MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdscrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdscrngd 19294
Description: A product of commutative rings is a commutative ring. Since the resulting ring will have zero divisors in all nontrivial cases, this cannot be strengthened much further. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdscrngd.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscrngd.i (𝜑𝐼𝑊)
prdscrngd.s (𝜑𝑆𝑉)
prdscrngd.r (𝜑𝑅:𝐼⟶CRing)
Assertion
Ref Expression
prdscrngd (𝜑𝑌 ∈ CRing)

Proof of Theorem prdscrngd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdscrngd.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdscrngd.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
3 prdscrngd.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdscrngd.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶CRing)
5 crngring 19239 . . . . 5 (𝑥 ∈ CRing → 𝑥 ∈ Ring)
65ssriv 3970 . . . 4 CRing ⊆ Ring
7 fss 6521 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟶CRing ∧ CRing ⊆ Ring) → 𝑅:𝐼⟶Ring)
84, 6, 7sylancl 586 . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Ring)
91, 2, 3, 8prdsringd 19293 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
10 eqid 2821 . . . 4 (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
11 fnmgp 19172 . . . . . . 7 mulGrp Fn V
12 ssv 3990 . . . . . . 7 CRing ⊆ V
13 fnssres 6464 . . . . . . 7 ((mulGrp Fn V ∧ CRing ⊆ V) → (mulGrp ↾ CRing) Fn CRing)
1411, 12, 13mp2an 688 . . . . . 6 (mulGrp ↾ CRing) Fn CRing
15 fvres 6683 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ CRing → ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) = (mulGrp‘𝑥))
16 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑥) = (mulGrp‘𝑥)
1716crngmgp 19236 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑥) ∈ CMnd)
1815, 17eqeltrd 2913 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ CRing → ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd)
1918rgen 3148 . . . . . 6 𝑥 ∈ CRing ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd
20 ffnfv 6875 . . . . . 6 ((mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd ↔ ((mulGrp ↾ CRing) Fn CRing ∧ ∀𝑥 ∈ CRing ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd))
2114, 19, 20mpbir2an 707 . . . . 5 (mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd
22 fco2 6527 . . . . 5 (((mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd ∧ 𝑅:𝐼⟶CRing) → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
2321, 4, 22sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
2410, 2, 3, 23prdscmnd 18912 . . 3 (𝜑 → (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ CMnd)
25 eqidd 2822 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
26 eqid 2821 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
274ffnd 6509 . . . . . 6 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
281, 26, 10, 2, 3, 27prdsmgp 19291 . . . . 5 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))))
2928simpld 495 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
3028simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
3130oveqdr 7173 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))𝑦))
3225, 29, 31cmnpropd 18847 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd ↔ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ CMnd))
3324, 32mpbird 258 . 2 (𝜑 → (mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd)
3426iscrng 19235 . 2 (𝑌 ∈ CRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd))
359, 33, 34sylanbrc 583 1 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3138  Vcvv 3495  wss 3935  cres 5551  ccom 5553   Fn wfn 6344  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7145  Basecbs 16473  +gcplusg 16555  Xscprds 16709  CMndccmn 18837  mulGrpcmgp 19170  Ringcrg 19228  CRingccrg 19229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-fz 12883  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-hom 16579  df-cco 16580  df-0g 16705  df-prds 16711  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-grp 18046  df-minusg 18047  df-cmn 18839  df-mgp 19171  df-ring 19230  df-cring 19231
This theorem is referenced by:  pwscrng  19298
  Copyright terms: Public domain W3C validator