Theorem prdscrngd 20299

Description: A product of commutative rings is a commutative ring. Since the resulting ring will have zero divisors in all nontrivial cases, this cannot be strengthened much further. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdscrngd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscrngd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdscrngd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdscrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CRing)

Assertion

Ref	Expression
prdscrngd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)

Proof of Theorem prdscrngd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdscrngd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdscrngd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prdscrngd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdscrngd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CRing)
5		crngring 20224	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → 𝑥 ∈ Ring)
6	5	ssriv 3926	. . . 4 ⊢ CRing ⊆ Ring
7		fss 6678	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶CRing ∧ CRing ⊆ Ring) → 𝑅:𝐼⟶Ring)
8	4, 6, 7	sylancl 592	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Ring)
9	1, 2, 3, 8	prdsringd 20298	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
10		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
11		fnmgp 20121	. . . . . . 7 ⊢ mulGrp Fn V
12		ssv 3946	. . . . . . 7 ⊢ CRing ⊆ V
13		fnssres 6615	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ CRing ⊆ V) → (mulGrp ↾ CRing) Fn CRing)
14	11, 12, 13	mp2an 698	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp ↾ CRing) Fn CRing
15		fvres 6853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) = (mulGrp‘𝑥))
16		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑥) = (mulGrp‘𝑥)
17	16	crngmgp 20220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑥) ∈ CMnd)
18	15, 17	eqeltrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd)
19	18	rgen 3056	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ CRing ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd
20		ffnfv 7067	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd ↔ ((mulGrp ↾ CRing) Fn CRing ∧ ∀𝑥 ∈ CRing ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd))
21	14, 19, 20	mpbir2an 717	. . . . 5 ⊢ (mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd
22		fco2 6688	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd ∧ 𝑅:𝐼⟶CRing) → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
23	21, 4, 22	sylancr 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
24	10, 2, 3, 23	prdscmnd 19834	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ CMnd)
25		eqidd 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
26		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
27	4	ffnd 6663	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
28	1, 26, 10, 2, 3, 27	prdsmgp 20130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))))
29	28	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
30	28	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
31	30	oveqdr 7391	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))𝑦))
32	25, 29, 31	cmnpropd 19764	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd ↔ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ CMnd))
33	24, 32	mpbird 258	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd)
34	26	iscrng 20219	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ CRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd))
35	9, 33, 34	sylanbrc 589	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890   ↾ cres 5627   ∘ ccom 5629   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  X_scprds 17406  CMndccmn 19753  mulGrpcmgp 20119  Ringcrg 20212  CRingccrg 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-prds 17408  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215

This theorem is referenced by:  pwscrng  20303