Theorem euen1b 8582

Description: Two ways to express "𝐴 has a unique element". (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
euen1b	⊢ (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem euen1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euen1 8581	. 2 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≈ 1o)
2		abid2 2959	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} = 𝐴
3	2	breq1i 5075	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ≈ 1o)
4	1, 3	bitr2i 278	1 ⊢ (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2114  ∃!weu 2653  {cab 2801   class class class wbr 5068  1_oc1o 8097   ≈ cen 8508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-1o 8104  df-en 8512

This theorem is referenced by:  euhash1  13784  f1otrspeq  18577  hausflf2  22608  minveclem4a  24035