Theorem prdscrngd 19767

Description: A product of commutative rings is a commutative ring. Since the resulting ring will have zero divisors in all nontrivial cases, this cannot be strengthened much further. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdscrngd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscrngd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdscrngd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdscrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CRing)

Assertion

Ref	Expression
prdscrngd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)

Proof of Theorem prdscrngd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdscrngd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdscrngd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prdscrngd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdscrngd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CRing)
5		crngring 19710	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → 𝑥 ∈ Ring)
6	5	ssriv 3921	. . . 4 ⊢ CRing ⊆ Ring
7		fss 6601	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶CRing ∧ CRing ⊆ Ring) → 𝑅:𝐼⟶Ring)
8	4, 6, 7	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Ring)
9	1, 2, 3, 8	prdsringd 19766	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
11		fnmgp 19637	. . . . . . 7 ⊢ mulGrp Fn V
12		ssv 3941	. . . . . . 7 ⊢ CRing ⊆ V
13		fnssres 6539	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ CRing ⊆ V) → (mulGrp ↾ CRing) Fn CRing)
14	11, 12, 13	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp ↾ CRing) Fn CRing
15		fvres 6775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) = (mulGrp‘𝑥))
16		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑥) = (mulGrp‘𝑥)
17	16	crngmgp 19706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑥) ∈ CMnd)
18	15, 17	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd)
19	18	rgen 3073	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ CRing ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd
20		ffnfv 6974	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd ↔ ((mulGrp ↾ CRing) Fn CRing ∧ ∀𝑥 ∈ CRing ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd))
21	14, 19, 20	mpbir2an 707	. . . . 5 ⊢ (mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd
22		fco2 6611	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd ∧ 𝑅:𝐼⟶CRing) → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
23	21, 4, 22	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
24	10, 2, 3, 23	prdscmnd 19377	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ CMnd)
25		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
26		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
27	4	ffnd 6585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
28	1, 26, 10, 2, 3, 27	prdsmgp 19764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))))
29	28	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
30	28	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
31	30	oveqdr 7283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))𝑦))
32	25, 29, 31	cmnpropd 19311	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd ↔ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ CMnd))
33	24, 32	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd)
34	26	iscrng 19705	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ CRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd))
35	9, 33, 34	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  X_scprds 17073  CMndccmn 19301  mulGrpcmgp 19635  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-prds 17075  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ring 19700  df-cring 19701

This theorem is referenced by:  pwscrng  19771