Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sseqf 32995
Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
sseqval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3 π‘Š = (Word 𝑆 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
sseqval.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆπ‘†)
Assertion
Ref Expression
sseqf (πœ‘ β†’ (𝑀seqstr𝐹):β„•0βŸΆπ‘†)

Proof of Theorem sseqf
Dummy variables π‘₯ 𝑦 π‘Ž 𝑏 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Word 𝑆)
2 wrdf 14408 . . . 4 (𝑀 ∈ Word 𝑆 β†’ 𝑀:(0..^(β™―β€˜π‘€))βŸΆπ‘†)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀:(0..^(β™―β€˜π‘€))βŸΆπ‘†)
4 vex 3450 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ V
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…})) β†’ 𝑀 ∈ V)
6 fvex 6856 . . . . . . . . 9 (π‘₯β€˜((β™―β€˜π‘₯) βˆ’ 1)) ∈ V
7 df-lsw 14452 . . . . . . . . 9 lastS = (π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯β€˜((β™―β€˜π‘₯) βˆ’ 1)))
86, 7dmmpti 6646 . . . . . . . 8 dom lastS = V
95, 8eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…})) β†’ 𝑀 ∈ dom lastS)
10 eldifsn 4748 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑀 β‰  βˆ…))
11 sseqval.3 . . . . . . . . . . . 12 π‘Š = (Word 𝑆 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
12 inss1 4189 . . . . . . . . . . . 12 (Word 𝑆 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))) βŠ† Word 𝑆
1311, 12eqsstri 3979 . . . . . . . . . . 11 π‘Š βŠ† Word 𝑆
1413sseli 3941 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ π‘Š β†’ 𝑀 ∈ Word 𝑆)
15 lswcl 14457 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑀 β‰  βˆ…) β†’ (lastSβ€˜π‘€) ∈ 𝑆)
1614, 15sylan 581 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ π‘Š ∧ 𝑀 β‰  βˆ…) β†’ (lastSβ€˜π‘€) ∈ 𝑆)
1710, 16sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) β†’ (lastSβ€˜π‘€) ∈ 𝑆)
1817adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…})) β†’ (lastSβ€˜π‘€) ∈ 𝑆)
199, 18jca 513 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…})) β†’ (𝑀 ∈ dom lastS ∧ (lastSβ€˜π‘€) ∈ 𝑆))
2019ralrimiva 3144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…})(𝑀 ∈ dom lastS ∧ (lastSβ€˜π‘€) ∈ 𝑆))
216, 7fnmpti 6645 . . . . . 6 lastS Fn V
22 fnfun 6603 . . . . . 6 (lastS Fn V β†’ Fun lastS)
23 ffvresb 7073 . . . . . 6 (Fun lastS β†’ ((lastS β†Ύ (π‘Š βˆ– {βˆ…})):(π‘Š βˆ– {βˆ…})βŸΆπ‘† ↔ βˆ€π‘€ ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…})(𝑀 ∈ dom lastS ∧ (lastSβ€˜π‘€) ∈ 𝑆)))
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 ((lastS β†Ύ (π‘Š βˆ– {βˆ…})):(π‘Š βˆ– {βˆ…})βŸΆπ‘† ↔ βˆ€π‘€ ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…})(𝑀 ∈ dom lastS ∧ (lastSβ€˜π‘€) ∈ 𝑆))
2520, 24sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lastS β†Ύ (π‘Š βˆ– {βˆ…})):(π‘Š βˆ– {βˆ…})βŸΆπ‘†)
26 eqid 2737 . . . . 5 (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)) = (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))
27 lencl 14422 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ Word 𝑆 β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ β„•0)
2827nn0zd 12526 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Word 𝑆 β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ β„€)
291, 28syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ β„€)
30 ovex 7391 . . . . . . 7 (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) ∈ V
31 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
321, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ β„•0)
3332adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ β„•0)
34 elnn0uz 12809 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜π‘€) ∈ β„•0 ↔ (β™―β€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
3533, 34sylib 217 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
36 uztrn 12782 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)) ∧ (β™―β€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) β†’ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
3731, 35, 36syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
38 nn0uz 12806 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
3937, 38eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ π‘Ž ∈ β„•0)
40 fvconst2g 7152 . . . . . . 7 (((𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) ∈ V ∧ π‘Ž ∈ β„•0) β†’ ((β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})β€˜π‘Ž) = (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©))
4130, 39, 40sylancr 588 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ ((β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})β€˜π‘Ž) = (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©))
42 sseqval.4 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆπ‘†)
43 sseqval.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
4443, 1, 11, 42sseqmw 32994 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ π‘Š)
4542, 44ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑆)
4645s1cld 14492 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ© ∈ Word 𝑆)
47 ccatcl 14463 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ Word 𝑆 ∧ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ© ∈ Word 𝑆) β†’ (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) ∈ Word 𝑆)
481, 46, 47syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) ∈ Word 𝑆)
4930a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) ∈ V)
50 ccatws1len 14509 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ Word 𝑆 β†’ (β™―β€˜(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘€) + 1))
511, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘€) + 1))
52 uzid 12779 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜π‘€) ∈ β„€ β†’ (β™―β€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
53 peano2uz 12827 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)) β†’ ((β™―β€˜π‘€) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
5429, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘€) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
5551, 54eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
56 hashf 14239 . . . . . . . . . . . 12 β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞})
57 ffn 6669 . . . . . . . . . . . 12 (β™―:V⟢(β„•0 βˆͺ {+∞}) β†’ β™― Fn V)
58 elpreima 7009 . . . . . . . . . . . 12 (β™― Fn V β†’ ((𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ↔ ((𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) ∈ V ∧ (β™―β€˜(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))))
5956, 57, 58mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ↔ ((𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) ∈ V ∧ (β™―β€˜(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
6049, 55, 59sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
6148, 60elind 4155 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) ∈ (Word 𝑆 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))))
6261, 11eleqtrrdi 2849 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) ∈ π‘Š)
6362adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) ∈ π‘Š)
64 ccatws1n0 14521 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ Word 𝑆 β†’ (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) β‰  βˆ…)
651, 64syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) β‰  βˆ…)
6665adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) β‰  βˆ…)
67 eldifsn 4748 . . . . . . 7 ((𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ↔ ((𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) ∈ π‘Š ∧ (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) β‰  βˆ…))
6863, 66, 67sylanbrc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ (𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©) ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))
6941, 68eqeltrd 2838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) β†’ ((β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})β€˜π‘Ž) ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))
70 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ (π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)) = (π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)))
71 simprl 770 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) ∧ (π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏)) β†’ π‘₯ = π‘Ž)
7271fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) ∧ (π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘Ž))
7372s1eqd 14490 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) ∧ (π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏)) β†’ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ© = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©)
7471, 73oveq12d 7376 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) ∧ (π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏)) β†’ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©) = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©))
75 vex 3450 . . . . . . . 8 π‘Ž ∈ V
7675a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ π‘Ž ∈ V)
77 vex 3450 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ V
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ 𝑏 ∈ V)
79 ovex 7391 . . . . . . . 8 (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) ∈ V
8079a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) ∈ V)
8170, 74, 76, 78, 80ovmpod 7508 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ (π‘Ž(π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©))𝑏) = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©))
82 eldifi 4087 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) β†’ π‘Ž ∈ π‘Š)
8382ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ π‘Ž ∈ π‘Š)
8413, 83sselid 3943 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ π‘Ž ∈ Word 𝑆)
8542adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ 𝐹:π‘ŠβŸΆπ‘†)
8685, 83ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ 𝑆)
8786s1cld 14492 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ© ∈ Word 𝑆)
88 ccatcl 14463 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ Word 𝑆 ∧ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ© ∈ Word 𝑆) β†’ (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) ∈ Word 𝑆)
8984, 87, 88syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) ∈ Word 𝑆)
9013, 82sselid 3943 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) β†’ π‘Ž ∈ Word 𝑆)
9190ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ π‘Ž ∈ Word 𝑆)
92 ccatws1len 14509 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ Word 𝑆 β†’ (β™―β€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Ž) + 1))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ (β™―β€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π‘Ž) + 1))
9483, 11eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ π‘Ž ∈ (Word 𝑆 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))))
9594elin2d 4160 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ π‘Ž ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
96 elpreima 7009 . . . . . . . . . . . . . 14 (β™― Fn V β†’ (π‘Ž ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ↔ (π‘Ž ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))))
9756, 57, 96mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ↔ (π‘Ž ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
9895, 97sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ (π‘Ž ∈ V ∧ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
99 peano2uz 12827 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘Ž) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
10098, 99simpl2im 505 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
10193, 100eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ (β™―β€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))
102 elpreima 7009 . . . . . . . . . . 11 (β™― Fn V β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ↔ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) ∈ V ∧ (β™―β€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))))
10356, 57, 102mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) ↔ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) ∈ V ∧ (β™―β€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
10480, 101, 103sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) ∈ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
10589, 104elind 4155 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) ∈ (Word 𝑆 ∩ (β—‘β™― β€œ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))))
106105, 11eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) ∈ π‘Š)
107 ccatws1n0 14521 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ Word 𝑆 β†’ (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) β‰  βˆ…)
10891, 107syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) β‰  βˆ…)
109 eldifsn 4748 . . . . . . 7 ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ↔ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) β‰  βˆ…))
110106, 108, 109sylanbrc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ (π‘Ž ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘Ž)β€βŸ©) ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))
11181, 110eqeltrd 2838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))) β†’ (π‘Ž(π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©))𝑏) ∈ (π‘Š βˆ– {βˆ…}))
11226, 29, 69, 111seqf 13930 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})):(β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))⟢(π‘Š βˆ– {βˆ…}))
113 fco2 6696 . . . 4 (((lastS β†Ύ (π‘Š βˆ– {βˆ…})):(π‘Š βˆ– {βˆ…})βŸΆπ‘† ∧ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})):(β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))⟢(π‘Š βˆ– {βˆ…})) β†’ (lastS ∘ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))):(β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))βŸΆπ‘†)
11425, 112, 113syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (lastS ∘ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))):(β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))βŸΆπ‘†)
115 fzouzdisj 13609 . . . 4 ((0..^(β™―β€˜π‘€)) ∩ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) = βˆ…
116115a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ((0..^(β™―β€˜π‘€)) ∩ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) = βˆ…)
117 fun 6705 . . 3 (((𝑀:(0..^(β™―β€˜π‘€))βŸΆπ‘† ∧ (lastS ∘ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)}))):(β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))βŸΆπ‘†) ∧ ((0..^(β™―β€˜π‘€)) ∩ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))) = βˆ…) β†’ (𝑀 βˆͺ (lastS ∘ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})))):((0..^(β™―β€˜π‘€)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))⟢(𝑆 βˆͺ 𝑆))
1183, 114, 116, 117syl21anc 837 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆͺ (lastS ∘ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})))):((0..^(β™―β€˜π‘€)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))⟢(𝑆 βˆͺ 𝑆))
11943, 1, 11, 42sseqval 32991 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 βˆͺ (lastS ∘ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})))))
120 fzouzsplit 13608 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘€) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (β„€β‰₯β€˜0) = ((0..^(β™―β€˜π‘€)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
12134, 120sylbi 216 . . . . 5 ((β™―β€˜π‘€) ∈ β„•0 β†’ (β„€β‰₯β€˜0) = ((0..^(β™―β€˜π‘€)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
1221, 27, 1213syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜0) = ((0..^(β™―β€˜π‘€)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
12338, 122eqtrid 2789 . . 3 (πœ‘ β†’ β„•0 = ((0..^(β™―β€˜π‘€)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€))))
124 unidm 4113 . . . . 5 (𝑆 βˆͺ 𝑆) = 𝑆
125124a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆͺ 𝑆) = 𝑆)
126125eqcomd 2743 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (𝑆 βˆͺ 𝑆))
127119, 123, 126feq123d 6658 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑀seqstr𝐹):β„•0βŸΆπ‘† ↔ (𝑀 βˆͺ (lastS ∘ seq(β™―β€˜π‘€)((π‘₯ ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (π‘₯ ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘₯)β€βŸ©)), (β„•0 Γ— {(𝑀 ++ βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π‘€)β€βŸ©)})))):((0..^(β™―β€˜π‘€)) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘€)))⟢(𝑆 βˆͺ 𝑆)))
128118, 127mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (𝑀seqstr𝐹):β„•0βŸΆπ‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3446   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910  βˆ…c0 4283  {csn 4587   Γ— cxp 5632  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637   ∘ ccom 5638  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055  +∞cpnf 11187   βˆ’ cmin 11386  β„•0cn0 12414  β„€cz 12500  β„€β‰₯cuz 12764  ..^cfzo 13568  seqcseq 13907  β™―chash 14231  Word cword 14403  lastSclsw 14451   ++ cconcat 14459  βŸ¨β€œcs1 14484  seqstrcsseq 32986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-hash 14232  df-word 14404  df-lsw 14452  df-concat 14460  df-s1 14485  df-sseq 32987
This theorem is referenced by:  sseqp1  32998  fibp1  33004
  Copyright terms: Public domain W3C validator