑} ≈ 1o))
9 brdom2 9003 . . 3 ({𝑥𝜑} ≼ 1o ↔ ({𝑥𝜑} ≺ 1o ∨ {𝑥𝜑} ≈ 1o))
108, 9bitr4i 278 . 2 ((¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑) ↔ {𝑥𝜑} ≼ 1o)
111, 2, 103bitri 297 1 (∃*𝑥𝜑 ↔ {𝑥𝜑} ≼ 1o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wo 846   = wceq 1534  wex 1774  ∃*wmo 2528  ∃!weu 2558  {cab 2705  c0 4323   class class class wbr 5148  1oc1o 8480  cen 8961  cdom 8962  csdm 8963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-1o 8487  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967
This theorem is referenced by:  modom2  9270
  Copyright terms: Public domain W3C validator