Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sseqf 33380
Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 7-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 (𝜑𝑆 ∈ V)
sseqval.2 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
Assertion
Ref Expression
sseqf (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆)

Proof of Theorem sseqf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
2 wrdf 14466 . . . 4 (𝑀 ∈ Word 𝑆𝑀:(0..^(♯‘𝑀))⟶𝑆)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑀:(0..^(♯‘𝑀))⟶𝑆)
4 vex 3479 . . . . . . . . 9 𝑤 ∈ V
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → 𝑤 ∈ V)
6 fvex 6902 . . . . . . . . 9 (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)) ∈ V
7 df-lsw 14510 . . . . . . . . 9 lastS = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘((♯‘𝑥) − 1)))
86, 7dmmpti 6692 . . . . . . . 8 dom lastS = V
95, 8eleqtrrdi 2845 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → 𝑤 ∈ dom lastS)
10 eldifsn 4790 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝑤𝑊𝑤 ≠ ∅))
11 sseqval.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
12 inss1 4228 . . . . . . . . . . . 12 (Word 𝑆 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀)))) ⊆ Word 𝑆
1311, 12eqsstri 4016 . . . . . . . . . . 11 𝑊 ⊆ Word 𝑆
1413sseli 3978 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝑊𝑤 ∈ Word 𝑆)
15 lswcl 14515 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ Word 𝑆𝑤 ≠ ∅) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
1614, 15sylan 581 . . . . . . . . 9 ((𝑤𝑊𝑤 ≠ ∅) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
1710, 16sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
1817adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)
199, 18jca 513 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → (𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆))
2019ralrimiva 3147 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆))
216, 7fnmpti 6691 . . . . . 6 lastS Fn V
22 fnfun 6647 . . . . . 6 (lastS Fn V → Fun lastS)
23 ffvresb 7121 . . . . . 6 (Fun lastS → ((lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆)))
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 ((lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ (lastS‘𝑤) ∈ 𝑆))
2520, 24sylibr 233 . . . 4 (𝜑 → (lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆)
26 eqid 2733 . . . . 5 (ℤ‘(♯‘𝑀)) = (ℤ‘(♯‘𝑀))
27 lencl 14480 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 12581 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
291, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℤ)
30 ovex 7439 . . . . . . 7 (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V
31 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → 𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))
321, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
3332adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → (♯‘𝑀) ∈ ℕ0)
34 elnn0uz 12864 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑀) ∈ (ℤ‘0))
3533, 34sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → (♯‘𝑀) ∈ (ℤ‘0))
36 uztrn 12837 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)) ∧ (♯‘𝑀) ∈ (ℤ‘0)) → 𝑎 ∈ (ℤ‘0))
3731, 35, 36syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → 𝑎 ∈ (ℤ‘0))
38 nn0uz 12861 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
3937, 38eleqtrrdi 2845 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
40 fvconst2g 7200 . . . . . . 7 (((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘𝑎) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
4130, 39, 40sylancr 588 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘𝑎) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
42 sseqval.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
43 sseqval.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ V)
4443, 1, 11, 42sseqmw 33379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀𝑊)
4542, 44ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
4645s1cld 14550 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⟨“(𝐹𝑀)”⟩ ∈ Word 𝑆)
47 ccatcl 14521 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩ ∈ Word 𝑆) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ Word 𝑆)
481, 46, 47syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ Word 𝑆)
4930a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V)
50 ccatws1len 14567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) = ((♯‘𝑀) + 1))
511, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) = ((♯‘𝑀) + 1))
52 uzid 12834 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑀) ∈ ℤ → (♯‘𝑀) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))
53 peano2uz 12882 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑀) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)) → ((♯‘𝑀) + 1) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))
5429, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑀) + 1) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))
5551, 54eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))
56 hashf 14295 . . . . . . . . . . . 12 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
57 ffn 6715 . . . . . . . . . . . 12 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → ♯ Fn V)
58 elpreima 7057 . . . . . . . . . . . 12 (♯ Fn V → ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))))
5956, 57, 58mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
6049, 55, 59sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
6148, 60elind 4194 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (Word 𝑆 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀)))))
6261, 11eleqtrrdi 2845 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ 𝑊)
6362adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ 𝑊)
64 ccatws1n0 14579 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ≠ ∅)
651, 64syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ≠ ∅)
6665adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ≠ ∅)
67 eldifsn 4790 . . . . . . 7 ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ 𝑊 ∧ (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ≠ ∅))
6863, 66, 67sylanbrc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
6941, 68eqeltrd 2834 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘𝑎) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
70 eqidd 2734 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)) = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)))
71 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → 𝑥 = 𝑎)
7271fveq2d 6893 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
7372s1eqd 14548 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → ⟨“(𝐹𝑥)”⟩ = ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)
7471, 73oveq12d 7424 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
75 vex 3479 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ V
7675a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ V)
77 vex 3479 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ V
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑏 ∈ V)
79 ovex 7439 . . . . . . . 8 (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V
8079a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V)
8170, 74, 76, 78, 80ovmpod 7557 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))𝑏) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
82 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → 𝑎𝑊)
8382ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎𝑊)
8413, 83sselid 3980 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
8542adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝐹:𝑊𝑆)
8685, 83ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
8786s1cld 14550 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → ⟨“(𝐹𝑎)”⟩ ∈ Word 𝑆)
88 ccatcl 14521 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩ ∈ Word 𝑆) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ Word 𝑆)
8984, 87, 88syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ Word 𝑆)
9013, 82sselid 3980 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
9190ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
92 ccatws1len 14567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ Word 𝑆 → (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) = ((♯‘𝑎) + 1))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) = ((♯‘𝑎) + 1))
9483, 11eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ (Word 𝑆 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀)))))
9594elin2d 4199 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
96 elpreima 7057 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯ Fn V → (𝑎 ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))) ↔ (𝑎 ∈ V ∧ (♯‘𝑎) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))))
9756, 57, 96mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))) ↔ (𝑎 ∈ V ∧ (♯‘𝑎) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
9895, 97sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ∈ V ∧ (♯‘𝑎) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
99 peano2uz 12882 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑎) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)) → ((♯‘𝑎) + 1) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))
10098, 99simpl2im 505 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → ((♯‘𝑎) + 1) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))
10193, 100eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))
102 elpreima 7057 . . . . . . . . . . 11 (♯ Fn V → ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀)))))
10356, 57, 102mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V ∧ (♯‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
10480, 101, 103sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
10589, 104elind 4194 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (Word 𝑆 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀)))))
106105, 11eleqtrrdi 2845 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ 𝑊)
107 ccatws1n0 14579 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ Word 𝑆 → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ≠ ∅)
10891, 107syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ≠ ∅)
109 eldifsn 4790 . . . . . . 7 ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ≠ ∅))
110106, 108, 109sylanbrc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
11181, 110eqeltrd 2834 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))𝑏) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
11226, 29, 69, 111seqf 13986 . . . 4 (𝜑 → seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})):(ℤ‘(♯‘𝑀))⟶(𝑊 ∖ {∅}))
113 fco2 6742 . . . 4 (((lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ∧ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})):(ℤ‘(♯‘𝑀))⟶(𝑊 ∖ {∅})) → (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))):(ℤ‘(♯‘𝑀))⟶𝑆)
11425, 112, 113syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))):(ℤ‘(♯‘𝑀))⟶𝑆)
115 fzouzdisj 13665 . . . 4 ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(♯‘𝑀))) = ∅
116115a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(♯‘𝑀))) = ∅)
117 fun 6751 . . 3 (((𝑀:(0..^(♯‘𝑀))⟶𝑆 ∧ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))):(ℤ‘(♯‘𝑀))⟶𝑆) ∧ ((0..^(♯‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(♯‘𝑀))) = ∅) → (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))):((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀)))⟶(𝑆𝑆))
1183, 114, 116, 117syl21anc 837 . 2 (𝜑 → (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))):((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀)))⟶(𝑆𝑆))
11943, 1, 11, 42sseqval 33376 . . 3 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))))
120 fzouzsplit 13664 . . . . . 6 ((♯‘𝑀) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
12134, 120sylbi 216 . . . . 5 ((♯‘𝑀) ∈ ℕ0 → (ℤ‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
1221, 27, 1213syl 18 . . . 4 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
12338, 122eqtrid 2785 . . 3 (𝜑 → ℕ0 = ((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
124 unidm 4152 . . . . 5 (𝑆𝑆) = 𝑆
125124a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑆) = 𝑆)
126125eqcomd 2739 . . 3 (𝜑𝑆 = (𝑆𝑆))
127119, 123, 126feq123d 6704 . 2 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆 ↔ (𝑀 ∪ (lastS ∘ seq(♯‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))):((0..^(♯‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(♯‘𝑀)))⟶(𝑆𝑆)))
128118, 127mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  Vcvv 3475  cdif 3945  cun 3946  cin 3947  c0 4322  {csn 4628   × cxp 5674  ccnv 5675  dom cdm 5676  cres 5678  cima 5679  ccom 5680  Fun wfun 6535   Fn wfn 6536  wf 6537  cfv 6541  (class class class)co 7406  cmpo 7408  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110  +∞cpnf 11242  cmin 11441  0cn0 12469  cz 12555  cuz 12819  ..^cfzo 13624  seqcseq 13963  chash 14287  Word cword 14461  lastSclsw 14509   ++ cconcat 14517  ⟨“cs1 14542  seqstrcsseq 33371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-word 14462  df-lsw 14510  df-concat 14518  df-s1 14543  df-sseq 33372
This theorem is referenced by:  sseqp1  33383  fibp1  33389
  Copyright terms: Public domain W3C validator