MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdscrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdscrngd 20045
Description: A product of commutative rings is a commutative ring. Since the resulting ring will have zero divisors in all nontrivial cases, this cannot be strengthened much further. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdscrngd.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdscrngd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdscrngd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdscrngd.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢CRing)
Assertion
Ref Expression
prdscrngd (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ CRing)

Proof of Theorem prdscrngd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdscrngd.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
2 prdscrngd.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3 prdscrngd.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4 prdscrngd.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢CRing)
5 crngring 19984 . . . . 5 (π‘₯ ∈ CRing β†’ π‘₯ ∈ Ring)
65ssriv 3952 . . . 4 CRing βŠ† Ring
7 fss 6689 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟢CRing ∧ CRing βŠ† Ring) β†’ 𝑅:𝐼⟢Ring)
84, 6, 7sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Ring)
91, 2, 3, 8prdsringd 20044 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Ring)
10 eqid 2733 . . . 4 (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
11 fnmgp 19906 . . . . . . 7 mulGrp Fn V
12 ssv 3972 . . . . . . 7 CRing βŠ† V
13 fnssres 6628 . . . . . . 7 ((mulGrp Fn V ∧ CRing βŠ† V) β†’ (mulGrp β†Ύ CRing) Fn CRing)
1411, 12, 13mp2an 691 . . . . . 6 (mulGrp β†Ύ CRing) Fn CRing
15 fvres 6865 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ CRing β†’ ((mulGrp β†Ύ CRing)β€˜π‘₯) = (mulGrpβ€˜π‘₯))
16 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (mulGrpβ€˜π‘₯) = (mulGrpβ€˜π‘₯)
1716crngmgp 19980 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ CRing β†’ (mulGrpβ€˜π‘₯) ∈ CMnd)
1815, 17eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ CRing β†’ ((mulGrp β†Ύ CRing)β€˜π‘₯) ∈ CMnd)
1918rgen 3063 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ CRing ((mulGrp β†Ύ CRing)β€˜π‘₯) ∈ CMnd
20 ffnfv 7070 . . . . . 6 ((mulGrp β†Ύ CRing):CRing⟢CMnd ↔ ((mulGrp β†Ύ CRing) Fn CRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ CRing ((mulGrp β†Ύ CRing)β€˜π‘₯) ∈ CMnd))
2114, 19, 20mpbir2an 710 . . . . 5 (mulGrp β†Ύ CRing):CRing⟢CMnd
22 fco2 6699 . . . . 5 (((mulGrp β†Ύ CRing):CRing⟢CMnd ∧ 𝑅:𝐼⟢CRing) β†’ (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟢CMnd)
2321, 4, 22sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟢CMnd)
2410, 2, 3, 23prdscmnd 19647 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ CMnd)
25 eqidd 2734 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)))
26 eqid 2733 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘Œ) = (mulGrpβ€˜π‘Œ)
274ffnd 6673 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
281, 26, 10, 2, 3, 27prdsmgp 20042 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))) ∧ (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)) = (+gβ€˜(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))))
2928simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
3028simprd 497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)) = (+gβ€˜(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
3130oveqdr 7389 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))𝑦))
3225, 29, 31cmnpropd 19581 . . 3 (πœ‘ β†’ ((mulGrpβ€˜π‘Œ) ∈ CMnd ↔ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ CMnd))
3324, 32mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘Œ) ∈ CMnd)
3426iscrng 19979 . 2 (π‘Œ ∈ CRing ↔ (π‘Œ ∈ Ring ∧ (mulGrpβ€˜π‘Œ) ∈ CMnd))
359, 33, 34sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  Xscprds 17335  CMndccmn 19570  mulGrpcmgp 19904  Ringcrg 19972  CRingccrg 19973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-prds 17337  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ring 19974  df-cring 19975
This theorem is referenced by:  pwscrng  20049
  Copyright terms: Public domain W3C validator