Theorem prdscrngd 20272

Description: A product of commutative rings is a commutative ring. Since the resulting ring will have zero divisors in all nontrivial cases, this cannot be strengthened much further. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdscrngd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscrngd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdscrngd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdscrngd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CRing)

Assertion

Ref	Expression
prdscrngd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)

Proof of Theorem prdscrngd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdscrngd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdscrngd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		prdscrngd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdscrngd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CRing)
5		crngring 20199	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → 𝑥 ∈ Ring)
6	5	ssriv 3986	. . . 4 ⊢ CRing ⊆ Ring
7		fss 6744	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶CRing ∧ CRing ⊆ Ring) → 𝑅:𝐼⟶Ring)
8	4, 6, 7	sylancl 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Ring)
9	1, 2, 3, 8	prdsringd 20271	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
10		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
11		fnmgp 20090	. . . . . . 7 ⊢ mulGrp Fn V
12		ssv 4006	. . . . . . 7 ⊢ CRing ⊆ V
13		fnssres 6683	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ CRing ⊆ V) → (mulGrp ↾ CRing) Fn CRing)
14	11, 12, 13	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp ↾ CRing) Fn CRing
15		fvres 6921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) = (mulGrp‘𝑥))
16		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘𝑥) = (mulGrp‘𝑥)
17	16	crngmgp 20195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑥) ∈ CMnd)
18	15, 17	eqeltrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ CRing → ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd)
19	18	rgen 3060	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ CRing ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd
20		ffnfv 7134	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd ↔ ((mulGrp ↾ CRing) Fn CRing ∧ ∀𝑥 ∈ CRing ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd))
21	14, 19, 20	mpbir2an 709	. . . . 5 ⊢ (mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd
22		fco2 6755	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd ∧ 𝑅:𝐼⟶CRing) → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
23	21, 4, 22	sylancr 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
24	10, 2, 3, 23	prdscmnd 19830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ CMnd)
25		eqidd 2729	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
26		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
27	4	ffnd 6728	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
28	1, 26, 10, 2, 3, 27	prdsmgp 20105	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))))
29	28	simpld 493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
30	28	simprd 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
31	30	oveqdr 7454	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))𝑦))
32	25, 29, 31	cmnpropd 19760	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd ↔ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ CMnd))
33	24, 32	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd)
34	26	iscrng 20194	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ CRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd))
35	9, 33, 34	sylanbrc 581	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058  Vcvv 3473   ⊆ wss 3949   ↾ cres 5684   ∘ ccom 5686   Fn wfn 6548  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +_gcplusg 17242  X_scprds 17436  CMndccmn 19749  mulGrpcmgp 20088  Ringcrg 20187  CRingccrg 20188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-prds 17438  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190

This theorem is referenced by:  pwscrng  20276