Theorem sseqf 34583

Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqval.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
sseqval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3	⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sseqf	⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0⟶𝑆)

Proof of Theorem sseqf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
2		wrdf 14478	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → 𝑀:(0..^(♯‘𝑀))⟶𝑆)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(0..^(♯‘𝑀))⟶𝑆)
4		vex 3436	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑤 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → 𝑤 ∈ V)
6		fvex 6847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ V
7		df-lsw 14523	. . . . . . . . 9 ⊢ lastS = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)))
8	6, 7	dmmpti 6636	. . . . . . . 8 ⊢ dom lastS = V
9	5, 8	eleqtrrdi 2851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → 𝑤 ∈ dom lastS)
10		eldifsn 4726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑤 ≠ ∅))
11		sseqval.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
12		inss1 4172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))) ⊆ Word 𝑆
13	11, 12	eqsstri 3968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑊 ⊆ Word 𝑆
14	13	sseli 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑊 → 𝑤 ∈ Word 𝑆)
15		lswcl 14528	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
16	14, 15	sylan 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑊 ∧ 𝑤 ≠ ∅) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
17	10, 16	sylbi 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
18	17	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
19	9, 18	jca 516	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → (𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆))
20	19	ralrimiva 3132	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆))
21	6, 7	fnmpti 6635	. . . . . 6 ⊢ lastS Fn V
22		fnfun 6592	. . . . . 6 ⊢ (lastS Fn V → Fun lastS)
23		ffvresb 7074	. . . . . 6 ⊢ (Fun lastS → ((lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)))
24	21, 22, 23	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ((lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆))
25	20, 24	sylibr 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆)
26		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) = (ℤ≥‘(♯‘𝑀))
27		lencl 14493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
28	27	nn0zd 12547	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
29	1, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
30		ovex 7396	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V
31		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
32	1, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
34		elnn0uz 12827	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
35	33, 34	sylib 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘0))
36		uztrn 12804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) ∧ (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘0))
37	31, 35, 36	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → 𝑎 ∈ (ℤ≥‘0))
38		nn0uz 12824	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
39	37, 38	eleqtrrdi 2851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
40		fvconst2g 7153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘𝑎) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩))
41	30, 39, 40	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘𝑎) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩))
42		sseqval.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
43		sseqval.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
44	43, 1, 11, 42	sseqmw 34582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑊)
45	42, 44	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆)
46	45	s1cld 14564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩ ∈ Word 𝑆)
47		ccatcl 14534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩ ∈ Word 𝑆) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ Word 𝑆)
48	1, 46, 47	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ Word 𝑆)
49	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V)
50		ccatws1len 14581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) = ((♯‘𝑀) + 1))
51	1, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) = ((♯‘𝑀) + 1))
52		uzid 12801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℤ → (♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
53		peano2uz 12849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) → ((♯‘𝑀) + 1) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
54	29, 52, 53	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑀) + 1) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
55	51, 54	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
56		hashf 14298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
57		ffn 6662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
58		elpreima 7006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯ Fn V → ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
59	56, 57, 58	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
60	49, 55, 59	sylanbrc 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
61	48, 60	elind 4136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
62	61, 11	eleqtrrdi 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ 𝑊)
63	62	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ 𝑊)
64		ccatws1n0 14593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ≠ ∅)
65	1, 64	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ≠ ∅)
66	65	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ≠ ∅)
67		eldifsn 4726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ 𝑊 ∧ (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ≠ ∅))
68	63, 66, 67	sylanbrc 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
69	41, 68	eqeltrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})‘𝑎) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
70		eqidd 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)) = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)))
71		simprl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → 𝑥 = 𝑎)
72	71	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑎))
73	72	s1eqd 14562	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩ = ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)
74	71, 73	oveq12d 7381	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏)) → (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩))
75		vex 3436	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑎 ∈ V
76	75	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ V)
77		vex 3436	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑏 ∈ V
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑏 ∈ V)
79		ovex 7396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ V
80	79	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ V)
81	70, 74, 76, 78, 80	ovmpod 7515	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩))𝑏) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩))
82		eldifi 4068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → 𝑎 ∈ 𝑊)
83	82	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ 𝑊)
84	13, 83	sselid 3920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
85	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
86	85, 83	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑆)
87	86	s1cld 14564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩ ∈ Word 𝑆)
88		ccatcl 14534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩ ∈ Word 𝑆) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ Word 𝑆)
89	84, 87, 88	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ Word 𝑆)
90	13, 82	sselid 3920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
91	90	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
92		ccatws1len 14581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) = ((♯‘𝑎) + 1))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) = ((♯‘𝑎) + 1))
94	83, 11	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
95	94	elin2d 4141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
96		elpreima 7006	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (♯ Fn V → (𝑎 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ (𝑎 ∈ V ∧ (♯‘𝑎) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
97	56, 57, 96	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ (𝑎 ∈ V ∧ (♯‘𝑎) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
98	95, 97	sylib 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ∈ V ∧ (♯‘𝑎) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
99		peano2uz 12849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑎) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)) → ((♯‘𝑎) + 1) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
100	98, 99	simpl2im 508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → ((♯‘𝑎) + 1) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
101	93, 100	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))
102		elpreima 7006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯ Fn V → ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
103	56, 57, 102	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
104	80, 101, 103	sylanbrc 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
105	89, 104	elind 4136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))))
106	105, 11	eleqtrrdi 2851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ 𝑊)
107		ccatws1n0 14593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ Word 𝑆 → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ≠ ∅)
108	91, 107	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ≠ ∅)
109		eldifsn 4726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ≠ ∅))
110	106, 108, 109	sylanbrc 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹‘𝑎)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
111	81, 110	eqeltrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩))𝑏) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
112	26, 29, 69, 111	seqf 13983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})):(ℤ≥‘(♯‘𝑀))⟶(𝑊 ∖ {∅}))
113		fco2 6688	. . . 4 ⊢ (((lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ∧ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})):(ℤ≥‘(♯‘𝑀))⟶(𝑊 ∖ {∅})) → (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))):(ℤ≥‘(♯‘𝑀))⟶𝑆)
114	25, 112, 113	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))):(ℤ≥‘(♯‘𝑀))⟶𝑆)
115		fzouzdisj 13648	. . . 4 ⊢ ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) = ∅
116	115	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) = ∅)
117		fun 6696	. . 3 ⊢ (((𝑀:(0..^(♯‘𝑀))⟶𝑆 ∧ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)}))):(ℤ≥‘(♯‘𝑀))⟶𝑆) ∧ ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))) = ∅) → (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))):((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))⟶(𝑆 ∪ 𝑆))
118	3, 114, 116, 117	syl21anc 843	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))):((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))⟶(𝑆 ∪ 𝑆))
119	43, 1, 11, 42	sseqval 34579	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))))
120		fzouzsplit 13647	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ (ℤ≥‘0) → (ℤ≥‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
121	34, 120	sylbi 218	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → (ℤ≥‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
122	1, 27, 121	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
123	38, 122	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℕ0 = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
124		unidm 4094	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∪ 𝑆) = 𝑆
125	124	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ 𝑆) = 𝑆)
126	125	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 ∪ 𝑆))
127	119, 123, 126	feq123d 6651	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹):ℕ0⟶𝑆 ↔ (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹‘𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹‘𝑀)”⟩)})))):((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ≥‘(♯‘𝑀)))⟶(𝑆 ∪ 𝑆)))
128	118, 127	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889  ∅c0 4268  {csn 4562   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625   ↾ cres 5627   “ cima 5628   ∘ ccom 5629  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∈ cmpo 7365  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039  +∞cpnf 11174   − cmin 11375  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ..^cfzo 13606  seqcseq 13961  ♯chash 14290  Word cword 14473  lastSclsw 14522   ++ cconcat 14530  ⟨“cs1 14556  seq_strcsseq 34574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-word 14474  df-lsw 14523  df-concat 14531  df-s1 14557  df-sseq 34575

This theorem is referenced by:  sseqp1  34586  fibp1  34592