Theorem prdscrngd 20221

Description: A product of commutative rings is a commutative ring. Since the resulting ring will have zero divisors in all nontrivial cases, this cannot be strengthened much further. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdscrngd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscrngd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdscrngd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdscrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CRing)

Assertion

Ref	Expression
prdscrngd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)

Proof of Theorem prdscrngd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdscrngd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdscrngd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prdscrngd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdscrngd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CRing)
5		crngring 20150	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → 𝑥 ∈ Ring)
6	5	ssriv 3981	. . . 4 ⊢ CRing ⊆ Ring
7		fss 6728	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶CRing ∧ CRing ⊆ Ring) → 𝑅:𝐼⟶Ring)
8	4, 6, 7	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Ring)
9	1, 2, 3, 8	prdsringd 20220	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
10		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
11		fnmgp 20041	. . . . . . 7 ⊢ mulGrp Fn V
12		ssv 4001	. . . . . . 7 ⊢ CRing ⊆ V
13		fnssres 6667	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ CRing ⊆ V) → (mulGrp ↾ CRing) Fn CRing)
14	11, 12, 13	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp ↾ CRing) Fn CRing
15		fvres 6904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) = (mulGrp‘𝑥))
16		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑥) = (mulGrp‘𝑥)
17	16	crngmgp 20146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑥) ∈ CMnd)
18	15, 17	eqeltrd 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd)
19	18	rgen 3057	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ CRing ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd
20		ffnfv 7114	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd ↔ ((mulGrp ↾ CRing) Fn CRing ∧ ∀𝑥 ∈ CRing ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd))
21	14, 19, 20	mpbir2an 708	. . . . 5 ⊢ (mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd
22		fco2 6738	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd ∧ 𝑅:𝐼⟶CRing) → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
23	21, 4, 22	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
24	10, 2, 3, 23	prdscmnd 19781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ CMnd)
25		eqidd 2727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
26		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
27	4	ffnd 6712	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
28	1, 26, 10, 2, 3, 27	prdsmgp 20056	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))))
29	28	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
30	28	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
31	30	oveqdr 7433	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))𝑦))
32	25, 29, 31	cmnpropd 19711	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd ↔ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ CMnd))
33	24, 32	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd)
34	26	iscrng 20145	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ CRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd))
35	9, 33, 34	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943   ↾ cres 5671   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206  X_scprds 17400  CMndccmn 19700  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141

This theorem is referenced by:  pwscrng  20225