MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  euen1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem euen1b 9052
Description: Two ways to express "𝐴 has a unique element". (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
euen1b (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃!𝑥 𝑥𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem euen1b
StepHypRef Expression
1 euen1 9051 . 2 (∃!𝑥 𝑥𝐴 ↔ {𝑥𝑥𝐴} ≈ 1o)
2 abid2 2863 . . 3 {𝑥𝑥𝐴} = 𝐴
32breq1i 5156 . 2 ({𝑥𝑥𝐴} ≈ 1o𝐴 ≈ 1o)
41, 3bitr2i 275 1 (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃!𝑥 𝑥𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wcel 2098  ∃!weu 2556  {cab 2702   class class class wbr 5149  1oc1o 8480  cen 8961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-1o 8487  df-en 8965
This theorem is referenced by:  euhash1  14415  f1otrspeq  19414  hausflf2  23946  minveclem4a  25402  prstchom2ALT  48268
  Copyright terms: Public domain W3C validator