Theorem sseqf 34552

Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqval.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
sseqval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3	⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sseqf	⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0⟶𝑆)

Proof of Theorem sseqf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
2		wrdf 14471	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → 𝑀:(0..^(♯‘𝑀))⟶𝑆)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(0..^(♯‘𝑀))⟶𝑆)
4		vex 3434	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑤 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → 𝑤 ∈ V)
6		fvex 6847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ V
7		df-lsw 14516	. . . . . . . . 9 ⊢ lastS = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)))
8	6, 7	dmmpti 6636	. . . . . . . 8 ⊢ dom lastS = V
9	5, 8	eleqtrrdi 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → 𝑤 ∈ dom lastS)
10		eldifsn 4730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑤 ≠ ∅))
11		sseqval.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
12		inss1 4178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))) ⊆ Word 𝑆
13	11, 12	eqsstri 3969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑊 ⊆ Word 𝑆
14	13	sseli 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑊 → 𝑤 ∈ Word 𝑆)
15		lswcl 14521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
16	14, 15	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
17	10, 16	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
19	9, 18	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → (𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆))
20	19	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆))
21	6, 7	fnmpti 6635	. . . . . 6 ⊢ lastS Fn V
22		fnfun 6592	. . . . . 6 ⊢ (lastS Fn V → Fun lastS)
23		ffvresb 7072	. . . . . 6 ⊢ (Fun lastS → ((lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)))
24	21, 22, 23	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ((lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆))
25	20, 24	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆)
26		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) = (ℤ≥‘(♯‘𝑀))
27		lencl 14486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 12540	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
29	1, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
30		ovex 7393	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V
31		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
32	1, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
34		elnn0uz 12820	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
35	33, 34	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
36		uztrn 12797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) ∧ (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘0))
37	31, 35, 36	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘0))
38		nn0uz 12817	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
39	37, 38	eleqtrrdi 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
40		fvconst2g 7150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘𝑎) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩))
41	30, 39, 40	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘𝑎) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩))
42		sseqval.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
43		sseqval.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
44	43, 1, 11, 42	sseqmw 34551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
45	42, 44	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆)
46	45	s1cld 14557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩ ∈ Word 𝑆)
47		ccatcl 14527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩ ∈ Word 𝑆) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ Word 𝑆)
48	1, 46, 47	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ Word 𝑆)
49	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V)
50		ccatws1len 14574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) = ((♯‘𝑀) + 1))
51	1, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) = ((♯‘𝑀) + 1))
52		uzid 12794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℤ → (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
53		peano2uz 12842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) → ((♯‘𝑀) + 1) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
54	29, 52, 53	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑀) + 1) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
55	51, 54	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
56		hashf 14291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
57		ffn 6662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
58		elpreima 7004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯ Fn V → ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
59	56, 57, 58	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
60	49, 55, 59	sylanbrc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
61	48, 60	elind 4141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
62	61, 11	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ 𝑊)
63	62	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ 𝑊)
64		ccatws1n0 14586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ≠ ∅)
65	1, 64	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ≠ ∅)
66	65	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ≠ ∅)
67		eldifsn 4730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ 𝑊 ∧ (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ≠ ∅))
68	63, 66, 67	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
69	41, 68	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘𝑎) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
70		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)) = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)))
71		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → 𝑥 = 𝑎)
72	71	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑎))
73	72	s1eqd 14555	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩ = ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)
74	71, 73	oveq12d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩))
75		vex 3434	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑎 ∈ V
76	75	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ V)
77		vex 3434	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑏 ∈ V
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑏 ∈ V)
79		ovex 7393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ V
80	79	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ V)
81	70, 74, 76, 78, 80	ovmpod 7512	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩))𝑏) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩))
82		eldifi 4072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → 𝑎 ∈ 𝑊)
83	82	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ 𝑊)
84	13, 83	sselid 3920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
85	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
86	85, 83	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑆)
87	86	s1cld 14557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩ ∈ Word 𝑆)
88		ccatcl 14527	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩ ∈ Word 𝑆) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ Word 𝑆)
89	84, 87, 88	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ Word 𝑆)
90	13, 82	sselid 3920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
91	90	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
92		ccatws1len 14574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) = ((♯‘𝑎) + 1))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) = ((♯‘𝑎) + 1))
94	83, 11	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
95	94	elin2d 4146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
96		elpreima 7004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯ Fn V → (𝑎 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ (𝑎 ∈ V ∧ (♯‘𝑎) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
97	56, 57, 96	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ (𝑎 ∈ V ∧ (♯‘𝑎) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
98	95, 97	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ∈ V ∧ (♯‘𝑎) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
99		peano2uz 12842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑎) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) → ((♯‘𝑎) + 1) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
100	98, 99	simpl2im 503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → ((♯‘𝑎) + 1) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
101	93, 100	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
102		elpreima 7004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯ Fn V → ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
103	56, 57, 102	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
104	80, 101, 103	sylanbrc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
105	89, 104	elind 4141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
106	105, 11	eleqtrrdi 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ 𝑊)
107		ccatws1n0 14586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ Word 𝑆 → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ≠ ∅)
108	91, 107	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ≠ ∅)
109		eldifsn 4730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ≠ ∅))
110	106, 108, 109	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
111	81, 110	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩))𝑏) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
112	26, 29, 69, 111	seqf 13976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})):(ℤ≥‘(♯‘𝑀))⟶(𝑊 ∖ {∅}))
113		fco2 6688	. . . 4 ⊢ (((lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ∧ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})):(ℤ≥‘(♯‘𝑀))⟶(𝑊 ∖ {∅})) → (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))):(ℤ≥‘(♯‘𝑀))⟶𝑆)
114	25, 112, 113	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))):(ℤ≥‘(♯‘𝑀))⟶𝑆)
115		fzouzdisj 13641	. . . 4 ⊢ ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) = ∅
116	115	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) = ∅)
117		fun 6696	. . 3 ⊢ (((𝑀:(0..^(♯‘𝑀))⟶𝑆 ∧ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))):(ℤ≥‘(♯‘𝑀))⟶𝑆) ∧ ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) = ∅) → (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))):((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))⟶(𝑆 ∪ 𝑆))
118	3, 114, 116, 117	syl21anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))):((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))⟶(𝑆 ∪ 𝑆))
119	43, 1, 11, 42	sseqval 34548	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))))
120		fzouzsplit 13640	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
121	34, 120	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
122	1, 27, 121	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
123	38, 122	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
124		unidm 4098	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∪ 𝑆) = 𝑆
125	124	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ 𝑆) = 𝑆)
126	125	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 ∪ 𝑆))
127	119, 123, 126	feq123d 6651	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹):ℕ0⟶𝑆 ↔ (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))):((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))⟶(𝑆 ∪ 𝑆)))
128	118, 127	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889  ∅c0 4274  {csn 4568   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624   ↾ cres 5626   “ cima 5627   ∘ ccom 5628  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032  +∞cpnf 11167   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ..^cfzo 13599  seqcseq 13954  ♯chash 14283  Word cword 14466  lastSclsw 14515   ++ cconcat 14523  ⟨“cs1 14549  seq_strcsseq 34543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-word 14467  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14550  df-sseq 34544

This theorem is referenced by:  sseqp1  34555  fibp1  34561