Theorem prdscrngd 20462

Description: A product of commutative rings is a commutative ring. Since the resulting ring will have zero divisors in all nontrivial cases, this cannot be strengthened much further. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdscrngd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscrngd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdscrngd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdscrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CRing)

Assertion

Ref	Expression
prdscrngd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)

Proof of Theorem prdscrngd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdscrngd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdscrngd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prdscrngd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdscrngd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CRing)
5		crngring 20384	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → 𝑥 ∈ Ring)
6	5	ssriv 3935	. . . 4 ⊢ CRing ⊆ Ring
7		fss 6719	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶CRing ∧ CRing ⊆ Ring) → 𝑅:𝐼⟶Ring)
8	4, 6, 7	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Ring)
9	1, 2, 3, 8	prdsringd 20461	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
11		fnmgp 20275	. . . . . . 7 ⊢ mulGrp Fn V
12		ssv 3955	. . . . . . 7 ⊢ CRing ⊆ V
13		fnssres 6655	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ CRing ⊆ V) → (mulGrp ↾ CRing) Fn CRing)
14	11, 12, 13	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp ↾ CRing) Fn CRing
15		fvres 6897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) = (mulGrp‘𝑥))
16		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑥) = (mulGrp‘𝑥)
17	16	crngmgp 20380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑥) ∈ CMnd)
18	15, 17	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd)
19	18	rgen 3078	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ CRing ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd
20		ffnfv 7112	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd ↔ ((mulGrp ↾ CRing) Fn CRing ∧ ∀𝑥 ∈ CRing ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd))
21	14, 19, 20	mpbir2an 724	. . . . 5 ⊢ (mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd
22		fco2 6729	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd ∧ 𝑅:𝐼⟶CRing) → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
23	21, 4, 22	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
24	10, 2, 3, 23	prdscmnd 19988	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ CMnd)
25		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
26		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
27	4	ffnd 6703	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
28	1, 26, 10, 2, 3, 27	prdsmgp 20284	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))))
29	28	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
30	28	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
31	30	oveqdr 7441	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))𝑦))
32	25, 29, 31	cmnpropd 19918	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd ↔ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ CMnd))
33	24, 32	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd)
34	26	iscrng 20379	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ CRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd))
35	9, 33, 34	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342  X_scprds 17530  CMndccmn 19907  mulGrpcmgp 20273  Ringcrg 20372  CRingccrg 20373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-prds 17532  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375

This theorem is used by:  pwscrng  20466