Theorem euen1b 9092

Description: Two ways to express "𝐴 has a unique element". (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
euen1b	⊢ (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem euen1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euen1 9091	. 2 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≈ 1o)
2		abid2 2882	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} = 𝐴
3	2	breq1i 5173	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ≈ 1o)
4	1, 3	bitr2i 276	1 ⊢ (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108  ∃!weu 2571  {cab 2717   class class class wbr 5166  1_oc1o 8515   ≈ cen 9000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-1o 8522  df-en 9004

This theorem is referenced by:  euhash1  14469  f1otrspeq  19489  hausflf2  24027  minveclem4a  25483  prstchom2ALT  48746