MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  euen1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem euen1b 9068
Description: Two ways to express "𝐴 has a unique element". (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
euen1b (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃!𝑥 𝑥𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem euen1b
StepHypRef Expression
1 euen1 9067 . 2 (∃!𝑥 𝑥𝐴 ↔ {𝑥𝑥𝐴} ≈ 1o)
2 abid2 2879 . . 3 {𝑥𝑥𝐴} = 𝐴
32breq1i 5150 . 2 ({𝑥𝑥𝐴} ≈ 1o𝐴 ≈ 1o)
41, 3bitr2i 276 1 (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃!𝑥 𝑥𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wcel 2108  ∃!weu 2568  {cab 2714   class class class wbr 5143  1oc1o 8499  cen 8982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-1o 8506  df-en 8986
This theorem is referenced by:  euhash1  14459  f1otrspeq  19465  hausflf2  24006  minveclem4a  25464  termc2  49148  prstchom2ALT  49168
  Copyright terms: Public domain W3C validator