MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdscrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdscrngd 20214
Description: A product of commutative rings is a commutative ring. Since the resulting ring will have zero divisors in all nontrivial cases, this cannot be strengthened much further. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdscrngd.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscrngd.i (𝜑𝐼𝑊)
prdscrngd.s (𝜑𝑆𝑉)
prdscrngd.r (𝜑𝑅:𝐼⟶CRing)
Assertion
Ref Expression
prdscrngd (𝜑𝑌 ∈ CRing)

Proof of Theorem prdscrngd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdscrngd.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdscrngd.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
3 prdscrngd.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdscrngd.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶CRing)
5 crngring 20143 . . . . 5 (𝑥 ∈ CRing → 𝑥 ∈ Ring)
65ssriv 3986 . . . 4 CRing ⊆ Ring
7 fss 6734 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟶CRing ∧ CRing ⊆ Ring) → 𝑅:𝐼⟶Ring)
84, 6, 7sylancl 585 . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Ring)
91, 2, 3, 8prdsringd 20213 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
10 eqid 2731 . . . 4 (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
11 fnmgp 20034 . . . . . . 7 mulGrp Fn V
12 ssv 4006 . . . . . . 7 CRing ⊆ V
13 fnssres 6673 . . . . . . 7 ((mulGrp Fn V ∧ CRing ⊆ V) → (mulGrp ↾ CRing) Fn CRing)
1411, 12, 13mp2an 689 . . . . . 6 (mulGrp ↾ CRing) Fn CRing
15 fvres 6910 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ CRing → ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) = (mulGrp‘𝑥))
16 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑥) = (mulGrp‘𝑥)
1716crngmgp 20139 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑥) ∈ CMnd)
1815, 17eqeltrd 2832 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ CRing → ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd)
1918rgen 3062 . . . . . 6 𝑥 ∈ CRing ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd
20 ffnfv 7120 . . . . . 6 ((mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd ↔ ((mulGrp ↾ CRing) Fn CRing ∧ ∀𝑥 ∈ CRing ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd))
2114, 19, 20mpbir2an 708 . . . . 5 (mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd
22 fco2 6744 . . . . 5 (((mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd ∧ 𝑅:𝐼⟶CRing) → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
2321, 4, 22sylancr 586 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
2410, 2, 3, 23prdscmnd 19774 . . 3 (𝜑 → (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ CMnd)
25 eqidd 2732 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
26 eqid 2731 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
274ffnd 6718 . . . . . 6 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
281, 26, 10, 2, 3, 27prdsmgp 20049 . . . . 5 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))))
2928simpld 494 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
3028simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
3130oveqdr 7440 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))𝑦))
3225, 29, 31cmnpropd 19704 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd ↔ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ CMnd))
3324, 32mpbird 257 . 2 (𝜑 → (mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd)
3426iscrng 20138 . 2 (𝑌 ∈ CRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd))
359, 33, 34sylanbrc 582 1 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  Vcvv 3473  wss 3948  cres 5678  ccom 5680   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  Xscprds 17398  CMndccmn 19693  mulGrpcmgp 20032  Ringcrg 20131  CRingccrg 20132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-prds 17400  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-cring 20134
This theorem is referenced by:  pwscrng  20218
  Copyright terms: Public domain W3C validator