Theorem modom 9198

Description: Two ways to express "at most one". (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
modom	⊢ (∃*𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≼ 1o)

Proof of Theorem modom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		moeu 2577	. 2 ⊢ (∃*𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑))
2		imor 853	. 2 ⊢ ((∃𝑥𝜑 → ∃!𝑥𝜑) ↔ (¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑))
3		abn0 4351	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)
4	3	necon1bbii 2975	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} = ∅)
5		sdom1 9196	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≺ 1o ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} = ∅)
6	4, 5	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≺ 1o)
7		euen1 9001	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o)
8	6, 7	orbi12i 914	. . 3 ⊢ ((¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑) ↔ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≺ 1o ∨ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o))
9		brdom2 8956	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≼ 1o ↔ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≺ 1o ∨ {𝑥 ∣ 𝜑} ≈ 1o))
10	8, 9	bitr4i 278	. 2 ⊢ ((¬ ∃𝑥𝜑 ∨ ∃!𝑥𝜑) ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≼ 1o)
11	1, 2, 10	3bitri 297	1 ⊢ (∃*𝑥𝜑 ↔ {𝑥 ∣ 𝜑} ≼ 1o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1540  ∃wex 1779  ∃*wmo 2532  ∃!weu 2562  {cab 2708  ∅c0 4299   class class class wbr 5110  1_oc1o 8430   ≈ cen 8918   ≼ cdom 8919   ≺ csdm 8920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-1o 8437  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924

This theorem is referenced by:  modom2  9199