Theorem euen1b 8976

Description: Two ways to express "𝐴 has a unique element". (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
euen1b	⊢ (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem euen1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euen1 8975	. 2 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≈ 1o)
2		abid2 2865	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} = 𝐴
3	2	breq1i 5109	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴} ≈ 1o ↔ 𝐴 ≈ 1o)
4	1, 3	bitr2i 276	1 ⊢ (𝐴 ≈ 1o ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  ∃!weu 2561  {cab 2707   class class class wbr 5102  1_oc1o 8404   ≈ cen 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-1o 8411  df-en 8896

This theorem is referenced by:  euhash1  14361  f1otrspeq  19361  hausflf2  23918  minveclem4a  25363  termc2  49500  eufunclem  49503  euendfunc2  49509  dftermc3  49513  prstchom2ALT  49546