Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sseqf 32992
Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 (𝜑𝑆 ∈ V)
sseqval.2 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
Assertion
Ref Expression
sseqf (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆)

Proof of Theorem sseqf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
2 wrdf 14407 . . . 4 (𝑀 ∈ Word 𝑆𝑀:(0..^(♯‘𝑀))⟶𝑆)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑀:(0..^(♯‘𝑀))⟶𝑆)
4 vex 3449 . . . . . . . . 9 𝑤 ∈ V
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → 𝑤 ∈ V)
6 fvex 6855 . . . . . . . . 9 (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ V
7 df-lsw 14451 . . . . . . . . 9 lastS = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)))
86, 7dmmpti 6645 . . . . . . . 8 dom lastS = V
95, 8eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → 𝑤 ∈ dom lastS)
10 eldifsn 4747 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝑤𝑊𝑤 ≠ ∅))
11 sseqval.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
12 inss1 4188 . . . . . . . . . . . 12 (Word 𝑆 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀)))) ⊆ Word 𝑆
1311, 12eqsstri 3978 . . . . . . . . . . 11 𝑊 ⊆ Word 𝑆
1413sseli 3940 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝑊𝑤 ∈ Word 𝑆)
15 lswcl 14456 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ Word 𝑆𝑤 ≠ ∅) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
1614, 15sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝑤𝑊𝑤 ≠ ∅) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
1710, 16sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
1817adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
199, 18jca 512 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → (𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆))
2019ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆))
216, 7fnmpti 6644 . . . . . 6 lastS Fn V
22 fnfun 6602 . . . . . 6 (lastS Fn V → Fun lastS)
23 ffvresb 7072 . . . . . 6 (Fun lastS → ((lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)))
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 ((lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆))
2520, 24sylibr 233 . . . 4 (𝜑 → (lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆)
26 eqid 2736 . . . . 5 (ℤ‘(♯‘𝑀)) = (ℤ‘(♯‘𝑀))
27 lencl 14421 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 12525 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
291, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
30 ovex 7390 . . . . . . 7 (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V
31 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → 𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))
321, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
3332adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
34 elnn0uz 12808 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑀) ∈ (ℤ‘0))
3533, 34sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → (♯‘𝑀) ∈ (ℤ‘0))
36 uztrn 12781 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)) ∧ (♯‘𝑀) ∈ (ℤ‘0)) → 𝑎 ∈ (ℤ‘0))
3731, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → 𝑎 ∈ (ℤ‘0))
38 nn0uz 12805 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
3937, 38eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
40 fvconst2g 7151 . . . . . . 7 (((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘𝑎) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
4130, 39, 40sylancr 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘𝑎) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
42 sseqval.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
43 sseqval.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ V)
4443, 1, 11, 42sseqmw 32991 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀𝑊)
4542, 44ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
4645s1cld 14491 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⟨“(𝐹𝑀)”⟩ ∈ Word 𝑆)
47 ccatcl 14462 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩ ∈ Word 𝑆) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ Word 𝑆)
481, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ Word 𝑆)
4930a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V)
50 ccatws1len 14508 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) = ((♯‘𝑀) + 1))
511, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) = ((♯‘𝑀) + 1))
52 uzid 12778 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑀) ∈ ℤ → (♯‘𝑀) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))
53 peano2uz 12826 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑀) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)) → ((♯‘𝑀) + 1) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))
5429, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑀) + 1) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))
5551, 54eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))
56 hashf 14238 . . . . . . . . . . . 12 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
57 ffn 6668 . . . . . . . . . . . 12 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
58 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . 12 (♯ Fn V → ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))))
5956, 57, 58mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
6049, 55, 59sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
6148, 60elind 4154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (Word 𝑆 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀)))))
6261, 11eleqtrrdi 2849 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ 𝑊)
6362adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ 𝑊)
64 ccatws1n0 14520 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ≠ ∅)
651, 64syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ≠ ∅)
6665adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ≠ ∅)
67 eldifsn 4747 . . . . . . 7 ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ 𝑊 ∧ (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ≠ ∅))
6863, 66, 67sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
6941, 68eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘𝑎) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
70 eqidd 2737 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)) = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)))
71 simprl 769 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → 𝑥 = 𝑎)
7271fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
7372s1eqd 14489 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → ⟨“(𝐹𝑥)”⟩ = ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)
7471, 73oveq12d 7375 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
75 vex 3449 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ V
7675a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ V)
77 vex 3449 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ V
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑏 ∈ V)
79 ovex 7390 . . . . . . . 8 (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V
8079a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V)
8170, 74, 76, 78, 80ovmpod 7507 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))𝑏) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
82 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → 𝑎𝑊)
8382ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎𝑊)
8413, 83sselid 3942 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
8542adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝐹:𝑊𝑆)
8685, 83ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
8786s1cld 14491 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → ⟨“(𝐹𝑎)”⟩ ∈ Word 𝑆)
88 ccatcl 14462 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩ ∈ Word 𝑆) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ Word 𝑆)
8984, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ Word 𝑆)
9013, 82sselid 3942 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
9190ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
92 ccatws1len 14508 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) = ((♯‘𝑎) + 1))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) = ((♯‘𝑎) + 1))
9483, 11eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ (Word 𝑆 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀)))))
9594elin2d 4159 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
96 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯ Fn V → (𝑎 ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))) ↔ (𝑎 ∈ V ∧ (♯‘𝑎) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))))
9756, 57, 96mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))) ↔ (𝑎 ∈ V ∧ (♯‘𝑎) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
9895, 97sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ∈ V ∧ (♯‘𝑎) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
99 peano2uz 12826 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑎) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)) → ((♯‘𝑎) + 1) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))
10098, 99simpl2im 504 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → ((♯‘𝑎) + 1) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))
10193, 100eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))
102 elpreima 7008 . . . . . . . . . . 11 (♯ Fn V → ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))))
10356, 57, 102mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
10480, 101, 103sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
10589, 104elind 4154 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (Word 𝑆 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀)))))
106105, 11eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ 𝑊)
107 ccatws1n0 14520 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ Word 𝑆 → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ≠ ∅)
10891, 107syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ≠ ∅)
109 eldifsn 4747 . . . . . . 7 ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ≠ ∅))
110106, 108, 109sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
11181, 110eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))𝑏) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
11226, 29, 69, 111seqf 13929 . . . 4 (𝜑 → seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})):(ℤ‘(♯‘𝑀))⟶(𝑊 ∖ {∅}))
113 fco2 6695 . . . 4 (((lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ∧ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})):(ℤ‘(♯‘𝑀))⟶(𝑊 ∖ {∅})) → (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))):(ℤ‘(♯‘𝑀))⟶𝑆)
11425, 112, 113syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))):(ℤ‘(♯‘𝑀))⟶𝑆)
115 fzouzdisj 13608 . . . 4 ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(♯‘𝑀))) = ∅
116115a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(♯‘𝑀))) = ∅)
117 fun 6704 . . 3 (((𝑀:(0..^(♯‘𝑀))⟶𝑆 ∧ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))):(ℤ‘(♯‘𝑀))⟶𝑆) ∧ ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(♯‘𝑀))) = ∅) → (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))):((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀)))⟶(𝑆𝑆))
1183, 114, 116, 117syl21anc 836 . 2 (𝜑 → (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))):((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀)))⟶(𝑆𝑆))
11943, 1, 11, 42sseqval 32988 . . 3 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))))
120 fzouzsplit 13607 . . . . . 6 ((♯‘𝑀) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
12134, 120sylbi 216 . . . . 5 ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → (ℤ‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
1221, 27, 1213syl 18 . . . 4 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
12338, 122eqtrid 2788 . . 3 (𝜑 → ℕ0 = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
124 unidm 4112 . . . . 5 (𝑆𝑆) = 𝑆
125124a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑆) = 𝑆)
126125eqcomd 2742 . . 3 (𝜑𝑆 = (𝑆𝑆))
127119, 123, 126feq123d 6657 . 2 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆 ↔ (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))):((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀)))⟶(𝑆𝑆)))
128118, 127mpbird 256 1 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  c0 4282  {csn 4586   × cxp 5631  ccnv 5632  dom cdm 5633  cres 5635  cima 5636  ccom 5637  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  cmin 11385  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ..^cfzo 13567  seqcseq 13906  chash 14230  Word cword 14402  lastSclsw 14450   ++ cconcat 14458  ⟨“cs1 14483  seqstrcsseq 32983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-sseq 32984
This theorem is referenced by:  sseqp1  32995  fibp1  33001
  Copyright terms: Public domain W3C validator